Transcript Examen du 10 décembre 2014 : corrigé

Universit´
e Paris VI, Master 2, IFMA/Math&Bio
Ann´
ee 2014–2015
Examen du 10 d´
ecembre 2014 : corrig´
e
“Calcul Stochastique II ”
Rt
3
Exercice I. (i) Comme pour tout t ≥ 0, E( 0 s2 ds) = t3 < ∞, la d´efinition de l’int´egrale
Rt
stochastique nous dit que ( 0 s dBs , t ≥ 0) est une martingale continue de carr´e-int´egrable,
Rt
Rt
Rt
3
avec E( 0 s dBs ) = 0 et E[( 0 s dBs )2 ] = E[ 0 s2 ds] = t3 , ∀t ≥ 0. En particulier, E(ξ) = 0
et E(ξ 2 ) = 31 .
(ii) Par int´egration par parties, ξ = B1 −
R1
0
Bs ds. En ´ecrivant ξ comme limite p.s.
de sommes de Riemann, et en utilisant le fait que limite en loi de variables gaussiennes
est gaussienne, on d´eduit que ξ suit une loi gaussienne. Or, E(ξ) = 0 et E(ξ 2 ) =
1
3
; la loi
de ξ est donc la loi gaussienne N (0, 13 ).
(iii) Soient a et b des r´eels quelconques. Comme dans la question pr´ec´edente, on voit
que aB1 + bξ suit une loi gaussienne. Autrement dit, (B1 , ξ) est un vecteur al´eatoire
R1
R1
gaussien. Par Fubini–Lebesgue, E(B1 ξ) = E(B12 ) − 0 E(B1 Bs ) ds = 1 − 0 s ds = 21 ;
d’o`
u E(B1 | ξ) =
Cov(B1 , ξ)
Var(ξ)
ξ = 32 ξ p.s.
Exercice II. Le processus U est bien d´efini, qui est un processus d’Itˆo. Soit α ∈ R un
r´eel. Posons Yt := e3Ut −α
Rt
Hs2 ds
, t ≥ 0. Par la formule d’Itˆo,
Z t
Z t
9
Ys Hs2 ds .
Yt = 1 + 3
Ys Hs dBs + ( − α)
2
0
0
R1
R1
Comme (Yt Ht , t ∈ [0, 1]) est un processus adapt´e avec E( 0 Ys2 Hs2 ds) ≤ e6 E( 0 Hs2 ds) <
0
∞ (en observant que, par hypoth`ese, Ys ≤ e3 , ∀s ∈ [0, 1], si α ≥ 0), la d´efinition de
Rt
l’int´egrale stochastique confirme alors que ( 0 Ys Hs dBs , t ∈ [0, 1]) est une martingale
continue. Conclusion : si α = 29 , alors (Yt , t ∈ [0, 1]) est une martingale continue.
Exercice III. Soit λ > 0. Posons Zt :=
1
e−λXt /(2−t) ,
(2−t)1/2
t ∈ [0, 1]. D’apr`es la formule
d’Itˆo,
−λx
Zt = e
Z
− 2λ
0
t
1/2
Zs Xs
dBs +
2−s
Z th
1
Zs
Z s Xs i
2
ds.
( − λ)
+ (2λ − λ)
2
2−s
(2 − s)2
0
1
1/2
On constate que (
Zt Xt
2−t
R1
, t ∈ [0, 1]) est un processus adapt´e et que E( 0
Zs2 Xs
(2−s)2
ds) ≤
c(λ) < ∞, o`
u c(λ) := supy≥0 (ye−λy ) < ∞, la d´efinition de l’int´egrale stochastique nous
R t Xs1/2
dit que ( 0 Zs2−s
dBs , t ∈ [0, 1]) est une martingale continue. Par cons´equent, si l’on
choisit λ := 12 , alors (Zt , t ∈ [0, 1]) est une martingale continue.
Exercice IV. (i) On applique la formule d’Itˆo au processus d’Itˆo X et `a la fonction
f : a 7→ ln[(1 + a2 )1/2 + a] qui est de classe C 2 sur R, pour voir que
Z
Z t
1
1 t
Xs
2 1/2
dXs −
dhXis
Yt = ln[(1 + x ) + x] +
2
1/2
2 0 (1 + Xs2 )3/2
0 (1 + Xs )
= ln[(1 + x2 )1/2 + x] + Bt ,
qui est une martingale car (Bt , t ≥ 0) est une martingale.
On a Xt = sh(Yt ) = sh(ln[(1 + x2 )1/2 + x] + Bt ), t ≥ 0.
Exercice V. Soit Q la mesure de probabilit´e sur F1 telle que Q|Ft = exp(
Rt
0
s dBs −
1 3
t)
6
• P|Ft , ∀ t ∈ [0, 1]. Par int´egration par parties, on peut ´egalement ´ecrire que Q|Ft =
Rt
exp(tBt − 0 Bs ds − 61 t3 ) • P|Ft , ∀ t ∈ [0, 1].
Soit Et := { 21 s2 − 1 ≤ Bs ≤ 12 s2 + 1,
R
−tBt + 0t Bs ds+t3 /6
EQ (e
∀ s ∈ [0, t]} ∈ Ft . Par d´efinition, P(Et ) =
R
−tWt + 0t Ws ds−t3 /6
1Et ) = EQ (e
1{|Ws |≤1, ∀s∈[0,t]} ), o`
u Ws := Bs − 21 s2 , s ≥
0.
Par Girsanov–Cameron–Martin, W est un Q-mouvement brownien. D’o`
u : P(Et ) =
Rt
3
E(e−tBt + 0 Bs ds−t /6 1{|Bs |≤1, ∀s∈[0,t]} ). Sur l’´ev´enement {|Bs | ≤ 1, ∀s ∈ [0, t]}, on a −tBt +
Rt
3
Bs ds ≥ −2t, et donc P(Et ) ≥ e−2t−t /6 P{|Bs | ≤ 1, ∀s ∈ [0, t]}. Il suffit alors
0
d’appliquer l’in´egalit´e admise au d´ebut de l’exercice pour obtenir l’in´egalit´e d´esir´ee (avec
C := 2 + K).
- fin -
2