Transcript École Normale Supérieure de Lyon Année 2014

École Normale Supérieure de Lyon
Année 2014-2015
Master de Mathématiques Avancées - Probabilités
Processus de Markov et Calcul Stochastique
Feuille d’Exercices 1 : Rappels sur les Martingales en Temps Discret
Dans tous les exercices, les variables aléatoires considerées sont définies sauf mention contraire sur un
espace probabilisé (Ω, F, P ).
Exercice 1. Exemples de Martingales.
1. (Produit de variables exponentielles) Soit (Yn )n≥0 une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi exponentielle
de paramètre λ > 0. On note (Fn )n≥0 la filtration canonique de (Yn )n≥0 . Pour tout n ≥ 0, on pose :
Mn :=
n
Y
Yk .
k=0
Pour quelles valeurs du paramètre λ le processus (Mn )n≥0 est-il une martingale (resp. une sous-martingale,
une surmartingale) ?
2. (Marche aléatoire simple symétrique) Soit (Xn )n≥0 une marche aléatoire simple symétrique au plus proche
voisin sur Z, i.e. X0 = 0 et pour tout n ≥ 1 :
Xn =
n
X
ξi ,
i=1
où (ξn )n≥1 est une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi donnée par P (ξn = 1) = P (ξn = −1) =
tout n ≥ 1. On introduit la filtration canonique (Fn )n≥0 de (ξn )n≥1 .
1
2
pour
a. Montrer que (Xn )n≥0 est une martingale.
b. On pose Yn = Xn2 − n pour tout n ≥ 0. Montrer que (Yn )n≥0 est une martingale.
c. On pose Zn = (−1)n cos(πXn ) pour tout n ≥ 0. Montrer que (Zn )n≥0 est une martingale.
3. (Martingale de De Moivre) Soit (Xn )n≥0 une marche aléatoire simple au plus proche voisin sur Z, i.e.
X0 = 0 et pour tout n ≥ 1 :
n
X
ξi ,
Xn =
i=1
où (ξn )n≥1 est une suite de variables aléatoires i.i.d. dont la loi est donnée par P (ξn = 1) = p > 0 et
P (ξn = −1) = q = 1 − p pour tout n ≥ 1. On note (Fn )n≥0 la filtration canonique de (ξn )n≥1 et on pose
pour tout n ≥ 0:
Xn
q
Mn =
.
p
Montrer que (Mn )n≥0 est une martingale.
4. (Martingale de Doob) Soit ξ une variable aléatoire intégrable et (Fn )n≥0 une filtration. On pose pour
tout n ≥ 0 :
Xn = E(ξ | Fn ).
Montrer que (Xn )n≥0 est une martingale.
1
Exercice 2. La ruine du joueur . On considère un joueur doté d’une fortune initiale a ∈ N∗ , qui joue à
"pile ou face" contre le casino, dont le capital est infini. Le joueur a une probabilité de gain p ≤ 1/2 à
chaque coup et les parties sont indépendantes. On note ξn le gain du joueur à la partie n, i.e. ξn = 1 si
le joueur gagne et ξn = −1 s’il perd. Les variables aléatoires (ξn )n≥1 sont donc i.i.d. de loi donnée par
P (ξn = 1) = p = 1 − P (ξn = −1) pour tout n ≥ 1. La fortune du joueur à l’étape n ≥ 0 s’écrit :
Xn = a +
n
X
ξi .
i=1
Pour β ≥ 0, on note g(β) := log E(e−βξ1 ) . Le but de cet exercice est de caractériser la loi du temps du
ruine du joueur :
T := inf{n ≥ 0 | Xn = 0}.
1. Soit β ≥ 0. On introduit la filtration canonique (Fn )n≥0 de (ξn )n≥1 , et on pose pour tout n ≥ 0 :
Mn = e−βXn −ng(β) .
Montrer que (Mn )n≥0 est une martingale.
2. Montrer que T est un temps d’arrêt fini presque sûrement.
3. Vérifier que g est inversible sur R+ . On note f son inverse. Déduire des questions précédentes que la
transformée de Laplace de T est donnée pour α ≥ 0 par :
E(e−αT ) = e−af (α) .
Exercice 3. Théorème de Kakutani . Soit (Zn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes positives,
intégrables et telles
√ que E(Zn ) = 1 pour tout n ≥ 1. On note (Fn )n≥0 la filtration canonique de (Zn )n≥1 .
On pose an = E( Zn ) pour tout n ≥ 1, X0 = Y0 = 1 et pour tout n ≥ 1 :
Xn :=
n
Y
Zi
et
Yn :=
i=1
i=1
On définit enfin
Q
i≥1
ai := limn→+∞
Qn
i=1
n √
Y
Zi
ai
.
ai .
1. Montrer que 0 < an ≤ 1 pour tout n ≥ 1.
2. Montrer que (Xn )n≥0 et (Yn )n≥0 sont des martingales.
3. Montrer que (Xn )n≥0 converge p.s. vers une variable aléatoire X∞ positive et intégrable telle que
E(X∞ ) ≤ 1. De même, montrer que (Yn )n≥0 converge p.s. vers une variable aléatoire Y∞ positive
et intégrable telle que E(Y∞ ) ≤ 1.
Q
4. Montrer que si i≥1 ai = 0 alors X∞ = 0 p.s.
Q
5. Montrer que si i≥1 ai > 0 alors la martingale (Yn )n≥0 est bornée dans L2 .
6. Montrer que :
E sup Xn
≤E
n≥0
7. Montrer que si
Q
i≥1
sup Yn2
n≥0
ai > 0 alors E(X∞ ) = 1.
2
≤ 4 sup E(Yn2 ).
n≥0
Exercice 4. Loi du logarithme itéré. Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi normale
N (0, 1). On pose S0 = 0 et pour tout n ≥ 1 :
Sn =
n
X
Xi .
i=1
Le but de cet exercice est de montrer la loi du logarithme itéré (partielle) :
lim sup √
n→+∞
On pose h(x) =
√
Sn
≤ 1 p.s.
2n log log n
2x log log x pour tout x ≥ e.
1. Montrer que pour tout θ > 0, c > 0 et n ≥ 0 on a :
P max Sk ≥ c ≤ e−θc E(eθSn ).
1≤k≤n
En déduire que pour tout c > 0 et n ≥ 0 :
c2
P max Sk ≥ c ≤ e− 2n .
1≤k≤n
2. Soit K > 1. Majorer la quantité :
P
max Sk ≥ Kh(K
1≤k≤K n
n−1
)
et montrer que :
lim sup h(n)−1 Sn ≤ K p.s.
n→+∞
Conclure.
Exercice 5. Population de cellules. On considère une population de cellules dont la taille à la date n ≥ 0
est donnée par la quantité Zn . La dynamique d’évolution de la population entre deux dates est donnée pour
n ≥ 0 par :
Zn+1 − Zn = rn+1 Zn ,
où (rn )n≥1 est une suite de variables aléatoires bornées à valeurs dans (−1, +∞). On note (Fn )n≥1 la
filtration
Pncanonique de (Zn )n≥0 et on suppose que Z0 est intégrable. On pose M0 = 0 et pour tout n ≥ 1,
Mn := i=1 ri .
1. Montrer que (Zn )n≥0 est une martingale si et seulement si (Mn )n≥0 est une martingale.
2. On suppose dorénavant que Z0 = 1, et que les variables aléatoires (rn )n≥1 sont i.i.d. de loi donnée par
P (rn = −ε) = P (rn = ε) = 12 pour tout n ≥ 1, avec 0 < ε < 1. Quel est le comportement asymptotique
de (Zn )n≥0 ?
3. Pour z > 1, on note Tz := inf{n ≥ 0 | Zn ≥ z} le temps d’atteinte du niveau z par la population. Montrer
que :
1
1
≤ P (Tz < +∞) ≤ .
z(1 + ε)
z
3
4. La population de cellules est désormais contrôlée par l’ajout d’additifs. La dynamique d’évolution est
donnée pour n ≥ 0 par :
Zn+1 =
1 + rn+1
Zn ,
1 + an+1
où (an )n≥1 est une suite de variables aléatoires minorées par a∗ > −1 et telles que an+1 P
est Fn -mesurable
n
pour tout n ≥ 0 (contrôle non-anticipatif). On pose A0 = 0 et pour tout n ≥ 1, An := i=1 ai . Montrer
que (Zn )n≥0 est une martingale si et seulement si (Mn − An )n≥0 est une martingale.
Exercice 6. Temps d’apparition d’un motif . Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi
de Bernoulli de paramètre p ∈ (0, 1). On s’intéresse au temps d’apparition d’une séquence de longueur
trois donnée dans la suite (Xn )n≥1 . On note (Fn )n≥0 la filtration canonique de (Xn )n≥1 et on pose pour
i, j, k ∈ {0, 1} :
τijk := inf{n ≥ 3 | (Xn−2 , Xn−1 , Xn ) = (i, j, k)}.
1. Montrer que pour i, j, k ∈ {0, 1}, τijk est un temps d’arrêt p.s. fini.
2. On pose S0 = 0 et Sn = (Sn−1 + 1) Xpn pour tout n ≥ 1. Montrer que (Sn − n)n≥0 est une martingale et
en déduire E(τ111 ).
3. Calculer P (τ111 > τ110 ).
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Master de Mathématiques Avancées - Probabilités
Processus de Markov et Calcul Stochastique
Rappels sur les Martingales en Temps Discret
On se place sur un espace probabilisé (Ω, F, P ), que l’on suppose muni d’une filtration (Fn )n≥0 .
Définition 1. Soit (Xn )n≥0 un processus (Fn )n≥0 -adapté et intégrable (tel que E(|Xn |) < +∞ pour tout
n ≥ 0). On dit que (Xn )n≥0 est (relativement à (Fn )n≥0 ) :
• une martingale si pour tout n ≥ 0, E(Xn+1 | Fn ) = Xn .
• une surmartingale si pour tout n ≥ 0, E(Xn+1 | Fn ) ≤ Xn .
• une sous-martingale si pour tout n ≥ 0, E(Xn+1 | Fn ) ≥ Xn .
Théorème 1. (Convergence des sous-martingales bornées dans L1 ) Soit (Xn )n≥0 une sous-martingale bornée
dans L1 :
sup E(|Xn |) < +∞
n≥0
p.s.
Alors il existe X∞ ∈ L1 telle que Xn −→ X∞ . De plus, ce résultat est encore vrai pour une surmartingale
n→+∞
positive.
Définition 2. Une suite (Xn )n≥0 de variables aléatoires est uniformément intégrable (u.i.) si :
lim
sup E(|Xn |1{|Xn |>a} ) = 0.
a→+∞
n≥0
En particulier, s’il existe Z ∈ L1 telle que Xn ≤ Z pour tout n ≥ 0 (ou si (Xn )n≥0 est bornée) alors (Xn )n≥0
est uniformément intégrable.
Théorème 2. (Convergence des martingales uniformément intégrables) Soit (Xn )n≥0 une martingale. Alors
il y a équivalence entre :
• (Xn )n≥0 converge p.s. et dans L1 vers une variable aléatoire X∞ ∈ L1 .
• (Xn )n≥0 est uniformément intégrable.
• Il existe Z ∈ L1 telle que Xn = E(Z | Fn ) pour tout n ≥ 0 ((Xn )n≥0 est une martingale fermée).
Dans ce cas, on a Xn = E(X∞ | Fn ) pour tout n ≥ 0.
Théorème 3. (Inégalité maximale de Doob) Soit (Xn )n≥0 une sous-martingale. Alors pour tout a > 0 et
n≥0:
aP
sup Xk ≥ a ≤ E((Xn )+ ).
0≤k≤n
p
Théorème 4. (Inégalité de Doob dans L ) Soit p > 1 et (Xn )n≥0 une sous-martingale positive. Alors pour
tout n ≥ 0 :
p
p
E((Xn )p ).
E ( sup Xk )p ≤
p−1
0≤k≤n
En particulier ce résultat s’applique à (|Xn |)n≥0 si (Xn )n≥0 est une martingale.
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Théorème 5. (Convergence des martingales bornées dans Lp pour p > 1) Soit (Xn )n≥0 une martingale
bornée dans Lp pour p > 1 :
sup E(|Xn |p ) < +∞
n≥0
p
Alors il existe X∞ ∈ L telle que (Xn )n≥0 converge p.s. et dans Lp vers X∞ .
Théorème 6. (Théorème d’arrêt) Soit (Xn )n≥0 une martingale et T un temps d’arrêt (relativement à la
même filtration). Alors (Xn∧T )n≥0 est aussi une martingale. En particulier si T est borné p.s., alors XT ∈ L1
et on a :
E(XT ) = E(X0 ).
Théorème 7. (Théorème d’arrêt "uniformément intégrable") Soit (Xn )n≥0 une martingale uniformément
intégrable. Alors pour tout temps d’arrêt (éventuellement infini) on a :
E(XT ) = E(X∞ | FT ).
(où XT := X∞ 1{T =+∞} + XT 1{T <+∞} ). En particulier, E(XT ) = E(X∞ ) = E(X0 ).
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