Transcript Probabilités Année 2014/15 DEMI2E Corrigé du CC2

Probabilités
DEMI2E
Année 2014/15
Corrigé du CC2
Exercice 1.
1. La fonction de répartition F associée à X est donnée par :
Z x
f (t)dt.
F (x) =
−∞
On obtient donc 0 si x ≤ 1 et
Z x
1
si x > 1. Donc
α
dt = 1 − x−α
tα+1
F (x) =
0
1 − x−α
si x ≤ 1
si x > 1.
2. Comme X est positive E[X r ] est bien défini (mais peut prendre la valeur
+∞). On écrit
Z
Z ∞
r
r
E[X ] =
x f (x)dx = α
xr−α−1 dt.
1
R
L’intégrale converge si et seulement si r < α et on obtient dans ce cas
E[X r ] =
On a donc
r
E[X ] =
α
.
α−r
α
α−r
si r < α
+∞ si r ≥ α.
3. On X > 1 p.s. et la fonction φ(x) = log(x) réalise un C 1 difféomorphisme
de ]1, +∞[ vers ]0, +∞[. Sa réciproque est la fonction φ−1 (y) = ey . D’après
la formule de changement de variable, la variable Y = log(X) est continue
de densité
g(y) = 1{y>0} f (ey ) ey = 1{y>0} e−αy .
On en déduit que Y suit la loi exponentielle de paramètre α.
Remarque : On pouvait aussi calculer la fonction de répartition de Y .
Exercice 2.
1. La fonction f est positive et puisqu’elle est paire, on a
Z
Z ∞
Z ∞
f (x) dx = 2
f (x) dx =
e−x dx = 1,
R
0
0
ce qui montre que f est une densité de probabilité.
1
2. La variable X change de signe, montrons qu’elle est intégrable. Encore
une fois par parité
Z
Z +∞
1
−|x|
E[|X|] =
|x|e
dx =
xe−x dx.
2 R
0
Cette intégrale est convergente (en intégrant par parties on voit qu’elle
vaut 1), donc X est intégrable. On a alors
Z
1
E[X] =
xe−|x| dx.
2 R
La fonction x 7→ xe−|x| est intégrable sur R d’après ce qui précède. Et
comme elle est impaire son intégrale est nulle. Donc
E[X] = 0.
3. On a
Z
+∞
e−x dx = 1.
I0 =
0
Pour n ≥ 1 on a en intégrant par parties
Z +∞
n −x +∞
In = [−x e ]0 +
nxn−1 e−x dx = nIn−1 .
0
On a donc pour tout n ∈ N
In = nIn−1 = n(n − 1)In−2 = · · · = n!.
4. Pour tout r entier on a (toujours par parité)
E [|X|r ] =
1
2
Z
|x|r e−|x| dx =
Z
+∞
xr e−x dx = Ir < +∞.
0
R
Ceci montre que X r est intégrable pour tout entier r. De plus si r est pair
on a
E[X r ] = E[|X|r ] = Ir = r!.
Si r est impair E[X r ] est l’intégrale sur R de la fonction x 7→ 12 xr e−|x| qui
est impaire (et intégrable d’après ce qui précède). Donc E[X r ] = 0. En
conclusion
r! si r est pair
r
E[X ] =
0 si r est impair.
2