Transcript Exercice

Psi 945 – 2014/2015
http://blog.psi945.fr
Exercices
Intégration
1
Rappels de première année
Exercice 1 — CCP 2009
n
1X
k
ln 1 +
lorsque n tend vers +∞.
n
n
k=1
n
1X
k
−→ 0.
2. Montrer que
ln 1 + 2
n
n n→+∞
1. Calculer la limite de
k=1
Exercice 2 — Mines 2009 – prévoir une majoration à la mainp
!
n
Y
k(n − k)
Étudier la limite de la suite u de terme général un =
1+
·
n2
k=1
Exercice 3 — TPE 2009
Montrer que pour tout n ∈ N∗ , on a :
n
X
4n (n!)2
(−1)k n
·
=
2k + 1 k
(2n + 1)!
k=0
Indication : On pourra considérer la fonction t 7→ (1 − t2 )n .
Exercice 4 — Mines
Z sin2 2010
Z
x
√
Montrer que x 7→
Arcsin( t)dt+
0
cos2 x
Z
√
Arccos( t)dt est constante, et en déduire la valeur de
0
0
Exercice 5 Z
— Mines
2010 – exercice extensible...
x2
dt
Étudier x 7→
; en particulier, donner la limite en 1.
ln t
x
Exercice 6 — Centrale 2010 – Cauchy-Schwarz
Z 1un peu fin
Z
1 1 02
1
Soit f ∈ C ([0, 1]) telle que f (1) = 0. Montrer :
f2 6
f .
2 0
0
Exercice 7 — Inégalité de Wirtinger – preuve gore
Soit f ∈ C 1 ([0, π], R) telle que f (0) = f (π) = 0. Vérifier :
Z
Z π
1 π 2
0
f (t)f (t)cotan(t)dt =
f (t) 1 + cotan2 t dt,
2
0
0
et en déduire :
Z
π
f2 6
0
π
Z
f 02 .
0
Étudier les cas d’égalité.
Exercice 8 — Mines 2010
Soient f, g ∈ C 0 ([0, 1], R) telles que f g > 1. Montrer que
Z
1
Z
f
0
2
2.1
1
g > 1 et discuter les cas d’égalité.
0
Intégrales convergentes et fonctions intégrables
Intégrales généralisées, semi-convergence
Exercice 9Z — Sinus nerveux
+∞
sin et dt est-elle convergente ?
L’intégrale
0
Exercice 10 — Sinus Zcalme √
+∞
sin t
dt est-elle convergente ?
Soit α > 0. L’intégrale
tα
0
1
1
√
Arcsin( t)dt.
Exercice 11 — CCP 2009
sin x
cos x
Pour α ∈ R et x > 0, on pose fα (x) = α et gα (x) = α ·
x
x
1. Si α > 1, montrer que fα et gα sont intégrables sur [2π, +∞[.
Z +∞
Z
2. En déduire que pour 0 < α 6 1, les intégrales
fα (x)dx et
Z
+∞
sin xλ dx et
3. Que dire des intégrales
Z
0
+∞
+∞
gα (x)dx convergent.
0
cos xλ dx si λ > 1 ?
0
0
Exercice 12 — Mines 2010
Z
Montrer que f : x 7→ cos(x2 ) n’est pas intégrable sur R+ mais que
+∞
f (t)dt est convergente.
0
sin t
Exercice 13 — Ça fait penser à
– en plus difficile
t
Soit f une fonction continue et périodique de R dans R.
Z +∞
f (t)
1. À quelle condition la fonction
dt est-elle convergente ?
t
1
f (t)
est-elle intégrable sur [1, +∞[ ?
2. À quelle condition la fonction t 7→
t
On suppose la condition du 1 vérifiée, et on note ` la valeur de l’intégrale.
3. Montrer que Φ(x) − ` = O(1/x).
4. On suppose que Φ(x) − ` = o(1/x). Que dire de f ?
2.2
Intégrabilité
Exercice 14 — CCP 2010
ln x
1. La fonction x 7→
est-elle intégrable sur R+
∗ ?
1 + x2
e−x
2. La fonction x 7→ √
est-elle intégrable sur ]1, +∞[ ?
x−1
Exercice 15 — Arcsinα x ln x
Soit α ∈ R. La fonction x 7→ Arcsinα x ln x est-elle intégrable sur ]0, 1[ ?
α
Exercice 16 — x2 |cos x|
α
Soit α > 0. La fonction x 7→ x2 |cos x| est-elle intégrable sur [0, +∞[ ?
α
Exercice 17 — e−x P (x)
α
Soient P ∈ R[X] et α > 0. La fonction x 7→ e−x P (x) est-elle intégrable sur [0, +∞[ ?
Exercice 18 —
ln(1/x)α
xβ (1 − x)γ
Soient α, β, γ ∈ R. La fonction x 7→
ln(1/x)α
est-elle intégrable sur ]0, 1[ ?
xβ (1 − x)γ
Exercice 19 — CCP 2010
Z +∞
∗
Pour n ∈ N , soit In =
dt
·
(1
+
t2 )n
0
1. Justifier la définition de In .
X
2. Étudier la convergence de la suite (In ), puis celle de la série
(−1)n In .
n∈N∗
x
Z
Exercice 20 —
√
f = o( x)
0
+
2
Z
+
Soit f ∈ CM (R ). On suppose f intégrable sur R . Montrer :
x
√
f = o( x).
0
0
Exercice 21 — f (t) −→ `
t→+∞
Soit f : R → R dérivable et intégrable sur R+ , avec f 0 (t) −→ `. Montrer : ` = 0.
t→+∞
Exhiber un cas de fonction dérivable et intégrable sur R+ telle que sa dérivée ne possède pas de limite en +∞.
2
2.3
Des calculs
Exercice 22 — CCP 2009
Z
Pour n ∈ N, on pose In =
1.
2.
3.
4.
1
tn
dt.
1 − t2
0
Montrer que In est bien définie.
Étudier la monotonie de In .
Trouver une relation de récurrence vérifiée par les In .
En déduire la valeur de In .
√
Exercice 23 — Mines 2009 et 2010
– pas fin, après une DES
Z +∞
dx
Soit p ∈ N∗ . Existence et calcul de
·
x(x
+
1)
. . . (x + p)
1
Exercice 24 — TPE Z2010
– pas évident,
mais intéressant et classique
1
1 j1k
dt.
−
Existence et calcul de
t
t
0
Exercice 25 — CCP 2010
Soit a > 0.
Z π/2
Z π
dx
dx
1. Calculer
en
posant
t
=
tan
x.
En
déduire
la
valeur
de
2
2 ·
2
2
1 + (1 + a ) sin x
0
0 1 + (1 + a ) sin x
Z (n+1)π
dx
2. Étudier la suite de terme général un =
·
3 sin2 x
1
+
x
nπ
Exercice 26 — Un classique intéressant
Z +∞ −ax
e
− e−bx
On suppose : 0 < a < b. Calculer
dx.
x
0
3
3.1
Interversions de symboles
Convergence dominée
Z
1
tn f (t)dt
Exercice 27 —
0
Z
Soit f ∈ C([0, 1], R). Montrer :
0
1
tn f (t)dt =
f (1)
+o
n
1
·
n
n
t
Exercice 28 —
f (t) 1 −
dt
n
0
+
Soit f : R → C une fonction telle que t 7→ f (t)e−t soit intégrable sur R+ . Montrer que la suite de terme général
n
Z n
t
In =
f (t) 1 −
dt
n
0
converge vers...
Z 1/n
n
Exercice 29 — n
f ((1 + t) ) dt
0
Z 1/n
n
Soit f ∈ C([1, e], C). Étudier la limite lorsque n tend vers +∞ de n
f ((1 + t) ) dt.
Z
n
0
Exercice 30 — CCP 2008
n
1
Pour n > 1 et t > 0, on pose fn (t) = √ ln 1 +
·
nt
t
1. Montrer que fn est intégrable sur ]1, +∞[.
Z +∞
2. Étudier la limite de
fn (t)dt lorsque n tend vers +∞.
0
Exercice 31 — Mines 2010 – encore
! un résultat classique sur γ
n
X
1
Pour n ∈ N∗ , on pose un =
− ln n.
k
k=1
3
1. Montrer que u converge vers une limite notée γ.
Z +∞
2. Montrer que γ = −
e−t ln tdt.
0
Exercice 32 — Mines
Z 2009
1
ln(1 + tn )dt lorsque n tend vers +∞.
Étudier la limite de n
0
Indication : on observe à la loupe ce qui se passe en 1 via t = 1 −
Exercice 33 — Mines 2010
+∞
Z
u
·
n
n
e−x dx.
Donner un équivalent simple de In =
0
3.2
Sommation terme-à-terme
Exercice 34 — Mines 2010
Z 1
Z 1/2
+∞
X
ln t
ln(1 − t)
1
·
dt =
dt. En déduire la valeur de
Vérifier que
n n2
t
1
−
t
2
1/2
0
n=1
Exercice 35 — Plutôt fin
Soit a ∈ R. Montrer :
+∞
X
a
=
2 + n2
a
n=1
Z
+∞
0
sin(ax)
dx.
ex − 1
Exercice 36 — MinesZ 2010 – attention à l’interversion
1
tn
Pour n ∈ N, soit un =
dt.
n
0 1+t
1. Nature de la série de terme général (−1)n un ?
2. Montrer :
un =
Exercice 37 — Mines 2010 – attention encore !
1. Justifier, pour n ∈ N, l’existence de Rn =
ln 2 π 2
−
+o
n
12
∞
X
(−1)k
·
3k + 1
k=n+1
Z
1
3n+3
t
dt.
1
+ t3
0
3. Convergence et somme de la série de terme général Rn .
2. Montrer que Rn = (−1)n+1
4
Intégrales à paramètres
Z
Exercice 38 —
0
+∞
sinh t −tx
e dt
t
Z
Domaine de définition et calcul de f (x) =
0
+∞
sinh t −tx
e dt.
t
Exercice 39 —ZCentrale 2003
+∞
2
Calculer f (x) =
e−t cos(xt)dt :
0
1. à l’aide d’une équation différentielle vérifiée par f ;
2. à l’aide du développement en série du cosinus.
Exercice 40 — Mines
2009
Z π/2
Arctan(x sin t)
Pour x ∈ R, calculer
dt.
sin t
0
Exercice 41 —ZCCP 2009
+∞
2
2
2
On pose h(x) =
e−t −x /t dt.
0
4
1
n2
·
b −t2 −a2 /t2
e
est intégrable sur ]0, +∞[.
t2
2. Montrer que h est dérivable sur R∗+ .
3. Montrer que pour x > 0, h0 (x) = −2h(x).
On pourra effectuer le changement de variable u = t/x...
4. En déduire h sur R∗+ puis R.
1. Si a, b > 0, montrer que t 7→
Exercice 42 — Mines 2010
Z
1
Domaine de définition et calcul de
0
(t − 1)tx
dt.
ln t
Exercice 43 — ZCCP 2008
Z x
2
1 −x2 (1+t2 )
e
−u2
On pose F (x) =
dt et G(x) =
e
du .
t2 + 1
0
0
1. F est-elle continue sur [0, +∞[ ? Dérivable ?
π
2. Montrer que G(x) = − F (x).
4
Z +∞
2
3. En déduire la valeur de
e−u du.
0
Exercice 44 —ZCentrale 2010
Z
+∞
−t
e cos(tx)dt et v(x) =
On pose u(x) =
+∞
e−t sin(tx)dt.
0
0
1. Déterminer le domaine de définition D de u et v. Montrer que u et v sont de classe C ∞ sur D.
2. Exprimer u et v au moyen des fonctions usuelles.
Ça donne envie de traiter la deuxième question assez rapidement dans l’exercice...
5
Récoltes et semailles
Exercice 45Z — CCP 2011
+∞
2
Soit f : x 7→
e−t cos(xt)dt.
0
1. Énoncer le théorème de dérivation sous le signe intégrale.
2. Montrer que f est de classe C 1 .
3. Trouver une équation du premier ordre que vérifie f , et la résoudre.
Exercice 46 — CCP 2011
f (t)
Soit f ∈ C ([a, b], R), avec a < 1 < b et f (1) 6= 0. On définit ensuite fn (t) =
, et In =
1 + tn
1. Calculer ` = lim In .
n→+∞
Z 1 n
f (1) ln 2
t f (t)
dt ∼
·
2. Montrer que
n
1
+
t
n
a
3. Montrer que In − ` = O(1/n).
1
Exercice 47 — TPE 2011
+∞
(−1)n
dt.
(1 + t3 )n
0
1. À l’aide du théorème de convergence dominée, montrer : un −→ 0.
n→+∞
P
2. Montrer que
un est convergente.
Z
On définit, pour n > 1 : un =
Exercice 48 — CCP 2011
Z +∞
+∞
+∞
X
X
1
1
pour
x
>
1.
Montrer
:
(ζ(x)
−
1)
=
·
On définit ζ(x) =
x
2 ln n
n
n
2
n=1
n=2
Exercice 49 — Mines 2011
Montrer :
n
1X p
ln
−→
n p=1 n n→+∞
5
Z
1
ln x dx.
0
Z
b
fn (t)dt.
a
En déduire :
√
n
n
1
−→ ·
n! n→+∞ e
Exercice 50 — Centrale
Z +∞ 2011
dx
On définit f (α) =
·
α (1 + x)
x
0
1. Donner le domaine de définition de f .
2. Donner un équivalent de f en 0+ .
1
est axe de symétrie du graphe de la fonction.
2
4. Montrer que f est continue sur son ensemble de définition.
3. Montrer que la droite d’équation α =
5. Déterminer la borne inférieure de f .
6
Indications
Z
1
ln(1 + t) = 2 ln 2 − 1. Pour la deuxième somme, la majoration |ln(1 + u)| 6 |u| est suffisante.
p
k(n − k)
1
6
– Exercice 2 : sachant que
, il est raisonnable de vouloir montrer :
n2
2n
s k
π
1X k
···
1−
−→
ln un '
n
n
n n→+∞ 8
– Exercice 1 :
0
Le «'» se précisant via une inégalité de la forme |ln(1 + u) − u| 6 Ku2 sur [0, 1].
– Exercice 3 : intégrer n fois par parties la fonction suggérée...
Z b(x)
– Exercice 4 : il est interdit de connaître un énoncé parlant de x 7→
f (t)dt, et il est également interdit de
a(x)
π
·
4
1
+
Exercice 5 : l’application en jeu se prolonge en une fonction f de classe C sur
R , avec en particulier
1
1 f (1) = ln 2 (changement de variable t = v + 1 dans f (1 + u), puis −
6 1 pour v assez petit).
ln(1 + v) v 2
Exercice 6 : Cauchy-Schwarz sur [0, x] nous donne f 2 (x) =<f 0 |1>2 6 x kf 0 k2 , etc.
Exercice 7 : intégration par parties. Ensuite, on casse le membre de droite et on Cauchy-Schwarzise pour
obtenir une inégalité de la forme √
A2 + B 2 6 2BC alors qu’on souhaite prouver A 6 C. Comment conclure ?
√
Exercice 8 : Cauchy-Schwarz sur f et g lorsque f et g sont positives.
Exercice 9 : oui (u = et ). Mais la fonction √
t 7→ sin(et ) n’est pas intégrable sur [0, +∞[.
Exercice 10 : changement de variable u = t, puis discussion. Attention : traiter 0 et +∞.
Exercice 11 : intégrations par parties, y = xλ .
Z
Exercice 12 : pour In = [−π/2 + nπ, π/2 + nπ], minorer
|f | par quelque chose en 1/n.
ne pas être capable de traiter une telle fonction à la main. L’intégrale recherchée vaut
–
–
–
–
–
–
–
–
In
– Exercice 13 : il faut bien avoir compris le cas vu en cours : f = cos. Le point crucial est que « la » primitive
de cos est elle-même périodique. Les primitives d’une fonction f périodique sont elles-mêmes périodiques si
et seulement si la moyenne de f sur une période est nulle. On pourra faire intervenir une primitive de f pour
faire des intégrations par parties : si la moyenne de f est nulle, alors cette primitive est bornée. Sinon, la
primitive vérifie F (x) ∼ Kx.
x→∞
– Exercice 14 : oui et oui : continuité et intégrabilité locale. À noter pour la première : on peut invoquer
Bertrand, ou bien signaler que x3/2 f (x) −→ 0 (Bertrand étant formellement en dehors du programme).
x→+∞
– Exercice 15 : CNS d’intégrabilité locale : α > −1 en 0, et α > −4 en 1 !
– Exercice 16 : la n-ième bosse a un poids de l’ordre de n2 ...
α
– Exercice 17 : continue sur R+ , et e−x P (x) = o(1/x2 ).
α
|ln x|
est intégrable si et seulement si β < 1. En 1 : f (1 − u) ∼ uα−γ ...
– Exercice 18 : en 0 :
0
xβ
– Exercice 19 : le changement t = tan θ peut aider...
– Exercice 20 : Cauchy-Schwarz, bien entendu.
`
– Exercice 21 : si ` > 0, alors f (t) > t pour t assez grand... La fonction t 7→ e−t sin(e2t ) doit convenir.
2
6
(1 − u)n
1
n+1
– Exercice 22 : déjà, p
∼ √ , d’où l’intégrabilité en 1. Ensuite, à la Wallis : In+1 =
In ,
n+2
1 − (1 − u)2 0 2u
n!2 4n
(2n)!
I2n = 2 2n+1 π et I2n+1 =
·
n! 2
(2n + 1)!
p
p
1 X (−1)i i
– Exercice 23 : déjà, la décomposition en éléments simples est
· Et en intégrant :
p! i=0 X + i
Z
1
+∞
p dx
1 X p
(−1)k ln(k + 1).
=−
k
x(x + 1) . . . (x + p)
p!
k=0
Super...
Z
1
f =
– Exercice 24 : en découpant de façon assez naturelle :
1/(N +1)
Z
0
1
N Z
X
k=1
1/k
f , on trouve finalement
1/(k+1)
1 j1k
dt = 1 − γ.
−
t
t
Z π
π
du
1
· Ensuite, un 6
∼ √ 3/2 ,
3 π 3 sin2 u
πn
1
+
n
2 + a2
0
confirmé par maple... Il devait être question de la série, dans l’énoncé original !
Z 1/ε ax
e − ebx
Exercice 26 : s’intéresser à
dx : après changements de variable y = ax et y = bx, on Chaslise.
x
ε
Z bε
dt
b
Le morceau central disparaît ; celui à droite tend vers 0, et celui de gauche tend vers
= ln (majorer
a
aε t
la valeur absolue de la différence).
Exercice 27 : changement de variable u = tn puis convergence dominée.
Exercice 28 : travailler sur [0, +∞[ (en multipliant par χ[0,n] ). La domination se fait grâce à ln(1 − u) 6 −u,
comme souvent.
Z e
f (u)
Exercice 29 : après u = (1 + t)n et un coup de convergence dominée, on trouvera
du.
u
Z +∞ 1
dt
Exercice 30 : convergence dominée : ln(1 + u) 6 u... donc ça tend vers
= 2. Cela dit, on peut
3/2
t
1 Z +∞
1
4
1
également calculer les intégrales !
fn (t)dt = n √ Arctan √
− 2 ln 1 +
·
n
n
n
1
n
Z n
Z 1
t
Exercice 31 : l’intégrale est la limite de
ln tdt qu’on ramène à Jn =
1−
(1 − u)n ln u du qu’on
n
0
0
1
1
1
1 + + ··· +
·
calcule par intégration par parties pour trouver Jn = −
n+1
2
n+1
Exercice 32 : avec l’indication, on trouvera :
Z 1
Z n Z +∞
u n π2
n
du −→
·
ln(1 + tn )dt =
ln 1 + e−u du =
ln 1 + 1 −
n→+∞ 0
n
12
0
0
– Exercice 25 : confirmé par maple : I2 = 2I1 = √
–
–
–
–
–
–
–
– Exercice 33 : par convergence dominée, In −→ 1 ; j’imagine qu’on attendait un terme de plus ! Et en l’ocn→+∞
currence, via xn = u :
1
1
n
Z
e−u − 1
du +
u
+∞
e−u
du .
u
0
1
n Z 1 γ
1
t
On peut même montrer que cet équivalent vaut
: considérer αn =
1− 1−
dt et βn =
n
n
0 t
n
Z 1 Z 1 −u
Z +∞ −u
1
t
e −1
e
1−
dt. On a αn −→
du, βn −→
du, et
n→+∞ 0
n→+∞ 1
n
u
u
0 t
n Z n 1
t
αn − βn =
1− 1−
dt − ln n −→ γ,
n→+∞
t
n
{z
}
|0
In − 1 ∼
Z
1+1/2+···+1/n
le calcul de l’intégrale s’obtenant après un ou deux changements de variable !
– Exercice 34 : pour l’égalité des deux intégrales, u = 1 − t (à la sauvage, ou en grattant aux bordx, selon son
Z 1/2 X
∞
−tn
humeur). Ensuite,
dt s’intègre terme à terme sans problème pour donner l’opposé de la somme
n+1
0
n=0
Z 1 X
π2
ln2 2
tn ln tdt pour trouver S = −I =
S de l’énoncé. Enfin, on retourne une dernière fois
−
·
12
2
1/2
n∈N
7
Z
– Exercice 35 : on veut intervertir la somme et l’intégrale dans
+∞
+∞ X
0
Z
sin(ax)e−(n+1)x · Ici,
Z
+∞
|fn | 6
0
n=0
+∞
1
, donc il va falloir finasser. Moralement, le gros de la masse de l’exponentielle se
n
+
1
0
Z +∞
concentre vers 0 et va être contrôlée par le sinus. On peut s’en sortir en coupant
|sin(ax)| e−(n+1)x dx
en
e−(n+1)x =
1
n3/4
0
· Ensuite :
Z
+∞
+∞
Z
1
···
2 + (n + 1)2
a
0
0
!
Z 1 X
+∞
+∞ Z 1
X
k n(1+k)
k n(1+k)
– Exercice 36 : pour justifier
(−1) t
dt =
(−1) t
dt , regrouper les termes par
0
0
k=0
k=0
Z
1
2
− (1 − u) 6 u2 ,
deux, et on a alors (avec gk = f2k + f2k+1 ) :
|gk | = O(1/k ) < +∞... Ensuite, 1+u
donc :
1
1
1
1
kn + 1 − kn − k 2 n2 6 k 3 n3 · · ·
Z 1 X
+∞
– Exercice 37 : comme dans l’exercice précédent, l’interversion de symboles dans
(−t3 )k nécessite de
e(ia−(n+1))x
fn = Im
= ··· =
0 k=n+1
regrouper les termes par deux pour avoir
XZ
n
1
1
|gn | convergente. Même chose pour le calcul de la somme
0
√
t3
1 ln 2 π 3
S=
Rn . On trouve finalement S = −
dt = −
−
·
3 2
6
9
27
0 (1 + t )
n=0
et
– Exercice 38 : prolongement continu en 0, et sinh t ∼
donc Df =]1, +∞[. La continuité de f et de f 0
+∞ 2
s’établissent par domination pour x ∈ [A, +∞[, avec A > 1.
> assume(x>1):int(sinh(t)*exp(-t*x),t=0..infinity),int(sinh(t)*exp(-t*x)/t,t=0..infinity);
1
1
1
, − ln(−1 + x˜) + ln(1 + x˜)
(−1 + x˜)(1 + x˜) 2
2
+∞
X
Z
∂g
(x, t) (pour |x| 6 K). Après une
– Exercice 39 : domination globale sans problème pour g(x, t) ainsi que
∂x
x
intégration par parties, on obtient f 0 = − f . Pas de problème pour intervertir les deux symboles dans
2
Z +∞ X
∞
2n
2 (−xt)
e−t
dt, après avoir calculé :
(2n)!
0
n=0
Z
In =
0
+∞
2
e−t t2n dt =
√
(2n)! π
2n − 1
In−1 = · · · = n
·
2
4 n! 2
> int(exp(-t**2)*cos(x*t),t=0..infinity);
1 √ − 1 x2
πe 4
2
π
π
– Exercice 40 : on trouvera F 0 (x) = √
puis F (x) = Argshx. (Pour dominer, |Arctan(u)| 6 |u| pourra
2
2 1 + x2
servir, ainsi que le changement de variable u = sin t pour calculer F 0 (x))
2
2
2
b
– Exercice 41 : déjà, 2 e−t −a /t −→ 0 ce qui donne la dérivabilité sur [a, b] ⊂]0, +∞[, avec (changement de
t
t→0+
√
π −2|x|
t
variable 1 u = ) h0 = −2h sur R∗+ et finalement (continuité en 0 et parité) h(x) =
e
.
x
2
– Exercice 42 : pour l’intégrabilité, la fonction est prolongeable par continuité en 1, et intégrable en 0+ si et
seulement si x > −1. Les théorèmes usuels (travailler sur [−1 + ε, A] pour les dominations) nous assurent
1
1
alors que f est dérivable sur ] − 1, +∞[, avec f 0 (x) =
−
···
x+2 x+1
> assume(x>-1):int((t-1)*t**x/ln(t),t=0..1);
ln(x˜ + 2) − ln(1 + x˜)
1. Pfff...
8
1
2
pour F , et par e−ε(1+t ) sur [ε, +∞[ pour F 0 . On trouve alors
2
1+t
G0 = −F 0 sur R∗+ et on ajuste la constante en 0 (par continuité). On termine en faisant tendre x vers +∞,
avec une petite convergence dominée pour F (x).
– Exercice 44 : définition et caractère C ∞ se prouvent par domination globale sans problème. Pour le calcul,
c’est encore plus simple :
Z +∞
1
1 + ix
u(x) + iv(x) =
e(ix−1)t dt =
·
=
1 − ix
1 + x2
0
– Exercice 43 : domination globale par
–
–
–
–
> int(exp(-t)*cos(t*x),t=0..infinity),int(exp(-t)*sin(t*x),t=0..infinity);
1
x
,
2
1+x
1 + x2
Exercice 45 : voir l’exercice 39.
f (1)
Exercice 46 : par convergence dominée, In −→
· Ensuite, u = tn suivie d’une convergence dominée.
n→+∞ 1 − a
Pour terminer, on traitera à part les intégrales sur [a, 1] (contrôlée par la question précédente) et sur [1, b].
1
·
Exercice 47 : on doit s’en sortir avec la domination |fn (t)| 6
1 + t3
Exercice 48 : il s’agit seulement de justifier l’interversion dans le calcul :
!
X
+∞
Z +∞ X
+∞
+∞ +∞ Z +∞
X
1
n−x
dx
=
dx =
−
nx
nx
ln n 2
2
2
n=2
n=2
n=2
– Exercice 49 : une simple somme de Riemann...
– Exercice 50 : le changement de variable y = tα et une convergence dominée (bien distinger AVANT et APRÈS
1) donnent :
Z +∞
dy
αf (α) −→+
·
y2
α→0
1
Je trouve la dernière question fine : si on tente d’esquisser le graphe de f , on se dit que f est peut-être
convexe...
9