Transcript 01-Integrales - BCPST2-2013 ENCPB--Lycée Pierre

Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Mathématiques
BCPST2
2014-2015
Feuille de TD 01
Integrales–Intégrales Généralisées
Les exercices ou questions avec ? sont importants, ceux avec ?? indispensables. On ne traitera pas toutes les questions dans les
exercices composés de plusieurs questions similaires.
Intégrales au sens classique
R1
Exercice 1.— 1. En utilisant les sommes de Riemann calculer
0
x2 dx. On rappelle que
n
P
i=1
i2 =
n(n+1)(2n+1)
6
.
2. En utilisant les sommes de Riemann associées à des fonctions que l’on déterminera, calculer les limites des suites :
n−1
P
1
2.a. Sn =
nα+iβ avec α et β deux réels strictement positifs.
?2.b.
i=0
√ √
√
n
√
In = 1+ n2+...+
.
n
Exercice 2.— On considère
Sn =
n
X
1
p
.
n
(n
+ k)
k=1
Montrer que (Sn ) converge et déterminer sa limite.
Exercice 3.—
Calculer :
Z
I1
π/2
t2 + t − 1 sin t dt, I2 =
=
Z
sin (ln x) dx,
0
Z
I3
=
0
π
2
dx
, I4 =
1 + tan (x/2)
1
Z
0
2
e
1
x
e2x + 1
Z
dx, I5 =
2
ln (x) dx.
1
Exercice 4.—
Préciser les intervalles sur lesquels les fonctions suivantes sont continues, puis en déterminer toutes les primitives sur chacun
de ces intervalles.
1
1
3
f (t) =
3 , g (x) = arcsin x, h (x) = cos x, i (x) = 2 + sin x .
t (ln t)
Exercice 5.-?Déterminer A et B dans l’égalité suivante :
x2
Calculer
x
A
B
=
+
−x−2
x+1 x−2
R1
x
dx.
0 x2 −x−2
Exercice 6.-?Calculer
Z
2
−2
1
dx,
x2 + 4x + 8
Z
0
1
2x2 + 1
dx
x2 + 1
Exercice 7.— 1. Montrer que la fonction G suivante est définie sur R∗+ et de classe C 1 sur R∗+ . Calculer sa dérivée.
Z
x2
G (x) =
x
e−t
dt.
t
Quel est le signe de G (x) ?
2. Majorer G (x) pour x ≥ 1 et déterminer la limite de G en +∞.
2
3. Montrer, pour 0 < x ≤ 1 : G (x) ≤ e−x ln (x). Déterminer la limite de G en 0.
Exercice 8.-?Pour (p, q) ∈ N2 , on pose :
1
Z
q
xp (1 − x) dx.
I (p, q) =
0
1. Exprimer I (p + 1, q) en fonction de I (p, q + 1) .
2. Calculer I (0, q) . En déduire I (p, q) pour (p, q) ∈ N2 .
3. En considérant, pour n ∈ N∗ le polynôme
n X
n
T (t) =
p
p=0
tp I(p, n − p),
retrouver le résultat précédent.
Exercice 9.—
1. Montrer que, pour tout n ∈ N :
1
Z
1
tn
dt ≤
.
1 + t2
n+1
0≤
0
En déduire
1
Z
lim
n→+∞
0
tn
dt.
1 + t2
2. De même, calculer
π/2
Z
sin n3 t
lim
n→+∞
e−nt dt.
0
Intégrales au sens généralisé
Exercice 10.-??- Intégrales de Riemann en 0 et à l’∞.
1. Discuter suivant la valeur du paramètre α ∈]0, +∞[ de la convergence de l’intégrale
1
dt
tα
dt
et
tα
Z
Z
0
et donner, en cas de convergence, sa valeur.
2. Idem avec les intégrales
Z
+∞
1
+∞
dt
.
tα
0
Exercice 11.—Etudier la nature des intégrales suivantes. En cas de convergence, calculer la valeur de l’intégrale.
Z
+∞
I1 =
et dt, I2 =
0
+∞
Z
I3 =
0
Z
I5 =
0
+∞
x2 e−x dx, I6 =
Z
0
+∞
π/2
Z
0
√
− t
e
√
t
Z
dx
,
cos2 x
1
√
dt, I4 =
−1
dx
, I7 =
x(x2 + 1)
Z
a
b
t dt
,
1 − t2
dt
2
α (a, b) ∈ R , a < b .
(b − t)
Exercice 12.—Etudier la nature des intégrales suivantes :
R +∞
1. I = 1 exp(−t2 ) dt en comparant les fonctions t 7→ exp(−t2 ) et t 7→ exp(−t).
R +∞ ln x dx
√
√ x et x 7→ √1 .
2. J = 1
en comparant les fonctions x 7→ ln
x
x
x
R +∞ exp(−x)
3. K = 0
dx.
1+x
R1
n
Exercice 13.—Pour tout n ∈ N∗ , on pose In = 0 x (ln x) dx.
∗
1. Pour tout n ∈ N , justifier l’existence de In .
2. Calculer I1 . Déterminer une relation entre In+1 et In et en déduire la valeur de In .
Exercice 14.—Etudier la nature des intégrales suivantes (dans certains cas, penser à utiliser la méthode des équivalents) :
Z
A=
1
+∞
Z
x dx
√
,B=
x3 + 1
Z
+∞
t e
dt, C =
0
0
+∞
sin t e−2t dt, E =
D=
Z
5 −t2
Z
1
1
0
1
dx
p
x(1 − x)
sin x − x
dx.
1 − cos x
R (n+1)π
Exercice 15.—Soit In = nπ
sin xe−x dx.
R +∞
Grâce à un changement de variables, calculer In en fonction de I0 . Montrer que 0 sin xe−x dx est convergente et calculer
sa valeur.
Exercice 16.—On considère la fonction f définie par :
Z
+∞
1 − cos (tx)
dt.
t2
f (x) =
0
1. Montrer que la fonction f est définie sur R.
2. Démontrer que f est paire.
3. À l’aide d’un changement de variable judicieux, démontrer qu’il existe K dans R tel que, pour tout réel x, f (x) = K |x| ( on
ne demande pas de calculer K, on peut montrer que K = π/2).
Exercice 17.— Fonction B d’Euler.
1. A quelle condition sur les nombres réels p et q l’intégrale généralisée
Z
1
(1 − x)p−1 xq−1 dx
0
converge-t-elle ? On note B(p, q) sa valeur. Quel est le domaine de définition de la fonction B définie par cette formule ?
2. Même question avec l’intégrale
Z
+1
(1 − x)p−1 (1 + x)q−1 dx
−1
Exprimer cette intégrale en fonction de B(p0 , q 0 ).
3. Par un changement de variable adéquat, établir une relation entre B(p, p) et les intégrales de WALLIS pour certaines valeurs
de p.
Exercice 18.— Longueur des courbes.
Si γ : I → R2 ∼ C est une courbe paramétrée de classe C 1 sur l’intervalle I (qu’il soit ouvert ou fermé), la distance parcourue
par le mobile sur la trajectoire γ est par définition
Z
|γ 0 (t)| dt,
D=
I
cette intégrale étant, au besoin, à prendre au sens des intégrales généralisées 1 .
1. Donner la distance parcourue par le mobile au cas où I = [−π, π], γ(s) = cos s + i sin s.
2. Donner la distance parcourue par le mobile au cas où I = R,
γ(t) =
1 − t2
2t
+i
2
1+t
1 + t2
3. Quel est le lien entre les deux résultats précédents ? Utiliser Python pour tracer les courbes.
1. Si l’intégrale généralisée en question diverge vers +∞, on dit que cette distance est infinie.