Transcript VR231 Fixing and Maintenance Instructions

PCSI1-PCSI2
DS n˚03 - SAMEDI 15 NOVEMBRE 2014 - 3 heures
2014-2015
La calculatrice n’est pas autorisée. Les résultats seront encadrés ou soulignés .
Exercice 1
APPLICATIONS DU COURS (9 questions indépendantes) : dans cet exercice de
vérification des techniques de calculs, il n’est pas demandé de justifier l’existence des intégrales et des
développements limités.
∫
4
1
d𝑥.
− 7𝑥 + 10
3
∫ 4
𝑥+1
(b) Calculer l’intégrale 𝐽 =
d𝑥.
2
3 𝑥 − 7𝑥 + 10
∫ 1
( 2
)
3𝑥 + 1 Arctan(𝑥)d𝑥.
2. Calculer l’intégrale 𝐾 =
0
∫ 1
𝑒𝑥 sin(𝑥)d𝑥.
3. (a) Calculer l’intégrale 𝐿 =
∫0 𝑒
sin(ln 𝑥)d𝑥 à l’aide du changement de variable 𝑢 = ln 𝑥.
(b) Calculer l’intégrale 𝑀 =
1. (a) Calculer l’intégrale 𝐼 =
𝑥2
1
4. Donner un équivalent simple en 𝑥 = 0, puis la limite lorsque 𝑥 → 0 de
√1
−1
1+𝑥
𝑓 (𝑥) =
.
ln(1 + 𝑥)
𝜋
5. Donner un équivalent simple en 𝑥 = , puis la limite lorsque 𝑥 → 𝜋2 de
2
𝑒sin(𝑥) − 𝑒
𝑔(𝑥) =
.
cos(𝑥)
(
)
√
6. Déterminer le développement limité de 𝑓 (𝑥) = exp cos(𝑥) − 1 + 𝑥 au voisinage de 𝑥 = 0 à
l’ordre 2.
√
1 + 2𝑥 − ch(𝑥)
.
𝑥
√
(a) Rappeler le développement limité de 1 + 𝑢, à l’ordre 3 lorsque 𝑢 7→ 0.
7. On pose 𝑓 : 𝑥 7→
(b) Prouver que 𝑓 est prolongeable par continuité en 𝑥 = 0, puis, ainsi prolongée, que 𝑓 est
dérivable en 𝑥 = 0. Tracer l’allure du graphe de 𝑓 au voisinage de 0.
8. On pose 𝑓 (𝑥) = 2 ln(1 + 𝑥) − 𝑥𝑒𝑥 .
(a) Déterminer le développement limité de 𝑓 (𝑥) au voisinage de 𝑥 = 0 à l’ordre 3.
(
)
1
1+𝑥
1
2
(b) Soit 𝑔(𝑥) = 2𝑥 ln
− 𝑥𝑒 𝑥 : on pose ℎ = . Exprimer 𝑔(𝑥) à l’aide de 𝑓 (ℎ).
𝑥
𝑥
Que peut-on en conclure concernant le graphe de 𝑔 au voisinage de +∞ ? Illustrer ce
résultat à l’aide d’un schéma.
9. Soit 𝑘 un paramètre réel, et la fonction 𝑓𝑘 : 𝑥 7→ 𝑓𝑘 (𝑥) = 𝑒𝑥 cos (𝑘𝑥), de graphe 𝒞𝑘 .
(a) Calculer le développement limité de 𝑓𝑘 (𝑥) au voisinage de 𝑥 = 0 à l’ordre 3.
(b) Existe-t-il une valeur de 𝑘 pour laquelle 𝒞𝑘 possède un point d’inflexion 1 en 𝑥 = 0 ?
Si oui, dans ce cas, tracer l’allure de 𝒞𝑘 au voisinage de 0.
1. On rappelle que cela signifie que la courbe est traversée par sa tangente en ce point.
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Exercice 2
1. Quelques résultats préliminaires
(a) Donner les valeurs de sh(ln(3)) et ch(ln(3)) sous forme de nombres rationnels mis sous
forme irréductible.
(b) On rappelle la définition de la fonction tangente hyperbolique : ∀𝑥 ∈ ℝ, th(𝑥) =
sh(𝑥)
.
ch(𝑥)
Exprimer sa dérivée à l’aide uniquement de la fonction ch.
(c) Soit 𝑎 et 𝑏, deux constantes réelles avec 𝑎 ∕= 0 : rappeler (aucune preuve n’est exigée) les
1
primitives de la fonction 𝑓 : 𝑥 7→ 𝑓 (𝑥) =
.
(𝑥 + 𝑏)2 + 𝑎2
(d) Soit 𝑥 ∈ [0, +∞[ et 𝑛 ∈ ℕ. Prouver : (1 + 𝑥)𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑥.
)𝑛
∫ ln(3) (
1
d𝑥.
2. On pose 𝑢𝑛 =
ch(𝑥)
0
(a) Justifier que 𝑢𝑛 est bien définie pour tout entier 𝑛 ∈ ℕ.
(b) Calculer 𝑢0 et 𝑢2 .
(c) Calculer la valeur de 𝑢1 à l’aide du changement de variable 𝑡 = sh(𝑥).
3. (a) Vérifier que la suite 𝑢 = (𝑢𝑛 )𝑛≥0 est monotone.
(b) Montrer que cette suite possède une limite finie que l’on notera ℓ.
Que peut-on affirmer sur ℓ ?
4. Prouver, pour tout 𝑛 ∈ ℕ :
4 × 3𝑛
𝑛
+
𝑢𝑛 .
(𝑛 + 1)5𝑛+1 𝑛 + 1
peut-on en déduire concernant la limite ℓ de la suite 𝑢 = (𝑢𝑛 )𝑛≥0 ?
𝑥2
Prouver que, pour tout 𝑥 ∈ ℝ : ch(𝑥) ≥ 1 + .
2
𝑥2
En déduire : ∀𝑛 ∈ ℕ, ∀𝑥 ∈ ℝ, ch𝑛 (𝑥) ≥ 1 + 𝑛 .
2
A l’aide de ce qui précède, déterminer un encadrement de la forme 0 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 𝛼𝑛 , où 𝛼𝑛
𝑢𝑛+2 =
Que
5. (a)
(b)
(c)
est le terme d’une suite que l’on calculera et exprimera en fonction de 𝑛.
(d) Prouver ℓ = 0.
6. On pose, pour 𝑛 ∈ ℕ :
𝐼𝑛 =
𝑛
∑
𝑘
(−1) 𝑢𝑘
∫
et
𝑣𝑛 =
0
𝑘=0
(a) Soit 𝑞 ∈ ℝ : simplifier la somme
𝑛
∑
ln(3)
𝑛−1
ch
1
d𝑥.
(𝑥) (1 + ch(𝑥))
(−1)𝑘 𝑞 𝑘 .
𝑘=0
𝑛
∑
(−1)𝑘
(b) Pour 𝑥 ∈ [0, ln 3], simplifier
.
𝑘
ch
(𝑥)
𝑘=0
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(c) Exprimer 𝐼𝑛 à l’aide de 𝑣𝑛+1 et de 𝑣0 .
(d) Montrer que pour 𝑛 ≥ 0 : 0 ≤ 𝑣𝑛 ≤ 𝑢𝑛 .
En déduire la limite de la suite 𝑣 = (𝑣𝑛 )𝑛≥0 .
𝑎
𝑢2 + 1
𝑏
𝑐
+
+
.
2 =
𝑢 𝑢 + 1 (𝑢 + 1)2
𝑢 (𝑢 + 1)
(f) Calculer 𝑣0 à l’aide du changement de variables 𝑢 = 𝑒𝑥 .
(e) Déterminer 𝑎, 𝑏 et 𝑐 tels que, pour tout 𝑢 ∈ ℝ∖{−1, 0} :
(g) En déduire la valeur exacte de la limite de la suite (𝐼𝑛 )𝑛≥0 .
Exercice 3
Le but de cet exercice est de trouver un équivalent simple de la factorielle d’un
entier
√ ( 𝑛 )𝑛
𝑛 lorsque 𝑛 → +∞. Il est assez facile de prouver qu’il en existe un de la forme 𝑛! ∼ 𝐶 𝑛
, où
𝑒
𝐶 désigne une constante strictement positive. Une méthode possible est de vérifier que deux suites
𝑢 et 𝑣, bien choisies, sont adjacentes, donc convergentes de limite commune 𝐶 > 0 (dont on a
prouvé l’existence, mais dont on ne connait pas explicitement
la)valeur à ce niveau) : c’est le cas, par
(
(
)
𝑛
𝑛! 𝑒
1
exemple, avec les suites 𝑢𝑛 = √
et 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 exp −
.
12𝑛
𝑛 𝑛
On admet donc ce résultat :
√ ( 𝑛 )𝑛
« il existe une constante 𝐶 > 0 telle que 𝑛! ∼ 𝐶 𝑛
lorsque 𝑛 → +∞ ».
𝑒
On va déterminer cette constante 𝐶 à l’aide d’intégrales dites « de Wallis ».
∫
Pour tout entier 𝑛 ≥ 0, on pose 𝐼𝑛 =
𝜋
2
sin𝑛 (𝑥)d𝑥.
0
∫
1. (a) Justifier, à l’aide d’un changement de variables simple, qu’on a aussi 𝐼𝑛 =
𝜋
2
cos𝑛 (𝑥)d𝑥.
0
(b) Calculer 𝐼0 et 𝐼1 .
(c) Montrer que 𝐼𝑛 > 0 pour tout entier 𝑛 ≥ 0.
(d) Vérifier que la suite (𝐼𝑛 )𝑛≥0 est monotone, puis en déduire qu’elle est convergente : on
note ℓ sa limite.
2. (a) Montrer que, pour tout entier 𝑛 ≥ 0 :
𝐼𝑛+2 =
𝑛+1
𝐼𝑛 .
𝑛+2
(b) Calculer 𝐼2 , 𝐼3 , 𝐼4 , 𝐼5 .
3. (a) Pour tout entier 𝑛 ≥ 1, ranger 𝐼𝑛−1 , 𝐼𝑛 et 𝐼𝑛+1 par ordre croissant : montrer que cette
double inégalité permet de justifier l’équivalent : 𝐼𝑛 ∼ 𝐼𝑛−1 (lorsque 𝑛 → +∞).
𝐼𝑛
On rappelle que cela revient à prouver : lim
= 1.
𝑛→+∞ 𝐼𝑛−1
(b) On pose 𝐽𝑛 = 𝑛𝐼𝑛 𝐼𝑛−1 : montrer que la suite (𝐽𝑛 )𝑛≥1 est une suite constante, et préciser
sa valeur.
(c) En déduire la valeur de ℓ et un équivalent simple de la suite (𝐼𝑛 )𝑛≥0 .
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4. (a) En utilisant la relation établie à la question 2a, prouver que, pour tout entier 𝑛 ≥ 0 :
𝜋
(2𝑛)!
.
𝐼2𝑛 =
2 ×
𝑛
2
(2 𝑛!)
(b) Enfin, à l’aide de tous les résultats précédents, déterminer la valeur de la constante 𝐶, et
établir la formule de Stirling :
( 𝑛 )𝑛 √
𝑛! ∼
2𝜋𝑛.
𝑒
5. Applications : préciser un équivalent simple puis la limite lorsque 𝑛 tend vers +∞ de chacune
des suites suivantes :
𝛼𝑛 =
𝑛!
𝑛𝑛
𝛽𝑛 =
et
(𝑛!)2
.
𝑛𝑛
Exercice 4
Exercice BONUS : ne l’aborder que si toutes les autres questions ont été traitées.
∫ 𝜋√
2
1 + 𝑥 cos2 (𝜃)d𝜃.
1. Pour tout réel 𝑥 ≥ −1, justifier l’existence de la quantité 𝐹 (𝑥) =
0
2. Calculer 𝐹 (−1) et 𝐹 (0).
𝜋
(𝑥2 − 𝑥1 ).
8
En déduire la continuité de la fonction 𝐹 sur l’intervalle [0, +∞[.
∫ 𝜋√
∫ 𝜋√
2
2
2
1 + 𝑥 cos (𝜃)d𝜃 =
1 + 𝑥 sin2 (𝜃)d𝜃.
4. (a) Prouver l’égalité :
3. Montrer que, si 0 ≤ 𝑥1 ≤ 𝑥2 , on a : 0 ≤ 𝐹 (𝑥2 ) − 𝐹 (𝑥1 ) ≤
0
0
(b) Montrer que, pour tout 𝑥 > −1, on a l’identité : 𝐹 (𝑥) =
√
(
1 + 𝑥𝐹
)
−𝑥
.
1+𝑥
En déduire la continuité de 𝐹 sur l’intervalle ] − 1, 0].
√
√
√
5. (a) Montrer que, si 0 ≤ 𝑎 ≤ 𝑏, alors : 0 ≤ 𝑏 − 𝑎 ≤ 𝑏 − 𝑎.
(b) Montrer que, pour tout 𝑥 ∈] − 1, 0[, on a : 0 ≤ 𝐹 (𝑥) − 𝐹 (−1) ≤
√
1 + 𝑥.
En déduire que 𝐹 est continue à droite en −1.
6. Trouver un équivalent simple de 𝐹 (𝑥) lorsque 𝑥 tend vers +∞.
7. Tracer l’allure de la courbe représentative de la fonction 𝐹 sur [−1, +∞[.
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