Transcript DS n°8 - MPSI

Année Scolaire 2013–2014
MATHÉMATIQUES MPSI1,2,3
DS N˚8
Jeudi 10/04/2014 (4h)
Les candidats sont invités à composer avec une encre suffisamment visible (en bleu foncé ou en noir
par exemple), le bleu pâle est à proscrire. Les candidats sont également invités à porter une attention
particulière à la qualité de leurs raisonnements ainsi qu’à la rédaction (les copies illisibles ou mal
présentées seront pénalisées). La référence des questions doit obligatoirement être mentionnée et les
résultats doivent être encadrés .
Les trois problèmes doivent être rédigés sur des copies séparées.
La calculatrice, les formulaires et les téléphones sont interdits.
Problème 1 : comparaison de deux séries [CCP PSI 2006, extrait]
Si (an )n∈N est une suite complexe, on lui associe la suite (an∗ )n∈N définie par :
∀n ∈ N,
an∗
!
n
1 X n
= n
ak .
2 k=0 k
Partie I – Exemples
Q1) Soit α ∈ C. On suppose que (an )n∈N est la suite constante égale à α.
a) Expliciter an∗ pour n ∈ N.
b) Étudier la nature des séries
P
n∈N
an et
P
n∈N
an∗ selon la valeur de α.
Q2) Soit z ∈ C. On suppose que (an )n∈N est la suite définie par ∀n ∈ N, an = z n .
a) Exprimer an∗ en fonction de z et n.
b) On suppose que |z| < 1. Justifier la convergence des séries
P
P+∞
∗
sommes et exprimer +∞
n=0 an en fonction de n=0 an .
P
n∈N
an et
P
n∈N
an∗ , expliciter leurs
On suppose dans la suite que |z| = 1.
c) On suppose que z = ±1. Étudier dans les deux cas la convergence des suites (an )n∈N et (an∗ )n∈N
P
P
et des séries n∈N an et n∈N an∗ .
P
d) On suppose que z = eiθ avec θ . 0 [π]. Que peut-on dire de la série n∈N an ? Montrer que
P
P+∞ ∗
∗
n∈N an est convergente et calculer n=0 an .
1
Partie II – Comparaison de (an )n∈N et de (an∗ )n∈N
Q3) Soit n ∈ N∗ et un entier k ∈ J0, nK fixé. Déterminer un équivalent de nk quand n tend vers l’infini.
En déduire que 21n nk tend vers 0 quand n tend vers l’infini.
Q4) On suppose dans cette question que (an )n∈N tend vers 0. On fixe ε > 0.
a) Rappeler la définition de lim an = 0.
P
b) En déduire qu’il existe q ∈ N tel que pour tout n > q + 1, 21n nk=q+1 nk a k 6 ε.
Pq c) Montrer qu’il existe N > q tel que pour tout n > N, 21n k=0 nk a k 6 ε.
d) Montrer que (an∗ )n∈N tend vers 0.
Q5) On suppose que (an )n∈N tend vers l ∈ R. Montrer que (an∗ )n∈N converge et exprimer sa limite en
fonction de l.
Q6) La convergence de la suite (an )n∈N est-elle équivalente à celle de la suite (an∗ )n∈N ?
P
P
Partie III – Comparaison de n∈N an et n∈N an∗
P
P
Pour n ∈ N∗ , on note Sn = nk=0 a k et Tn = nk=0 a∗k .
Q7) En exprimant a k = Sk − Sk−1 (avec la convention S−1 = 0), exprimer an∗ sous la forme d’une seule
somme dépendant des Sk et de Sn . On ne cherchera pas à simplifier les coefficients.
P
Q8) Montrer alors par récurrence que pour n ∈ N, Tn = 21n nk=0 n+1
k+1 Sk .
P
P
P
∗
Q9) En déduire que si n∈N an converge, alors n∈N an∗ converge et exprimer la somme +∞
n=0 an en
P+∞
fonction de n=0 an .
P
P
Q10) La convergence de la série n∈N an est-elle équivalente à la convergence de n∈N an∗ ?
Problème 2 : fonction définie implicitement [Mines de sup 2001, extrait]
Dans ce problème ϕ désigne une fonction continue strictement positive sur R. On suppose par ailleurs
que ϕ possède une limite ` (finie ou infinie) en +∞. Le but de ce problème est d’étudier la fonction f où f (x)
Ry
est défini, pour x réel, comme étant l’unique solution de l’équation (E x ) d’inconnue y : (E x ) x ϕ(t) dt = 1.
Partie I – Un exemple
Dans cette partie, la fonction ϕ est la fonction exponentielle exp.
Q1) Prouver que pour tout x réel l’équation (E x ) possède une unique solution notée f (x).
On montrera que f (x) = ln(1 + e x ).
Q2) Étudier les variations de f sur R. Déterminer les limites de f aux bornes de l’intervalle d’étude.
Q3) Montrer que la droite D d’équation y = x est asymptote à la courbe C représentant f . Préciser la
position de celle-ci par rapport à l’asymptote.
Q4) Déterminer un développement limité à l’ordre 2 pour la fonction f au voisinage de 0. En déduire
l’équation de la tangente en 0 à C et la position locale de la courbe C par rapport à celle-ci.
Q5) Tracer l’allure de la courbe C dans un repère orthonormé, en utilisant les questions précédentes.
Partie II – Existence de f
Pour x réel, on pose Φ x (u) =
Φ0x (u) = ϕ(u).
R
u
x
ϕ(t) dt. On rappelle que Φ x est dérivable sur R et que pour u réel,
2
Q6) Dans cette question seulement, ϕ est définie, pour tout t réel, par :
Ry
a) Montrer que pour x et y réels, x ϕ(t) dt < 1.
ϕ(t) =
1
.
π(1+t 2 )
b) En déduire que pour tout x réel, l’équation (E x ) n’a pas de solution.
c) Que vaut ` ?
Dans tout le reste de ce problème, on suppose que ` , 0.
Q7) Exprimer l’équation (E x ) à l’aide de la fonction Φ x .
Q8) a) Montrer que Φ x est continue strictement croissante sur R. Φ x a-t-elle une limite en +∞ ?
b) Montrer que : ∃ t 0 ∈ R, ∃ A > 0, t > t 0 =⇒ ϕ(t) > A (distinguer ` = +∞ et ` réel).
c) En déduire que pour tout x réel, il existe u > x tel que Φ x (u) > 1.
d) En remarquant que Φ x (x) = 0, montrer que l’équation (E x ) possède une solution unique.
R f (x)
Jusqu’à la fin de ce problème, f (x) désigne l’unique réel tel que x
ϕ(t) dt = 1.
Partie III – Propriétés de f
Q9) Montrer, en justifiant l’écriture, que ∀ x ∈ R, f (x) = Φ−1
0 Φ0 (x) + 1 (on pourra admettre Q8).
Q10) En déduire que f est continue strictement croissante sur R.
ϕ(x)
.
ϕ f (x)
Soit ε ∈ R∗+ .
Q11) Montrer que f est de classe C 1 sur R et pour x réel, montrer que : f 0 (x) =
Q12) On étudie la branche infinie de f au voisinage de +∞ lorsque ` = +∞.
a) Montrer qu’il existe a ∈ R tel que pour t > a, ϕ(t) > ε1 .
b) En déduire que si x > a, | f (x) − x| 6 ε. Que peut-on en conclure ?
Q13) Dans cette question, on suppose ϕ paire. On note Γ le graphe de f .
On rappelle que ∀(x, y) ∈ R2 , (x, y) ∈ Γ ⇐⇒ y = f (x).
a) Soit (x, y) ∈ R2 , à l’aide d’un changement de variable très simple dans l’intégrale, montrer que
(x, y) ∈ Γ si et seulement si (−y, −x) ∈ Γ.
b) En déduire que la courbe représentant f possède un axe de symétrie à déterminer.
c) Montrer que f est bijective, et exprimer f −1 en fonction de f .
2
Q14) Sans déterminer f , esquisser son graphe lorsque ϕ(t) = et , en précisant les éléments remarquables
(asymptotes, axe de symétrie, points à tangentes horizontales ou verticales s’il y en a).
Problème 3 : matrices semblables à leur inverse [Mines de sup 2002, extrait]
Partie I
Soient n ∈ N∗ et A, B deux matrices dans Mn (R). On dit que A est semblable à B si, et seulement si :
∃ P ∈ GLn (R) : A = P−1 B P.
Q1) Montrer que la relation « être semblable à » est une relation d’équivalence sur Mn (R).
Q2) Quelles sont les matrices semblables à la matrice In ?
3
Q3) Vérifier que si A est semblable à B alors In + A est semblable à In + B.
Q4) Prouver que si A est semblable à B et que B est inversible, alors A est inversible et A−1 est semblable
à B−1 .
Q5) Montrer que si A est semblable à B, alors tr( A) = tr(B). La réciproque est-elle vraie (justifier) ?
Partie II
E désigne un R espace vectoriel de dimension 3 et u un endomorphisme de E.
w : Ker(ui+ j ) →
E
Q6) Soient i et j deux entiers naturels. On note .
x
7→ u j (x)
a) Justifier que w est une application linéaire et que Im(w) ⊂ Ker(ui ).
b) Établir que dim(Ker(ui+ j )) 6 dim(Ker(ui )) + dim(Ker(u j )).
Q7) On suppose dans cette question que u3 = 0L (E) et que rg(u) = 2.
a) En utilisant deux fois le résultat de la question 6b, prouver que dim(Ker(u2 )) = 2.
b) En déduire qu’il existe un vecteur e ∈ E tel que u2 (e) , 0E , et prouver que la famille
(e,u(e),u2 (e)) est une base de E.
c) Écrire la matrice de u dans cette base.
Q8) On suppose dans cette question que u2 = 0L (E) et que rg(u) = 1.
a) Justifier que l’on peut trouver un vecteur e ∈ E tel que u(e) , 0E , et un vecteur f ∈ Ker(u) tel
que la famille (u(e), f ) soit libre, puis prouver que la famille (e,u(e), f ) est une base de E.
b) Écrire la matrice de u dans cette base.
Partie III
*. 1 α β +/
Soit A ∈ M3 (R) une matrice semblable à une matrice T = .. 0 1 γ // avec (α, β, γ) ∈ R3 .
, 0 0 1 On se propose de prouver que A est alors semblable à son inverse A−1 .
Q9) On pose N = T − I3 et M = N 2 − N.
Expliciter les matrices N et M et vérifier que N 3 = M 3 = 0M3 (R) , puis que rg(M) = rg(N ).
Q10) On suppose dans cette question que rg(N ) = 2. En utilisant la question 7c, prouver que les matrices
N et M sont semblables.
Q11) Prouver que ce résultat reste vrai pour les autres valeurs possibles de rg(N ).
Q12) Montrer que T est inversible et que T −1 = I3 + M.
Q13) Conclure que la matrice A est inversible et que A est semblable à A−1 .
Q14) Réciproquement, toute matrice inversible semblable à son inverse est-elle semblable à une matrice de
la forme T (justifier) ?
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