Transcript fiche n°5 - Mathématiques en ECE1

Feuille no 5 : Matrices
5 novembre 2014
chapitre 5
92 On considère la matrice :
ˆ
1
A“
3
Matrices
˙
0
1
´1
´2
Calculer AtA puis tAA.
93 Résoudre les équations suivantes, d’inconnue X P M3,1 p q :
¨
˛
¨ ˛
3 0 1
7
1) AX “ B avec A “ ˝0 2 1‚ et B “ ˝´9‚
1 1 3
0
¨
˛
¨ ˛
0 1 3
1
2) AX “ B avec A “ ˝1 0 2‚ et B “ ˝1‚
1 0 2
2
¨
˛
3 0 1
3) AX “ 3X avec A “ ˝1 4 1‚
2 2 5
94 87 R
Écrire les matrice suivantes :
A “ pi ´ j ` 1q 1ďiď3
B “ pminpi, jqq 1ďiď5
1ďjď4
1ďjď4
88 ˆ
˙
ˆ
˙
1 3
2 2
On considère les matrices A “
,B“
.
2 5
0 4
Calculer A ` B, 2A ´ B, AB et BA.
89 On considère les trois matrices suivantes :
˛
¨
1 ´1
ˆ
˙
ˆ
˙
˚2 2 ‹
1 2 1 4
1 ´1
‹
A“
B“
C“˚
˝3 ´3‚
´1 0 1 2
2 1
5 1
Dans chacun des cas suivants, calculer A2 , A3 , A4 puis An
pour n P ˚ .
N
1)
ˆ
A“
Parmi les couples pU, V q tels que U et V appartiennent à
tA, B, Cu, quels sont ceux pour lesquels le produit U V est
défini ? Calculer U V s’il existe.
90 On considère les deux matrices suivantes :
˛
¨
˛
¨
1 0 0
´1 4 5
A “ ˝ 4 1 3‚ B “ ˝´3 2 0‚
´1 2 3
5 3 2
˙
´1
0
2)
¨
0
0
0
˛
1
0‚
1
¨
0
1
0
˛
0
1‚
1
1
A “ ˝0
1
3)
1
A “ ˝0
0
95 On considère la matrice :
Calculer le terme situé à l’intersection de la deuxième colonne et de la troisième ligne dans les matrices A2 ´ B 2 ,
pA ´ BqpA ` Bq et pA ` BqpA ´ Bq.
Que peut-on en déduire ?
91 Soit A la matrice :
¨
˛
3
7
5
4‚
A “ ˝ 1 ´1
2
1
8
¨
2
J “ ˝2
2
2
2
2
˛
2
2‚
2
Montrer que :
@n P
96 Soient E1 , E2 et E3 les matrices définies par :
¨ ˛
¨ ˛
¨ ˛
1
0
0
E1 “ ˝0‚
E2 “ ˝1‚
E3 “ ˝0‚.
0
0
1
N˙
On considère la matrice :
¨
1
A “ ˝6
3
1) Calculer AE1 , AE2 et AE3 .
J n “ 6n´1 J
´3
´8
´3
˛
6
12‚
4
1) Calculer A2 et déterminer deux réels λ et µ tels que
A2 “ λA ` µI3 .
2) Calculer tE1 A, tE2 A et tE3 A.
Lycée Le Verrier, Saint-Lô
0
1
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ECE1, Mathématiques
Feuille no 5 : Matrices
5 novembre 2014
chapitre 5
2) Montrer par récurrence sur n que pour tout n dans
, il existe un réel an tel que :
ˆ
˙
ˆ
˙
1
2
An “
´ an A `
` an I3
3
3
N
3) Vérifier que la suite pan qnPN est géométrique.
4) En déduire les expressions de an puis de An en fonction
de n.
97 On considère les matrices
¨
6
4
A “ ˝´4 ´2
0
0
:
˛
0
0‚ et B “ A ´ 2I3
2
1) Calculer B et B 2 .
2) Montrer que :
@n P
N
An “ 2n I3 ` n2n´1 B
98 Montrer que pour toute matrice A de Mn p q, la matrice
B “ A ` tA est une matrice symétrique.
99 On considère la matrice :
˛
¨
1 0 0
A “ ˝6 ´5 6‚
3 ´3 4
R
1) Montrer par récurrence sur n que pour tout n dans
, il existe un réel an tel que :
¨
˛
1
0
0
2an ‚
An “ ˝2an 1 ´ 2an
an
´an
an ` 1
N
2) Montrer que la suite pan q est arithmético-géométrique.
3) En déduire les expressions de an puis de An en fonction
de n.
100 On considère les suites réelles pun qnPN et pvn qnPN définies
par leur premiers termes u0 et v0 et par les relations de
récurrence :
"
un`1 “ 4un ´ vn
@n P
vn`1 “ un ` 2vn
N
R
1) Déterminer la matrice A P M2 p q telle que :
ˆ
˙
ˆ ˙
un`1
u
@n P
“A n
vn`1
vn
N
2) Montrer que A s’écrit sous la forme A “ 3I2 ` J, où
J est une matrice à déterminer.
3) Vérifier que J 2 “ 0 et en déduire l’expression de An
pour tout n dans .
4) En déduire les expressions de un et de vn en fonction
de n, u0 et v0 .
N
♣♣♣
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