Transcript DS 6 Bac blanc - Mathématiques en Terminale S

BAC BLANC.
Mardi 18 Février
Exercice 1 (5 points)
On divise la population active d’une région en « citadins », c’est-à-dire les actifs domiciliés dans une
commune de plus de 50 000 habitants, et en « ruraux », tous les autres.
56 % de la population active sont des « citadins ».
Un sondage a porté sur l’utilisation de la voiture pour se rendre sur son lieu de travail.
32 % des « citadins » et 74 % des « ruraux » utilisent principalement leur voiture pour aller à leur travail.
Une personne de la population active étant prise au hasard, on considère les événements :
- C : « la personne fait partie des « citadins » » ;
- R : « la personne fait partie des « ruraux » » ;
- V : « la personne utilise principalement sa voiture pour aller à son travail » ;
-
V : l’événement contraire de V.
Dans tout l’exercice, on donnera des valeurs approchées des résultats à 0,0001 près.
1°. Traduire les données précédentes au moyen d’un arbre de probabilités.
2°. a) Calculer la probabilité que la personne soit un « citadin » et utilise principalement sa voiture pour
aller à son travail.
b) Démontrer que la probabilité que la personne utilise principalement sa voiture pour aller à son
travail est égale à 0,5048.
c) La personne utilise principalement sa voiture pour aller à son travail.
Quelle est la probabilité que ce soit un « citadin » ?
3°. On prend au hasard 8 personnes dans la population active, et X est la variable aléatoire égale au
nombre de personnes utilisant principalement leur voiture pour aller à leur travail, parmi ces 8.
On considère que la population étudiée est suffisamment importante pour qu’un tel choix soit
assimilable à un tirage avec remise.
a) Déterminer la loi de probabilité que suit la variable X.
b) Calculer la probabilité qu’au moins 2 personnes parmi les 8 utilisent principalement leur voiture
pour aller à leur travail.
4°. Le sondage a permis d’estimer le coût d’un trajet vers le lieu de travail.
Pour un « citadin », il est de 1,25 € en voiture et de 0,70 € par un autre moyen de locomotion.
Pour un « rural », il est de 2,15 € en voiture et de 1,55 € autrement.
Y est la variable aléatoire égale au coût d’un trajet vers le lieu de travail d’une personne de la
population active de cette région.
a) Déterminer la loi de probabilité de la variable Y.
b) Quel est le coût moyen d’un trajet vers le lieu de travail d’une personne de la population active de
cette région ?
Exercice 2 (Enseignement de spécialité). (5 points)
Partie 1.
1° En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer deux entiers relatifs u et v tels que : 15u + 26v = 1 .
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On considère l’algorithme ci-dessous :
2° On décide d’entrer 15 dans la variable N. Déterminer les valeurs U et
V affichées par cet algorithme en reproduisant et complétant le tableau
ci-dessous. (Le nombre de lignes du tableau est peut-être à modifier)
U
V
Initialisation
1
0,538…
Traitement
Variables : U ; V ; N
Initialisation des variables :
Entrer N
1 U
(N*U - 1)/26 V
Traitement :
Tant que V n’est pas un nombre entier faire :
U+1 U
(N*U - 1)/26 V
Fin de Tant que
Affichage :
Afficher U
Afficher V
Affichage
3° Quel est le plus petit entier naturel n, tel que : 15n ≡ 1[ 26] ?
4° Déterminer l’ensemble des entiers relatifs x tels que : 15 x ≡ 5 [ 26] .
5° On note p l’entier naturel non nul que l’on entre dans la variable N.
Existe-il des valeurs de p pour lesquelles cet algorithme n’affiche rien ?
Justifier votre réponse par un raisonnement mathématique.
Partie 2.
On veut coder un mot de deux lettres selon la procédure suivante :
Étape 1 : Chaque lettre du mot est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous :
A
0
B
1
C
2
D
3
E
4
F
5
G
6
H
7
I
8
J
9
K
10
L
11
M
12
N
13
O
14
P
15
Q
16
R
17
S
18
T
19
U
20
V
21
W
22
X
23
Y
24
On obtient un couple d’entiers ( x1; x2 ) où x1 correspond à la première lettre du mot et x2 correspond à la
deuxième lettre du mot.
Étape 2 : ( x1; x2 ) est transformé en ( y1; y2 ) tel que :
Z
25
 y1 ≡ 9 x1 + 23 x2 [ 26]
avec : 0 ≤ y1 ≤ 25 et 0 ≤ y2 ≤ 25

 y2 ≡ 6 x1 + 17 x2 [ 26]
On pourra écrire cette relation sous forme matricielle en notant :
9 6
Y = X × A modulo 26 avec : Y = ( y1; y2 ) ; X = ( x1; x2 ) et A = 

 23 17 
Étape 3 : ( y1; y2 ) est transformé en un mot de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance cidessus.
1° Coder le mot PI
selon ce procédé. (PI en référence au nombre ...)
−1
2° a. Déterminer A , inverse de la matrice A . (Aucune justification n’est demandée).
b. Démontrer que pour X et Y deux matrices lignes à deux composantes réelles quelconques on a :
Y = X × A ⇔ X = Y × A−1 .
c. Pourquoi la relation X = Y × A−1 ne permet pas de décoder directement ?
Partie 3.
Dans cette partie, pour toute matrice M à 2 lignes et deux colonnes dont les coefficients sont des entiers relatifs,
on convient de noter R ( M ) la matrice obtenue en remplaçant tous les coefficients de M par leurs restes modulo
26. On dira que « R ( M ) est la matrice des restes modulo 26 de la matrice M ».
 54 12 
 2 12 
 → R(M ) = 

 −1 27 
 25 1 
 17 −6 
1° On considère la matrice B = 
.
 −23 9 
Par exemple : M = 
(
)
En utilisant la partie 1, trouver un entier naturel n, tel que la matrice R n ( A × B ) = I 2
2° Pour cet entier n, déterminer la matrice R (nB )
C’est la matrice R (nB ) qui sera utilisée pour le décodage.
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Exercice 2 (Enseignement spécifique) (5 points)
3

 u1 = 2
Soit ( un ) la suite définie par : 
.
6
n
u
−
n
 un +1 =
pour tout n ≥ 1
2 (n + 1)

1°. Un logiciel de calcul formel a permis de déterminer les premiers termes de la suite ( un ) :
n
1
un
1,5
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1,125 0,625 0,5156 0,3938 0,3359 0,2846 0,2505 0,2220 0,2001 0,1818 0,1667 0,1538
A partir de ces valeurs, la suite ( un ) peut-elle être :
a) monotone ?
b) arithmétique ?
c) géométrique ?
On va démontrer par deux méthodes différentes que la limite de la suite ( un ) est égale à 0.
2°. Première méthode
On définit une nouvelle suite ( vn )n∈ℕ* en posant, pour tout entier n strictement positif : vn = n un − 2 .
1
a) Déterminer la valeur de v1 et prouver que, pour tout entier n strictement positif, vn +1 = − vn .
2
b) Exprimer vn , puis un en fonction de n.
c) En déduire la limite de la suite ( un ) .
3°. Seconde méthode
a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier n strictement positif : 0 ≤ n un ≤ 3 .
b) En déduire la limite de la suite ( un ) .
4°. a) En utilisant le tableau de la question 1°, déterminer le plus petit indice n tel que un < 0, 2 .
b) Écrire un algorithme déterminant le plus petit indice n tel que un < 0,1 . (La valeur de cet indice
n’est pas demandée).
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Exercice 3 (4 points)
Partie A
La courbe C ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d’une fonction f
continue sur ℝ.
On note F une primitive de la fonction f sur ℝ.
1°. Déterminer graphiquement les valeurs de F ′(0) et de F ′(2) .
2°. L’une des trois courbes représentées ci-dessous, avec leur tangente T au point d’abscisse 0, est la
représentation graphique de la fonction F.
Indiquer laquelle. On expliquera pourquoi on a éliminé les deux autres.
Partie B
On admet que la fonction f introduite à la partie A est définie sur ℝ par : f ( x) = (2 − x) e − x .
1°. Dans cette question, toute réponse sera justifiée par un calcul.
a) Déterminer la limite de la fonction f en – ∞.
b) Déterminer la limite de la fonction f en + ∞ .
c) Déterminer le tableau de variation de la fonction f sur ℝ.
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2°. On considère l’intégrale I suivante : I =
∫
2
f ( x) dx .
0
a) Interpréter géométriquement le nombre I.
b) Prouver que, pour tout nombre réel x :
f ( x) = − e − x − f ′( x) .
En déduire l’expression d’une primitive de f sur ℝ.
c) Déterminer la valeur exacte du nombre I.
Partie C
f et I désignent encore la fonction et l’intégrale définies dans les parties A et B.
On considère l’algorithme suivant :
Variables
n, k : entiers naturels
s1 , s2 , h : nombres réels
Entrées et initialisations
Saisir n
2
h prend la valeur
n
s1 prend la valeur 0
s2 prend la valeur 0
Traitement
Pour k variant de 1 à n
s1 prend la valeur s1 + h × f ( (k − 1) × h )
s2 prend la valeur s2 + h × f ( k × h )
Fin_Pour
Sorties
Afficher s1
Afficher s2
On exécute cet algorithme en choisissant n = 4 . En se référant à une ou plusieurs des trois figures
suivantes, indiquer ce que représentent les nombres s1 et s2 affichés en sortie. (On ne demande aucune
valeur numérique pour s1 et s2 )
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Exercice 4 (6 points)
Partie A : étude d’une fonction auxiliaire
On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par g (x) = 3 – 3 ln x + x3.
1°. a) Montrer que la fonction dérivée g′ de la fonction g peut s’écrire, pour tout nombre réel x strictement
positif, sous la forme : g′(x) =
.
b) En déduire les variations de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
2°. a) Calculer la valeur de g (1).
b) En déduire le signe de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
Partie B : étude d’une fonction
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : f (x) = 3
+ x² + 1.
On note C sa courbe représentative, donnée en Annexe, dans le plan muni d’un repère orthogonal O; , .
1°. Déterminer la limite de la fonction f en +∞ et en 0.
2°. a) Établir que, pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[, on a : f ′(x) =
fonction définie dans la partie A.
b) En déduire le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
²
, où g est la
3°. Montrer que sur l’intervalle [0,5 ; 1], la courbe C coupe l’axe des abscisses en un unique point. On
notera α l’abscisse de ce point.
À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de α d’amplitude 10 −2.
4°. On note P la parabole d’équation y = x² + 1 dans le repère O; , .
La parabole P est représentée en ANNEXE, à rendre avec la copie.
Étudier la position relative des courbes C et P.
On précisera les coordonnées du point d’intersection des courbes C et P.
Partie C : calcul d’une aire
On note D le domaine du plan délimité, d’une part, par les courbes C et P, d’autre part, par les droites
d’équations respectives x = 1 et x = e.
1°. Hachurer le domaine D sur le graphique de l’annexe 1, à rendre avec la copie.
2°. On considère la fonction h définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par h (x) = (ln x)².
Calculer h′(x), où h′ désigne la fonction dérivée de la fonction h.
3°. Calculer la valeur exacte de l’aire du domaine D, exprimée en unité d’aire.
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NOM :
Prénom :
Classe :
ANNEXE
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