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DM : Matrices et arithmétiques.
Exercice 1 : Chiffrement de Hill
Le principe
Lester Hill (mathématicien américain, 1891-1961) a publié en 1929 une méthode de chiffrement dite polygraphique, où il ne s'agit pas de
coder un message lettre par lettre, mais par « paquets » de n Lettres.
L'idée est la suivante (pour n= 2 ):
• On commence par associer à chaque lettre de l'alphabet un nombre compris entre 0 et 25 (Par ex : A =0, B=1,…, Z=25 ).
a
a 12
• On se donne une matrice A = 11
carrée d'ordre 2 bien choisie.
a 21 a 22
• Soit x1 et x 2 les nombres entiers (compris entre 0 et 25) associés aux deux premières lettres du message à chiffrer.
On remplace ces deux lettres par celles associées aux nombres entiers y 1 et y 2 (eux aussi compris entre 0 et 25) définis par les
y1
x
congruences suivantes : y 1≡a 11 x 1+a12 x2 [ 26 ] soit encore
=A 1 [26]
y2
x2
y 2≡ a 21 x1 +a 22 x 2 [ 26 ]
Remarque : Si le nombre de lettre est impair on complète par la lettre A. Par exemple BRAVO devient BR..AV..OA
Dans ce système la clé de chiffrement est donc la matrice A .
(
)
() ()
{
Partie 1 : Chiffrement.
(34 13)
Dans cette partie on utilisera la matrice A =
On souhaite coder la phrase : Message en clair.
On commence donc par l’écrire sous la forme suivante MESSAGEENCLAIR puis à la découper en bigrammes ME SS AG EE NC LA IR
1) a) A quel bloc de x1 x 2 est associé le bloc ME ?
b) Déterminer alors le bloc y 1 y 2 associé à ce bloc x1 x 2 en utilisant le principe exposé plus haut.
c) Quel est donc le cryptage du bloc ME ?
2) Terminer le cryptage.
Partie 2 : Déchiffrement.
(34 13) .
On a envoyé à Bérénice un message chiffré en utilisant la méthode décrite précédemment avec la clé A=
Le message reçu est le suivant : UYSPBPZDNWXX
Elle se demande comment elle va procéder pour déchiffrer le message.
y1
x
Le principe est le suivant : on avait l'égalité
=A 1 [ 26 ] .
y2
x2
Pour trouver les nombres x1 et x 2 à partir de y 1 et y 2 il suffit d'inverser cette égalité matricielle pour obtenir une égalité du type
x1
y
=B 1 [ 26 ] où B est une matrice à coefficients entiers définis modulo 26.
x2
y2
−1
−1
1) Justifier que A est inversible et donner A . La matrice B= A convient elle ? Justifier.
−1
−1
2) Montrer que A peut se mettre sous la forme 5 ×C où C est une matrice à coefficients entiers à déterminer.
3) a) Montrer qu'il existe t-il un entier a tel que 5×a≡1 [ 26 ] .
b) Déterminer une valeur de a .
11 5
3 −1
4) En déduire que la matrice B=
≡21
[ 26 ] convient pour être la clé de déchiffrage nécessaire à Bérénice pour
20 11
−4 3
déchiffrer le messager qui lui a été envoyé.
5) Déchiffrer le message reçu.
() ()
() ()
(
) (
)
Partie 3 : A vous de jouer.
( )
1 3 4
1) Chiffrer le messager : Message en clair à l'aide de la clé de chiffrement A = 2 5 2
3 1 1
2) a) Déchiffrer avec la même matrice le message LHNNZGHOTS
b) Qui est ce personnage ?
3) Est il toujours possible de chiffrer et de déchiffrer un message avec n'importe qu'elle matrice A.
4) Quelle est la différence majeure entre le chiffrement de Hill et le chiffrement affine ?
Exercice 2 : Matrices
On cherche à modéliser l’évolution au cours du temps de deux populations d'animaux: le renard et le campagnol (qui constitue l’essentiel
du régime alimentaire du renard).
Pour tout entier n⩾0 on note a n la population des renards, et bn la population des campagnols (donnée en milliers) à la fin du n -ième
mois. On suppose que l'on a, pour tout n⩾0 : a n +1=0,8 an +0,4bn
(1)
b n+ 1=−0,025a n+1,05 bn
1) Donner une interprétation des coefficients 0,8 et 1,05 dans le contexte de l'exercice.
2) On suppose tout d'abord que la population initiale de chaque espèce est de 90 renards et 30 000 campagnols. Soit a 0 =90 et b0=30
a) Construire un algorithme qui permet de donner la valeur de a N et de b N pour un N donné par l'utilisateur.
b) Donner dans un tableau les valeurs de a n et bn pour n=10 , 20 , 50, 80 et 100. Que constate-t-on ? Interpréter.
3) Nous allons expliquer le comportement des deux suites grâce au calcul matriciel:
{
()
an
. Écrire le système (1) sous la forme d'une égalité matricielle du type U n+1 =A Un .
bn
n
20
50
100
b) Démontrer que, pour tout n⩾0 on a U n= A U0 . À l'aide de la calculatrice calculer A , A , A . Que constate-t-on?
2 8
c) Posons P=
. Démontrer que P est inversible et calculer P−1 .
1 1
−1
n
n −1
d) Calculer D= P AP , puis montrer que pour tout n⩾0 on a A =PD P
n
e) En déduire que, en prenant a0 =90 et b0=30 , pour tout n∈ℕ on a an =50+40×0,85
n
bn=25+5×0,85
Étudier le comportement de ces deux suites, et comparer avec les résultats obtenus à la question 2. b.
Interpréter ce qui se passe à long terme.
4) a) Que se passe-t-il si les valeurs initiales changent pour a0 =90 et b0=60 ?
b) À L'aide d'un tableur ou de la calculatrice, voir ce qui se passe pour les puissances de la matrice A et pour les deux suites lorsque
a0 =90 , b0=30 et que l'on remplace le coefficient −0,025 par une valeur très proche −0,02 ou −0,03 par exemple. Interpréter.
a) On pose, pour tout n⩾0 U n=
( )
{