Transcript detA

Rappel...
• Sous-espaces de Rn:
–
–
–
–
–
–
Définition;
Sous-espaces associés à une matrice;
Bases;
Coordonnées;
Dimension;
Rang.
Aujourd’hui
• Déterminants:
–
–
–
–
–
–
définition;
propriétés;
règle de Cramer;
calcul de l’inverse d’une matrice;
aire et volume;
transformations linéaires.
9. Déterminants
• Aujourd’hui, on étudie surtout les « petits »
déterminants.
• Matlab: det(A)
Définition du déterminant
Pour n  2, le déterminant d’une matrice nn
A = [aij] est la somme des n termes de la forme
a1jdetA1j, avec les signes plus et moins en
alternance et où les éléments a11, a12, ... , a1n
forment la première ligne de A.
Définition du déterminant (suite)
De façon symbolique, on écrit:
detA = a11detA11 - a12detA12+ … +(-1)1+na1ndetA1n
n
det A   (1) a1 j det A1 j
j 1
1 j
Notation
det(A)
detA
|A|
Calcul d’un déterminant
Le déterminant d’une matrice nn A peut être
calculé par une expansion en cofacteur le long
de toute ligne ou de toute colonne.
Soit Cij = (-1)i+jdetAij, le cofacteur-(i, j) de la
matrice A. L’expansion le long de la i-ième
ligne est donnée par:
detA = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin
Calcul d’un déterminant (suite)
L’expansion le long de la j-ième colonne est
donnée par:
detA = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj
Que fait un ordinateur?
Pour calculer le déterminant d’une matrice
2525 selon la méthode de l’expansion en
cofacteurs, il faut 25! (1.551025) opérations.
1000 Gflops  500000 ans!!!!
Il existe des méthodes plus efficaces (heureusement!)
Déterminant d’une matrice
triangulaire
Si A est une matrice triangulaire, alors det A est
le produit des éléments de la diagonale
principale de A.
Opérations sur les lignes
Soit A une matrice carrée.
a. Si un multiple d’une ligne de A est additionné à une autre
ligne pour produire une matrice B, alors det B = det A.
b. Si deux lignes de A sont permutées pour produire B, alors
det B = -det A.
c. Si une ligne de A est multipliée par k pour produire B, alors
detB = kdetA.
A~U
detA = (-1)rdetU
Donc,
detA = (-1)r  (produit des pivots de U),
si A est inversible.
detA = 0, si A n’est pas inversible.
Ordinateurs
• Les ordinateurs utilisent la méthode précédente.
• 2n3/3 opérations.
• Matrice 2525:  10 kflops.
Matrices inversibles et
déterminants
Une matrice carrée A est inversible si et
seulement si det A  0.
Déterminant de la transposée
d’une matrice
Si A est une matrice n  n, alors det AT = det A.
Déterminant d’un produit de
matrices
Si A et B sont des matrices n  n, alors
det AB = (det A)(det B).
ATTENTION!
det(A+B)  detA + detB
Règle de Cramer
Soit A une matrice réversible n  n. Pour tout
b  Rn, l’unique solution x du système Ax = b
est donnée par
det Ai (b)
xi 
, i  1,2,, n
det A
où Ai(b) = [a1, … ai-1, b, ai+1, …, an].
Formule pour calculer l’inverse
d’une matrice
Soit A une matrice n  n inversible. Alors
1
A 
adjA
det A
1
Matrice adjointe
La matrice adjointe de la matrice A est la
transposée de la matrice des cofacteurs.
C11 C21  Cn1 
C



C
12
n2 

adjA 
 


 


C1n C2 n  Cnn 
Calcul de l’aire et du volume
avec des déterminants
Si A est une matrice 22, l’aire du
parallélogramme déterminé par les colonnes de
A est |det A|.
Si A est une matrice 33, le volume du
parallélépipède déterminé par les colonnes de A
est |det A|.
Matrice diagonale 22
C’est vrai.
y
Aire = |ad|
(0, d)
(a, 0)
x
Matrice 22
a2
a2 + ca1
a2 + L
L
0
ca1
a1
Exemple
(2,5)
(6, 7)
(-1, 3)
(-5, 1)
(4, 2)
(0,0)
(-3, -2)
(-7, -4)
Transformations linéaires et
calcul de l’aire
Soit T : R2R2 une transformation linéaire
déterminée par une matrice A 2  2. Si S est un
parallélogramme dans R2 alors
{aire de T(S)} = |det A|{aire de S}
Transformations linéaires et
calcul du volume
Soit T : R3R3 une transformation linéaire
déterminée par une matrice A 3  3. Si S est un
parallélépipède dans R3 alors
{volume de T(S)} = |det A|{volume de S}
Prochain cours...
• Valeurs propres et vecteurs propres.