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Université Paris Diderot
Algèbre et analyse approfondies I (MM3), 2014-2015
TD 6 : Déterminants et diagonalisation
Exercice 1.
Soit A = (ai,j ) une matrice carrée d’ordre 3.
Donner la liste des éléments de S3 puis calculer le déterminant de A à l’aide de la formule
X
Y
det A =
ε(σ)
aσ(i),i
16i63
σ∈S3
En déduire la régle de Sarrus pour le calcul des déterminants 3x3.
Exercice 2.
Soit σ une permutation des nombres 1, 2, . . . , n.
Calculer le déterminant de la matrice (ai,j ) où ai,j = 1 si j = σ(i) et 0 sinon.
Exercice 3.
Calculer les déterminants des matrices



x a b x
a+b
a x x b 
, A2 = a2 + b2
A1 = 
 b x x a
a3 + b3
x b a x
suivantes et déterminer si elles

 2
b+c
c+a
a
b2 + c2 c2 + a2 , A3 =  b2
b3 + c3 c3 + a3
ab
Exercice 4.
Calculer les déterminants des matrices suivantes :



a1 − b1 . . .
0 1 ··· 1



.
.
.
. . .. 
2.  ...
1 . .
...


1.  . .

.
an − b1 . . .
. . 1
..
 ..
1 ··· 1 0
avec (n > 3)

a1 − bn
.. 
. 
an − bn
sont inversibles :



b2 ab
a + b ab a2 + b2
ab a2 , A4 =  b + c bc b2 + c2 .
a2 b2
c + a ca c2 + a2
3. 
Matrice circulante : 
a1 a2 . . .
an
an a1 . . . an−1 


 ..
..
.. 
.
.
. 
a2
Indication : calculer det(AM ), où A est la matrice circulante et M = ω (i−1)(j−1)
a3 . . .
a1
2π
16i,j6n
avec ω = ei n .
Exercice 5.
Soit E un espace vectoriel de dimension n et B = (e1 , . . . , en ) une base de E. Soit (v1 , . . . , vn ) une famille
de n vecteurs de E et ∆ = detB (v1 , . . . , vn ).
Calculer en fonction de ∆ :
1. detB (v1 , v2 + v1 , v3 + v2 , . . . , vn + vn−1 ).
2. detB (v1 , 2 v2 + v2 , 3 v3 + v2 , . . . , n vn + vn−1 ).
Exercice 6.
Déterminer les cas d’annulation des déterminants suivants, puis les calculer en utilisant des factorisations
de polynômes :
1
1
···
1
..
..
.
1 1−x
.
1. .
2. Déterminant de Vandermonde : V (a1 , . . . , an ) = aj−1
i
16i,j6n
..
..
..
.
.
1
1 ···
1 n−x
Indication : distinguer d’abord le cas où les ai sont distinctes deux à deux et déterminer le degré, le coefficient
dominant et les racines du polynôme V (a1 , . . . , an−1 , X).
1
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Exercice7.
1 4
Soit A =
.
2 3
1. Trouver les valeurs propres réelles de A et les sous-espaces propres correspondants de R2 .
2. En déduire une matrice inversible P telle que P −1 AP soit diagonale.
(
un+1 = un + 4vn
3. Déterminer les suites (un )n∈N et (vn )n∈N qui vérifient
vn+1 = 2un + 3vn
Exercice 8. Soient A ∈ M4 (R) et B ∈ M3 (R). Soit f l’endomorphisme associé à la matrice A dans
l’espace vectoriel R4 .




5 3 −1 3
5 3 −1
 0 −1 1 2 
 B =  0 −1 1 
A=
 0 2
1 2 
0 2
1
0 0
0 1
1. Uniquement en examinant la matrice A, trouver deux valeurs propres et un vecteur propre de A, puis
deux sous-espaces f −stables.
2. Que représente la matrice B ?
Exercice 9.
Les matrices suivantes

3 1
A1 =  2 4
1 1
sont-elles diagonalisables ? Si oui, les diagonaliser.





1
1 2 2
1 1 0
2  A2 =  1 2 −1  A3 =  0 1 0 
3
−1 1 4
0 0 1


3 −3 −4 −1
0 2
0 −1

A5 = 
2 −4 −3 0 
0 2
0 −1

1 0
0
1 1 −1
A6 = 
2 −1 1
3 −1 −1

0
1

1
3


3 2 −2
A4 = −1 0 1 
1 1 0


3 −1 7 −14
4 −1 7 −15

A7 = 
0 0 3 −4 
0 0 2 −3
Exercice 10. Soit J la matrice n × n

1 ···
 ..
J = .
1 ···

1
.. 
.
1
1. Trouver une relation entre J et J 2 .
2. En déduire les valeurs propres de J et calculer leurs multiplicités.
3. Donner le polynôme caractéristique de J.
4. J est-elle diagonalisable ?
Exercice 11.

1
0
Pour quelles valeurs de a, b, c ∈ R la matrice A = 
0
0
On ne cherchera pas à diagonaliser explicitement A.
2
a
1
0
0
1
b
2
0

0
2
 est-elle diagonalisable ?
c
2
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Exercice 12.

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t
1

1 t
Soit At la matrice At = 
 .. . .
.
.
1 ···
···
..
.
..
.
1

1
.. 
.
.

1
t
Sans calculer le polynôme caractéristique de At , montrer que (t − 1) est valeur propre. Déterminer l’espace
propre associé. Que dire de la multiplicité de la valeur propre (t − 1) ? En déduire le spectre de At . At
est-elle diagonalisable ?
Exercice 13.
E un R-espace vectoriel de dimension n > 2.
Soit f un endomorphisme de E vérifiant f n = 0 et f n−1 6= 0. Soit u un vecteur de E tel que f n−1 (u) 6= 0.
Montrer que (u, f (u), f 2 (u), · · · , f n−1 (u)) est une base de E.
Comment s’écrit la matrice de f dans cette base ?


2
1
2
Application : on pose A =  −1 −1 −1  .
−1 0 −1
3
Calculer A et donner une base de R3 dans laquelle la matrice de l’endomorphisme x → Ax a une forme
simple, en un sens à préciser.
3