Transcript DS6 Mathématiques le 7/02/2014. Calculatrices autorisées

DS6 Mathématiques le 7/02/2014. Calculatrices autorisées
EXERCICE
1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière f (x) =
P+1
n
n
n=1 (n!)2 x
2. Déterminer toutes les fonctions y développables en séries entières qui sont solutions de l’équation différentielle
xy 00 (x) y(x) = 0
PROBLEME
Le problème est constitué de deux parties indépendantes
PARTIE A Sommation au sens de Borel
On considère dans toute cette partie une suite a = (an )n2N bornée de réels .
P an n
x ) a un rayon de convergence infini.
1. Démontrer que la série entière (
n!
P+1 an n
On notera pour tout réel t; fa (t) = n=0
t et ga (t) = fa (t)e t
n!
Lorsque ga est intégrable sur [0; +1[ on note S(a) l’intégrale de ga sur [0; +1[ :
Z +1
S(a) =
fa (t)e t dt:
0
lorsque le réel S(a)
Borel de la suite (an ):
P existe , il est appelé somme au sens deP
+1
Lorsque la série an est convergente , on notera s(a) = n=0 an sa somme au sens usuel.
2. Pour chaque suite (an )n2N suivante on demande successivement de déterminer l’expression de fa (t); puis
d’étudier l’intégrabilité de ga et éventuellement de calculer S(a):
(a) 8n 2 N; an = 1
(b) 8n 2 N; an =
n
avec
n
2 [0; 1[ donné
(c) 8n 2 N; a2n = ( 1) et a2n+1 = 0
3. Dans cette question on considère un réel 2]0; 2 [ et la suite an définie par 8n 2 N; an = sin(n )
(a) Déterminer l’expression de fa (t) en fonction de t et de :
(b) Démontrer que ga est intégrable sur [0; +1[ et calculer S(a)
P
(c) Une suite (an ) peut elle admettre une somme au sens de Borel sans que la série an soit convergente?
P
P+1
4. On suppose dans cette question que la série ( an ) est absolument convergente. On note n=0 an = s(a)
Démontrer que ga est intégrable et exprimerP
S(a) en fonction de s(a):
On pourra considèrer la série de fonctions ( fn ), avec fn (t) = an!n tn e t : On citera avec précision le théorème
utilisé.
5. On suppose dans cette question que la suite (an ) est positive et que ga est intégrable sur [0; +1[ d’intégrale
S(a):
P
Démontrer que la série ( an ) est convergente. P
P+1
n
On pourra considérer la suite de fonctions sn (t) = k=0 ak!k tk e t : Que vaut la somme n=0 an ?
PARTIE B
Etude d’un endomorphisme de Mn (R)
Dans toute cette partie, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2. Cet entier est quelconque sauf dans la partie I, où
il est égal à 2.
On note Mn (R) l’algèbre des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels, (Ei;j ) sa base canonique (1 i n et
1 j n) et In sa matrice unité (tous les coefficients de Ei;j sont nuls, sauf celui situé à la iieme ligne et à la j iem
colonne, qui vaut 1).
On note R[X] l’algèbre des polynômes à coefficients réels.
Dans toute la partie, A est une matrice quelconque de Mn (R) et u l’endomorphisme de Rn canoniquement associé à
la matrice A.
d
d
X
X
Pour tout P =
ak X k 2 R[X], on note P (A) =
ak Ak . L’ensemble des matrices P (A) pour tout P 2 R[X]
k=0
k=0
est noté R[A].
On dit que P annule A lorsque P (A) = 0, ce qui équivaut à P (u) = 0. On appelle polynôme minimal de la matrice
A le polynôme minimal de l’endomorphisme u ; c’est donc le polynôme unitaire de plus petit degré qui annule A.
On note A l’application de Mn (R) dans Mn (R) définie par :
MA
A (M ) = AM
L’objet de cette partie est d’étudier quelques propriétés des éléments propres de A . Les parties I et II étudient la
diagonalisabilité de A , la partie III en étudie les vecteurs propres.
Les trois parties sont indépendantes.
Partie I. Étude du cas n = 2
Dans toute cette partie, on prendra n = 2.
est linéaire et que I2 et A appartiennent à ker
a b
Dans la suite de cette partie, on pose A =
2 M2 (R).
c d
1. Vérifier que l’application
A.
A
2. Donner la matrice de A dans la base (E1;1 ; E2;2 ; E1;2 ; E2;1 ) de M2 (R).
Dans la suite de cette partie, on suppose que A 6= 0 (c’est-à-dire que A 6= I2 pour tout
3. Donner le polynôme caractéristique de
A
2 R).
sous forme factorisée (on pourra utiliser la calculatrice).
a)2 + 4bc > 0.
4. En déduire que
A
est diagonalisable si et seulement si (d
5. Démontrer que
A
est diagonalisable si et seulement si A est diagonalisable.
Partie II. Étude du cas général
On note c = (c1 ; : : : ; cn ) la base canonique de Rn .
6. On suppose dans cette question que A est diagonalisable.
On note e = (e1 ; : : : ; en ) une base de vecteurs propres de u (défini au début du problème) et, pour tout entier i
tel que 1 i n, 0i la valeur propre associée
au vecteur ei . On note alors P la matrice de passage de la base c
1
0 ::: 0
1
B
.. C
B 0 ... ...
. C
B
C.
à la base e et D = B .
C
@ .. . . . . . . 0 A
0 ::: 0
n
Enfin, pour tout couple (i; j) d’entiers tels que 1 i n et 1 j n, on pose :
Bi;j = P Ei;j P 1
(a) Exprimer, pour tout couple (i; j), la matrice DEi;j Ei;j D en fonction de la matrice Ei;j et des réels i
et j .
(b) Démontrer que, pour tout couple (i; j), Bi;j est un vecteur propre de
(c) En déduire que
A
est diagonalisable.
A.
7. On suppose dans cette question que A est diagonalisable en tant qu’endomorphisme de Mn (R).
On note (Pi;j ) 1 i n une base de vecteurs propres de A et, pour tout couple (i; j), i;j la valeur propre associée
1 j n
à Pi;j .
(a) Dans cette question, on considère A comme une matrice à coefficients complexes (A 2 Mn (R) Mn (C))
et A comme un endomorphisme de Mn (C) (défini par A (M ) = AM M A pour tout M 2 Mn (C)).
(i) Justifier que toutes les valeurs propres de A sont réelles.
(ii) Soit z 2 C. Justifier que si z est une valeur propre de A, alors z est aussi une valeur propre de tA.
(iii) Soit z 2 C. On suppose que z et z sont deux valeurs propres de la matrice A. On considère alors
X 2 Mn;1 (C) (X 6= 0) et Y 2 Mn;1 (C) (Y 6= 0) tels que AX = zX et tAY = zY .
En calculant A (X tY ), démontrer que z z est une valeur propre de A .
(b) En déduire que la matrice A a au moins une valeur propre réelle.
On note une valeur propre réelle de A et X 2 Mn;1 (R) (X 6= 0) une matrice colonne telle que
AX = X.
(c) Démontrer que, pour tout couple (i; j), il existe un réel
tel que APi;j X = i;j Pi;j X.
i;j ,
que l’on exprimera en fonction de
et
i;j ,
(d) En déduire que A est diagonalisable.
Partie III. Étude des vecteurs propres de
Soit m le degré du polynôme minimal de A.
8. Démontrer que la famille In ; A; : : : ; Am
9. Vérifier que R[A] est inclus dans ker
A
1
A
associés à la valeur propre 0
est une base de R[A].
et en déduire une minoration de dim ker
A.
10. Un cas d’égalité
On suppose que l’endomorphisme u (défini au début du problème) est nilpotent d’indice n (c’est-à-dire que
un = 0 et un 1 6= 0). On considère un vecteur y de Rn tel que un 1 (y) 6= 0 et, pour tout entier i tel que
1 i n, on pose ei = un i (y).
(a) Démontrer que la famille (e1 ; e2 ; : : : ; en ) est une base de Rn .
et v l’endomorphisme de Rn canoniquement associé à B.
n
n
X
X
n i
.
Démontrer que si v(y) =
iu
i ei ( i 2 R) alors v =
(b) Soient B 2 ker
A
i=1
(c) En déduire ker
A.
i=1