Transcript TD 1 - Classe de PC du lycée Camille Vernet (Valence

Mathématiques - PC - Lycée Camille Vernet
PC
TD 1 : Algèbre linéaire
Espaces-vectoriels, bases, dimensions,sommes directes
Exercice 1 : Dans
R
4
, montrer que l’ensemble des vecteurs (x, y, z, t) vérifiant
x + 3y − 2z + 5t = 0
est un sous espace
x − 2y = 3z − 4t
vectoriel. En donner une base ainsi que sa dimension.
Exercice 2 :
Sous-espaces vectoriels de K3 [X]
Soit E = K3 [X], F = {P ∈ E/P (0) = P (1) = P (2) = 0}, G = {P ∈ E/P (1) = P (2) = P (3) = 0}, H = {P ∈ E/P (X) =
P (−X)}.
1. Montrer que F ⊕ G = L = {P ∈ E tel que P (1) = P (2) = 0}.
2. Montrer que L est l’intersection de deux hyperplans de E.
3. Montrer que F ⊕ G ⊕ H = E.
Sous-espaces vectoriels de suites Exercice 3:
Soit E = (xn ) ∈ RN | ∀n ∈ N, xn+3 − xn+2 − xn+1 + xn = 0 , E1 = (xn ) ∈ RN | ∀n ∈ N, xn+1 + xn = 0 , E2 = {(xn ) ∈
RN | ∀n ∈ N, xn+2 − 2xn+1 + xn = 0}.
1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de RN .
2. Montrer que E1 et E2 sont deux sous-espaces vectoriels de E et donner une base de chacun d’eux.
3. (a) Soit (xn ) ∈ E, on pose pour tout entier n, un = xn+2 − 2xn+1 + xn , vn = xn + xn+1 , wn = xn+1 + xn+2 . Démontrer
3
1
1
que (un ), (vn ), (wn ) ∈ E1 × E2 × E2 et que pour tout n ∈ N, xn = un + vn − wn .
4
4
4
(b) En déduire que E1 et E2 sont supplémentaires dans E. Donner une base de E.
Exercice 4 : Sur E = Rn [X], on définit pour tout k ∈ {0; ..; n}, on définit la forme linéaire suivante :
ϕk : P 7→ P (k) (0)
Montrer que la famille (ϕ0 , .., ϕn ) est une base de L(E, R).
a
Exercice 5 : Soit E l’ensemble des matrices M (a, b) =
3b
−b
a − 2b
lorsque (a, b) décrivent
R2 .
1. Démontrer que E est un sous-espace vectoriel de M2 (R).
2. Déterminer la dimension de E ainsi qu’une de ses bases.
3. E est-il stable par produit ? par passage à l’inverse ?
Applications linéaires, noyaux, images
Exercice 6 : Montrer que les applications suivantes sont linéaires et écrire leurs matrices (dans les bases canoniques) :
1
1. Φ1 : R3 [X] → R3 [X], Φ1 (P ) = P (X + 1) − P (X − 1) . Déterminer Ker(Φ1 ) et Im(Φ1 ).
2
2. Φ2 : R3 [X] → R3 [X], Φ2 (P ) = 3XP (X) − (X 2 − 1)P 0 (X).
3. Φ3 : R3 [X] → R3 , Φ3 (P ) = P (0), P (1), P (−1) . Déterminer Ker(Φ3 ) et Im(Φ3 ).
Exercice 7 :
Interpolation de Lagrange
Soit n ∈ N et (a0 , . . . , an ) ∈ Rn+1 deux à deux distincts.
1. Montrer que l’application ϕ : Rn [X] → Rn+1 définie par ϕ(P ) = P (a0 ), . . . , P (an ) est linéaire. Déterminer son noyau
et son image.
2. En déduire que, pour tout (b0 , . . . , bn ) ∈ Rn+1 , il existe un unique polynôme P tel que P (ai ) = bi pour tout i.
3. Déterminer explicitement les polynômes Li ∈ Rn [X] tels que Li (aj ) = δi,j .
4. Montrer que (Li )0≤i≤n est une base de
base.
Rn [X]. Déterminer les coordonnées d’un polynôme Q quelconque dans cette
Exercice 8 : Soit E un K-espace vectoriel. Trouver toutes les applications linéaires de E dans E vérifiant :
∀x ∈ E, (x, f (x)) est lié.
Exercice 9 : Soit f , g ∈ L(E) tels que f ◦g = g◦f . Pour tout λ ∈ K, on note Eλ (f ) = Ker(f −λ IdE ) et Fλ (f ) = Im(f −λ IdE )
. Montrer que, pour λ ∈ K,
g Eλ (f ) ⊂ Eλ (f )
et
g Fλ (f ) ⊂ Fλ (f ).
1
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En particulier on a g Ker(f ) ⊂ Ker(f ) et g Im(f ) ⊂ Im(f ).
Exercice 10 : Soit f et g des endomorphismes d’un K-espace vectoriel de dimension finie E. On suppose que E = Im(f ) +
Im(f ) = Ker(g) + Ker(g).
Montrer que ces deux sommes sont directes.
Extrait de Centrale-Supélec PC
Exercice 11 :
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n.
1. Soit f un endomorphisme de E vérifiant Ker(f ) = Im(f ).
(a) Montrer que n est pair et déterminer le rang de f en fonction de n.
(b) Montrer que f ◦ f = 0.
2. Soit f un endomorphisme de E vérifiant f ◦ f = 0 et n = 2 rg(f ).
(a) Montrer que Im(f ) ⊂ Ker(f ). En déduire que Ker(f ) = Im(f ).
0 0
(b) Montrer qu’il existe une base B de E telle que MatB (f ) =
.
Ip 0
Exercice 12 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n, f, g ∈ L(E). On suppose que f ◦ g = 0 et f + g ∈ GL(E).
Montrer que rg f + rg g = n.
Exercice 13 : Soit E, F deux K-espaces vectoriels de dimensions finie et f ∈ L(E, F ).
Montrer que si H est un sous-espace vectoriel de E alors dim f (H) = dim H − dim(H ∩ Ker f ).
Exercice 14 : Soit E, F et G des K-espaces vectoriels de dimension finies avec n = dim F . Soit u ∈ L(E, F ) et v ∈ L(F, G).
Montrer que :
rg(u) + rg(v) − n ≤ rg(v ◦ u) ≤ min(rg(u), rg(v))
On pourra considérer la restriction de u à Ker(v ◦ u) pour montrer l’inégalité de gauche.
Matrices
1 2
Exercice 15 : Soit A =
3 4
ϕ : M2 (R) → M2 (R)
M
7→ AM
1. Montrer que ϕ est linéaire.
∈ M2 (R).
2. Montrer que ϕ est un isomorphisme. Donner une expression simple de l’isomorphisme réciproque.
3. Déterminer la matrice M de ϕ dans la base canonique. Calculer le rang de ϕ.
4. Déterminer M −1 .
Exercice 16 :
Puissances d’une matrice
1. On pose :

1
M = 0
0
1
1
0

0
1 
1
Calculer les premières puissances de M , en déduire M n à l’aide d’une conjecture que l’on établira.


0 1 0
2. (a) On note N =  0 0 1 . Calculer les N n pour n ∈ N.
0 0 0
(b) En posant M = Id + N , calculer M n pour n ∈ N. Préciser M −1 puis calculer M n pour n ∈ Z.


1 0
0
3. On pose A =  0 −4 10 .
0 −3 7
(a) Calculez A2 et vérifier que A2 − 3A + 2Id = 0.
(b) En déduire que A est inversible et calculez A−1 .
(c) Montrer que pour tout n ∈ N, il existe an et bn telles que An = an A + bn Id.
(d) Faire de même avec n ∈ Z.
Exercice
17 : Soit ul’endomorphisme de

0 −1 1
A =  1 2 −3 
1 1 −2
1. Donner une base de Im u.
R3 représenté dans la base canonique β3 = (e1 , e2 , e3 ) de R3 par la matrice
2
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2. Donner une base de chacun des sous-espaces vectoriels suivant : Ker u, Ker(u − id), Ker(u + id).
3. En déduire une base (ε1 , ε2 , ε3 ) de
R3 dans laquelle la matrice D représentant l’endomorphisme u soit diagonale.
4. Exprimer A en fonction de D.
5. Soit n ∈ N, montrer que A2n+1 = A et A2n = A2 .
6. Quelles sont les suites réelles (xn ), (yn ) et (zn ) définies par :

xn+1 = −yn + zn

yn+1 = xn + 2yn − 3zn
∀n ∈ N,

zn+1 = xn + yn − 2zn
et x0 = 1, y0 = 2, z0 = 3
Commutant d’une matrice :
Exercice 18 :
On se place dans M3 (R). On note CA = {M ∈ M3 (R)\AM = M A}. CA est appelé commutant de A.Déterminer le commutant
de A
dans le cas 
de A dans les cas suivants
:




1 0 0
1 0 0
2 0 0
A= 0 2 0 
B= 0 1 0 
C= 0 2 0 
0 0 3
0 0 3
0 0 2
Endomorphismes nilpotents
Exercice 19 :
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et u ∈ L(E). On dit que u est nilpotent s’il existe un entier k tel que uk = 0.
Le plus petit k tel que uk = 0 est appelé indice de nilpotence. On le notera r.
1. Montrer que si : pour tout x ∈ E, il existe r tel que ur (x) = 0 alors u est nilpotent.
2. On suppose u nilpotent d’indice r, montrer qu’il existe x ∈ E tel que ur−1 (x), . . . , u(x), x soit une famille libre.
3. Montrer que si r = n alors il existe une base B telle que

0
 ..
.


MatB (u) =  ...

.
 ..
0
1
0
...
...
..
.
1
..
..
.
.
..
.
... ...
0

0
.. 
.


0


1
0
Exercice 20 :
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n. On note β = (e1 , .., en ) une base de E. On définit
Fi = {u ∈ L(E)/ Im u ⊂ Vect(ei )} pour tout i ∈ {1, ..., n}.
1. Décrire matriciellement les endomorphismes appartenant à Fi .
2. Montrer que L(E) = F1 ⊕ .. ⊕ Fn .
Exercice 21 :
1. Calculer les puissances successives de la matrice suivante :

0 1
0

 0 0
1


..
N =  ...
.

 .
 ..
0
...

... 0
. 
..
. .. 

. 
..
. .. 


..
. 1 
... ... 0
2. Donner la forme des puissances successives d’une matrice triangulaire supérieure dont la diagonale est nulle.
Somme directe de plusieurs sous-espaces vectoriels
Exercice 22 : Soit E = R6 [X]. Montrer que les sous-espaces vectoriels suivants sont en somme directe :
a) E1 = Vect(−2, −X 4 + 3)
b) E2 = Vect(X 6 − X 3 , 5X 2 )
5
3
c) E3 = Vect(4X, X + X )
d) E4 = Vect(−3X 3 + X + 1)
Exercice 23 : Soit E un K-espace vectoriel, f un endomorphisme de E. Montrer que f 3 = f si et seulement si E =
Ker(f ) ⊕ Ker(f − Id) ⊕ Ker(f + Id).
Exercice 24 :
Somme de projecteurs
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et p1 , .., pn des projecteurs tels que p1 + .. + pn = IdE .
1. Montrer que tr(pi ) = rg(pi ).
2. Montrer que E = Im(p1 ) ⊕ .. ⊕ Im(pn ).
3
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Trace
Exercice 25 :
Les questions sont indépendantes les unes des autres
1. Montrer qu’il n’existe pas de matrice A et B de Mn (K) telles que AB − BA = In .
2. Montrer que, si deux matrices vérifient AB − BA = A, alors A n’est pas inversible.
3. Montrer que, si rg(A) = 1, alors A2 = tr(A)A.
4. Montrer que, si tr(t AA) = 0, alors A =t A = OMn (K) .
Exercice 26 : Soit u ∈ L(Mn (K), K) telle que : ∀A, B ∈ Mn (K), u(AB) = u(BA).
1. Calculer Eij Ekl pour (i, j, k, l) ∈ {1; n}4 .
2. Montrer que pour i 6= j, on a : u(Eij ) = 0 et u(Eii ) = u(Ejj ).
3. En déduire qu’il existe α ∈ K tel que u = α.tr.
Exercice 27 :
1. Soit A ∈ Mn (K). Montrer que l’application M 7→ tr(AM ) est une forme linéaire.
2. Réciproquement, montrer que si ϕ est une forme linéaire sur Mn (K) alors il existe A ∈ Mn (K) telle que : ∀M ∈
Mn (K), ϕ(M ) = tr(AM ).
3. Soient (A, B) ∈ Mn (K)2 telles que tr(AM ) = tr(BM ) pour toute M ∈ Mn (K). Montrer que A = B.
Exercice 28 : Soit n ∈
uA .
N∗ , A ∈ Mn (K) et uA
l’application linéaire définie par uA (M ) = AM + M A. Donner la trace de
Sous-espaces stables
Exercice 29 : Soit E un
vecteur non nul de E.
R-espace
vectoriel non réduit à {OE }, f un endomorphisme de E tel que f 2 = −IdE et x un
1. Montrer que f (x) n’est pas colinéaire à x, puis qu’aucune droite de E n’est stable par f .
2. Montrer que le plan Vect(x, f (x)) est stable par f .
Exercice 30 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, u un automorphisme de E.
Montrer qu’un sous-espace vectoriel F de E est stable par u si et seulement si u(F ) = F .
Exercice 31 : Soit V et W deux sous-espaces supplémentaires, non réduits à {0E }, de l’espace vectoriel E,et p la projection
sur V parallèlement à W .
1. Identifier q = IdE − p.
2. Montrer que les sous-espaces stables par f = ap+bq, oú a et b sont des scalaires distincts, sont les sous-espaces vectoriels
A de E tels que A = A ∩ V + B ∩ W .
3. En déduire les sous-espaces de E stables par une symétrie s de E.
Produit matriciel par blocs
A A
∈ Mn (C).
A B
1. Calculer le rang de M en fonction de ceux de A et B − A. En déduire que, si M est inversible, alors A et B − A aussi.
A A
X1
Y1
−1
2. Calculer M quand elle existe. (Si M est inversible, écrire le système M X = Y sous la forme
=
.
A B
X2
Y2
Exercice 32 : Soit A et B deux matrices de Mn (C) et M =
a
c
b
une matrice de M2 (C) où a et c sont non nuls.
d
Exercice 33 : Soit M une matrice de Mn (C) et N =
aM bM
1. Montrer que la matrice P =
est le produit de deux matrices, la seconde étant diagonale par blocs.
cM dM
2. En déduire le déterminant de P .
4
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Exercices supplémentaires non distribués aux étudiants
Exercice 34 :
Oral Mines Déterminer les polynômes P de
R [X] tels que
(X + 4)P (X) = XP (X + 1)
Oral Petites Mines PC 2013
Exercice 35 :
Soit f : M ∈ Mn (R) 7→ tr(M )In + M ∈ Mn (R).
1. f est-il un endomorphisme ?
2. Déterminer Ker(f ) et Im(f ).
3. f est-il inversible ? Si oui, déterminer son inverse.
Exercice 36 :
Oral Petites Mines PC 2013 1
Soit f ∈ L(M2 (R)) définie par f : M 7→ M P , avec P
1
1. Quelle est la matrice de f dans la base B ?
1
. B = {E11 , E12 , E21 , E22 } la base canonique de M2 (R).
1
2. Déterminer Ker(f ) et Im(f ), si possible sans calculs.
3. Montrer que f est diagonalisable et donner sa matrice dans une base de vecteurs propres (toujours si possible sans
calculs !)
Exercice 37 :
1. Soit E un K-espace vectoriel et f dans L(E). Montrer que si f est nilpotent d’indice de nilpotence p ≥ 1, alors IdE − f
p−1
X
−1
est bijective et a pour réciproque f =
fk
2. Soient E =
inverse.
k=0
Rn [X] et f
dans L(E) définie par : ∀P ∈ E, f (P ) = P − P 0 . Montrer que f est inversible et calculer son
Exercice 38 :
CCP PC 2007
Soient E et F deux espaces vectoriels, f et g deux applications linéaires respectivement de E dans F et de F dans E telles
que f ◦ g ◦ f = f et g ◦ f ◦ g = g.
1. Montrer que Im g ∩ Ker f = 0E et que Im g ⊕ Ker f = E.
2. On suppose que E et F sont de dimension finie. Comparer rgf et rgg.
3. On suppose que dim E = dim F = rgf = n ; montrer que g ◦ f = IdE .
4. On prend E =
0
Rn [X]Zetx F
f (P ) = P et g(P ) =
=
Rn?1 [X]. Soient les applications linéaires f
P (t) d t.
0
Montrer que ces fonctions vérifient f ◦ g ◦ f = f et g ◦ f ◦ g = g.
5
et g définies respectivement sur E et F par