Transcript MATH´EMATIQUES - PCSI

Samedi 20 Septembre 2014
Dur´
ee : 4 heures
´
MATHEMATIQUES
´ N˚1
DEVOIR SURVEILLE
Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, d’une part
vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la
composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez ´et´e amen´e `a prendre.
L’usage de calculatrices est autoris´
e
AVERTISSEMENT
La pr´
esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´
edaction, la clart´
e et la pr´
ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´
eciation des copies. En
particulier, les r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.
`
CONSIGNES PARTICULIERES
:
?
?
?
?
Vous avez 3h pour traiter la partie d’alg`ebre lin´eaire.
Apr`es ces 3h, vous aurez 1h pour traiter la partie sur les s´eries num´eriques.
Les exercices d’alg`ebre lin´eaire sont `
a traiter par tout le monde.
Vous traiterez au choix l’un des deux probl`emes d’alg`ebre lin´eaire.
(Probl`eme 1 : niveau CCP-E3A - Probl`eme 2 : niveau Mines-Centrale)
Tournez la page S.V.P.
Devoir de Math´
ematiques
EXERCICE 1 - Questions de cours
1. Donner trois d´efinitions possibles d’un hyperplan dans un K-espace vectoriel de dimension finie n.
2. Donner la d´efinition d’une somme directe de s.e.v. F1 , F2 , . . ., Fp .
3. Soit E un espace vectoriel de dimension finie, et F , G, H trois s.e.v. de E.
Comment d´emontre-t-on le plus rapidement possible que E = F ⊕ G ⊕ H ?
4. D´efinition et valeur du d´eterminant de Vandermonde ?
5. Qu’appelle-t-on sous-espace stable par f ?
EXERCICE 2
Soient E un espace vectoriel sur R de dimension 3, et f un endomorphisme non nul de E v´erifiant :
f 3 + f = 0.
Montrer que Ker f + Ker (f 2 + IdE ) est directe.
´
Etablir
que E = Ker f ⊕ Ker (f 2 + IdE ).
En d´eduire que Ker (f 2 + IdE ) est au moins de dimension 1.
Soit x ∈ Ker (f 2 + IdE ) non nul.
Montrer que (x, f (x)) est une famille libre de vecteurs de Ker (f 2 + IdE ).
5. Que vaut det(−IdE ) ? En d´eduire que f n’est pas bijective puis que dim(Ker (f 2 + IdE )) = 2.
´
6. Ecrire
la matrice de f dans une base B adapt´ee `a la d´ecomposition du 2.
1.
2.
3.
4.
`
PROBLEME
1 : Exemples de matrices semblables `
a leur inverse
D’apr`es « Petites Mines » 2002 - MPSI
Dans tout le probl`eme, E est un R-espace vectoriel de dimension 3.
Pour u endomorphisme de E et n entier naturel non nul, on note un = u ◦ u ◦ · · · ◦ u (n fois).
On note M3 (R) le R-espace vectoriel des matrices carr´es d’ordre 3, GL3 (R) le groupe des matrices inversibles
de M3 (R), et I3 la matrice unit´e de M3 (R).
On notera par 0 l’endomorphisme nul, la matrice nulle et le vecteur nul.
Partie A
1. D´emontrer que deux matrices semblables ont la mˆeme trace et le mˆeme d´eterminant.
2. Soit M ∈ M3 (R) semblable `
a son inverse. Quelles sont les valeurs possibles pour det(M ) ? rg(M ) ?
3. Soit u un endomorphisme de E et soit i et j deux entiers naturels.
On consid`ere l’application w de Ker ui+j vers E d´efinie par : w(x) = uj (x).
(a) Montrer que Im w ⊂ Ker ui .
(b) En d´eduire que dim(Ker ui+j ) ≤ dim(Ker ui ) + dim(Ker uj ).
4. Soit u un endomorphisme de E v´erifiant : u3 = 0 et rang u = 2.
(a) Montrer que dim(Ker u2 ) = 2. (On pourra utiliser deux fois la question 3b.).
(b) Montrer que l’on peut trouver un vecteur a non nul de E tel que u2 (a) 6= 0, et en d´eduire que la
famille (u2 (a), u(a), a) est une base de E.
´
(c) Ecrire
alors la matrice U de u et la matrice V de u2 − u dans cette base.
5. Soit u un endomorphisme de E v´erifiant : u2 = 0 et rang u = 1.
(a) Montrer que l’on peut trouver un vecteur b non nul de E tel que u(b) 6= 0.
(b) Justifier l’existence d’un vecteur c de Ker u tel que la famille (u(b), c) soit libre, puis montrer que
la famille (b, u(b), c) est une base de E.
´
(c) Ecrire
alors la matrice U 0 de u et la matrice V 0 de u2 − u dans cette base.
PSI 2014-2015
2
Lyc´ee de L’essouriau - Les Ulis
Devoir de Math´
ematiques
Partie B


1 α β
Soit d´esormais une matrice A de M3 (R) semblable `a une matrice du type T =  0 1 γ  de M3 (R).
0 0 1
On se propose de montrer que la matrice A est semblable `a son inverse A−1 .


0 α β
On pose alors N =  0 0 γ , et soit une matrice P de GL3 (R) telle que P −1 AP = T = I3 + N .
0 0 0
6. Expliquer pourquoi la matrice A est bien inversible.
7. Calculer N 3 et montrer que P −1 A−1 P = I3 − N + N 2 .
8. On suppose dans cette question que N = 0, montrer alors que les matrices A et A−1 sont semblables.
9. On suppose dans cette question que rang(N ) = 2. On pose M = N 2 − N .


0 1 0
(a) Montrer que la matrice N est semblable `a la matrice  0 0 1  et en d´eduire, en utilisant la
0 0 0
question 4., une matrice semblable `a la matrice M .
(b) Calculer M 3 et d´eterminer rang(M ).
(c) Montrer que les matrices M et N sont semblables.
(d) Montrer alors que les matrices A et A−1 sont semblables.
10. On suppose dans cette question que rang(N ) = 1. On pose M = N 2 − N .
Montrer que les matrices A et A−1 sont semblables.


1 0 0
11. Exemple : soit la matrice A =  0 0 −1 .
0 1 2
On note (a, b, c) une base de E et u l’endomorphisme de E de matrice A dans cette base.
(a) Montrer que Ker(u − idE ) est un sous-espace vectoriel de E de dimension 2 dont on donnera une
base (e1 , e2 ).
(b) Justifier que la famille (e1 , e2 , c) est une base de E, et ´ecrire la matrice de u dans cette base.
(c) Montrer que les matrices A et A−1 sont semblables.
(d) D´eterminer un polynˆ
ome annulateur de A. En d´eduire A−1 .
(e) D´eterminer l’expression de An pour n ∈ N.
12. R´eciproquement, toute matrice

1
une matrice du type T =  0
0
PSI 2014-2015
de
α
1
0
M3
(R) semblable `a son inverse est-elle n´ecessairement semblable `
a
β
γ ?
1
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Devoir de Math´
ematiques
`
PROBLEME
2 - SOUS-ESPACES STABLES
D’apr`es ENS option B.L. 2000
Dans ce probl`eme, on cherche a
` d´ecrire l’ensemble des endomorphismes d’un espace vectoriel laissant
invariant tous les vecteurs d’un hyperplan donn´e.
Soie E un espace vectoriel sur R de dimension d avec d > 2. On consid`ere un hyperplan H de E et u un
endomorphisme de E laissant invariant tout ´el´ement de H (i.e. u(h) = h pour tout h ∈ H).
Pr´
eliminaires
Soit a un vecteur de E qui n’appartient pas `a H.
1. Montrer qu’il existe un unique r´eel γ et un unique ha ∈ H tels que u(a) = γa + ha .
2. Montrer que le r´eel γ ne d´epend pas du choix de a ∈
/ H.
Partie I
On suppose dans cette partie que γ 6= 1.
1. (a) Montrer qu’il existe a0 ∈
/ H tel que u(a0 ) = γa0 .
(b) Soit (h2 , . . . , hd ) une base de H. Justifier que (a0 , h2 , . . . , hd ) est une base de E et donner la
matrice de u dans cette base.
(c) Montrer que u(x) = γx ⇔ x ∈ Vect(a0 ). On notera Eγ la droite vectorielle Vect(a0 ).
2. Montrer que les seules droites vectorielles D stables par u sont les droites contenues dans H ou la
droite Eγ .
Soit V un sous-espace vectoriel de E.
3. Montrer que si Eγ ⊂ V ou V ⊂ H alors u(V ) ⊂ V .
4. On suppose dans cette question que Eγ 6⊂ V et V 6⊂ H et l’on d´esigne par D une droite vectorielle
telle que D ⊂ V et D 6⊂ H.
(a) Justifier l’existence de D.
(b) Soit F = Eγ + D. V´erifier que u(F ) ⊂ F .
(c) Montrer que u(V ) 6⊂ V .
5. D´eduire des questions pr´ec´edentes une condition n´ecessaire et suffisante V soit stable par u.
Partie II
On suppose dans cette partie que γ = 1.
1. Montrer qu’il existe une application lin´eaire, not´ee f , de E dans R telle que f (x) = 0 si et seulement
si x ∈ H.
2. Montrer qu’il existe un unique vecteur c ∈ H tel que u(x) = x + f (x)c pour tout x ∈ E.
3. Montrer que u est bijective et calculer son inverse.
On suppose que u n’est pas l’application identit´e.
4. En choisissant une base ad´equate de E, donner une forme matricielle la plus simple possible de u.
5. Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur un sous-espace V de E pour que u(V ) ⊂ V .
PSI 2014-2015
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SERIES
NUMERIQUES
POSITIVES
EXERCICE 1
(Dur´ee : 1h)
CCP - PSI 2014 (Exercice d’Emeric)
D´eterminer la nature de la s´erie de terme g´en´eral un =
1
,
(1 + 2 + . . . + n)α
avec α ∈ R.
EXERCICE 2
CCP
√
√
n+1− n
D´eterminer la nature de la s´erie de terme g´en´eral un =
.
n
EXERCICE 3
√
D´eterminer la nature de la s´erie de terme g´en´eral un =
EXERCICE 4
e
CCP
ln n
n
.
T´el´ecom Sud Paris 2012
√
√
√
Soit un = a n + b n + 1 + c n + 2 avec (a, b, c) trois r´eels fix´es. P
Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur (a, b, c) pour que
un converge.
n>0
EXERCICE 5
Nature des s´eries de terme g´en´eral un =
1
n
1
1+ n
et vn =
EXERCICE 6
CCP - PSI
ln(nn )
?
(ln n)n
CCP 2010 - PSI
Soit (un ) une suite de r´eels positifs. Quelle est la nature de la s´erie de terme g´en´eral
EXERCICE 7
un e−un
?
n2
Mines 2010
1
1
D´eterminer la nature de la s´erie de terme g´en´eral un = (n n − (n + 1) n+1 )α pour α ∈ R.
PSI 2014-2015
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