Transcript DS6 Mathématiques - Lionel chaussade

DS6 Math´
ematiques
MPSI2
le 17/03/2014
L’usage de la calculatrice est interdit. Les raisonnements pr´esent´es devront ˆetre soigneusement justifi´es et d´etaill´es.
En particulier, il vous est demand´e de souligner les r´esultats obtenus. Il n’est pas n´ecessaire de r´epondre `
a l’ensemble
des questions pour avoir une bonne note.
Exercice 1
Soit m ∈ R, on cherche `
a trouver les solutions

 2x
−x
(Em ) :

7x
r´eelles du syst`eme lin´eaire suivant :
+ 3y +
z
= 4
+ my +
2z
= 5
+ 3y + (m − 5)z = 7
1. Calculer le d´eterminant du syst`eme.
2. En appliquant les formules de Cramer, r´esoudre le syst`eme lorsque m ∈
/ {1, 6}.
3. R´esoudre le syst`eme pour m = 1.
4. R´esoudre le syst`eme pour m = 6.
Exercice 2
D´eterminer les deux limites suivantes, vous ferez apparaˆıtre sur votre copie le d´etail des calculs.
esin(x) − etan(x)
.
x→0 sin(x) − tan(x)
1. lim
2.
lim
x→+∞
3
x3 + 1 −
x2 + 2x.
Exercice 3
Factoriser dans R[X] et C[X] le polynˆ
ome P = X 4 + 12X − 5 sachant qu’il admet deux racines dont le produit
vaut −1.
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Exercice 4
Soit E l’ensemble des polynˆ
omes de R3 [X] qui poss`edent 2 comme racine au moins double.
1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de R3 [X].
2. Montrer que tout ´el´ement de R3 [X] s’´ecrit de mani`ere unique comme somme d’un ´el´ement de E et d’un polynˆ
ome
de degr´e inf´erieur ou ´egal `
a 1. En d´eduire que R3 [X] = E ⊕ R1 [X].
3. On consid`ere l’application :
ϕ : R3 [X] → R2
P
→ (P (2), P (2))
(a) Montrer que ϕ est une application lin´eaire.
(b) D´eterminer Ker(ϕ).
(c) D´eterminer Im(ϕ).
4. Soit f l’endomorphisme de R3 [X] d´efini par :
f (1) = 1, f (X) = X 2 , f (X 2 ) = X, f (X 3 ) = X 3
(a) Justifier que f est correctement d´efini.
(b) Donner f (a0 + a1 X + a2 X 2 + a3 X 3 ) pour (a0 , a1 , a2 , a3 ) ∈ R4 .
(c) L’application f est-elle injective, surjective ?
5. Soient S = {P ∈ R3 [X], f (P ) = P } et A = {P ∈ R3 [X], f (P ) = −P }.
(a) Montrer que S et A sont des sous-espaces vectoriels de R3 [X].
(b) Montrer que S et A sont suppl´ementaires dans R3 [X].
´
(c) Ecrire
le polynˆ
ome P = X 3 + 2X 2 − X + 2 comme somme d’un ´el´ement de S et d’un ´el´ement de A.
6. Soit F = Vect(1 + X 3 , X, X 2 )
(a) Montrer que A ⊂ F .
(b) D´ecrire les ´el´ements de F ∩ S.
7. On consid`ere l’´equation d’inconnue P ∈ R3 [X], f (P ) = µP o`
u µ ∈ R \ {−1, 1}. Montrer que P = 0 est l’unique
solution de cette ´equation.
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Probl`
eme
Notations
Dans tout le probl`eme E = CN , le C-espace vectoriel des suites `a valeurs complexes. On d´efinit deux applications
de E dans E :
T
: E
→ E
(un )n≥0 → (un+1 )n≥0
D : E
→ E
(un )n≥0 → (un+1 − un )n≥0
Dans la suite du probl`eme, on notera (un ) au lieu de (un )n≥0 , toutes les suites consid´er´ees commen¸cant `
a l’indice
n = 0.
On emploiera ´egalement la notation u pour d´esigner la suite (un ).
A-G´en´eralit´es
1. D´emontrer que T est un endomorphisme de E, d´eterminer Ker(T ) et Im(T ).
2. (a) Montrer que D est un endomorphisme de E.
(b) Calculer l’image par D de chacune des suites : (n), (n2 ) et (2n ).
(c) D´eterminer Ker(D).
(d)
i. Soit v = (vn ) ∈ E une suite fix´ee et α ∈ C. D´emontrer qu’il existe une unique suite u = (un ) telle
que u0 = α et D(u) = v. Donner l’expression de (un ) en fonction de α et des termes de la suite v. En
d´eduire que D est surjective.
ii. Expliciter les ant´ec´edents par D de la suite de terme g´en´eral : vn = 3n − 1.
(e) Soit u ∈ E, d´emontrer que D2 (u) = (un+2 − 2un+1 + un ).
(f) D´emontrer que Ker(D2 ) est l’ensemble des suites arithm´etiques.
´
B-Etude
d’un sous-espace vectoriel de E
Soit F le sous-ensemble de E constitu´e des suites u telles que :
∀n ∈ N, 4un+3 = 9un+2 − 6un+1 + un
1. D´emontrer que F est un sous-espace vectoriel de E.
2. V´erifier que Ker(D2 ) ⊂ F .
3. Soit u ∈ E, d´emontrer que u ∈ F si et seulement si D2 (u) est une suite g´eom´etrique de raison
1
.
4
1
4. (a) Montrer que l’ensemble des suites g´eom´etriques de raison est un sous-espace vectoriel de E de dimension
4
1.
(b) Montrer que l’ensemble des suites arithm´etiques est un sous-espace vectoriel de E de dimension 2.
(c) En appliquant le th´eor`eme du rang `
a l’application D2 restreinte `a F d´eterminer dim(F ).
(d) D´eterminer les suites g´eom´etriques de premier terme ´egal `a 1 qui sont des ´el´ements de F .
(e) Trouver un suppl´ementaire de Ker(D2 ) dans F .
(f) En d´eduire une description de F .
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C-Suites p´eriodiques
Soit k ∈ N∗ . On note Ek le sous-espace vectoriel de E constitu´e des suites p´eriodiques de p´eriode k, c’est-`
a-dire
des suites (un ) v´erifiant :
∀n ∈ N, un+k = un
1. D´eterminer une base de E2 .
2. (a) Montrer que E3 = Ker(T 3 − Id).
(b) D´emontrer que : ∀u ∈ E3 , T (u) ∈ E3 .
(c) D´emontrer que Ker(T − Id) ⊂ E3 .
(d) D´emontrer que Ker(T 2 + T + Id) ⊂ E3 . Dans la suite, on note H = Ker(T 2 + T + Id).
3. On consid`ere l’application :
ϕ : E3 → C
1
u
→
u0 + u1 + u2
3
(a) Montrer que ϕ est une forme lin´eaire et que Ker(ϕ) = H.
(b) D´eterminer dim(H).
(c) En d´eduire dim(E3 ).
(d) D´emontrer que G = Ker(T − Id) et H sont deux sous-espaces vectoriels suppl´ementaires dans E3 .
(e) Donner une base de E3 .
(f) Exprimer en fonction de T la projection sur G parall`element `a H.