Transcript Devoir maison n 23 Probl`eme 1. - MPSI 1 Lycée Pierre de Fermat

Lycée Pierre de Fermat
MPSI 1
2013/2014
Devoir maison
Devoir maison n◦ 23
Rendre le problème 2 rédigé pour mercredi 28 Mai 2014.
Exercice. 

8
6 −10
1 
−10 5
0 . Notons ã l’endomorphisme de l’espace euclidien orienté canonique
Soit A =
15
6
−8
5
(R3 , < ·|· >) canoniquement associé à A.
1. Préciser ker ã.
⊥
2. Montrer que R3 = ker ã ⊕ Imã.
⊥
3. Donner la matrice de ã dans une BOND de R3 adaptée à la décomposition R3 = ker ã ⊕ Imã. (On pourra
proposer deux méthodes)
4. Reconnaı̂tre ã comme la composée de deux transformations de l’espace dont on donnera les éléments
caractéristiques.
Problème 1.
On note E l’ensemble des applications f de ] − 1, 1[ dans R telles qu’il existe Pf ∈ R2 [x] vérifiant,
∀x ∈] − 1, 1[, f (x) =
Pf (x)
.
1 − x3
De plus, pour tout k ∈ {0, 1, 2}, on note ek l’élément de E défini pour tout x ∈] − 1, 1[ par ek (x) =
xk
.
1 − x3
1. Montrer que E est un R-espace vectoriel de dimension finie, déterminer une base de E et la dimension de
E.
1
2. Pour tout (f, g) ∈ E 2 , posons < f |g >= f (0)g(0) + f ′ (0)g ′ (0) + f ′′ (0)g ′′ (0).
4
(a) Montrer que cette application est un produit scalaire sur E.
(b) Montrer que la famille B = {e0 , e1 , e2 } est une base orthonormale de E pour ce produit scalaire.
3. Soit F l’ensemble des éléments de E qui admettent une limite finie lorsque x tend vers 1.
(a) Soit f ∈ E fixée quelconque telle que ∀x ∈] − 1, 1[, f (x) =
appartient à F si et seulement si Pf (1) = 0.
Pf (x)
où Pf ∈ R2 [x]. Montrer que f
1 − x3
(b) En déduire que {e0 − e1 , e0 − e2 } est une base de F .
(c) Construire, à partir de la question précédente, une base orthonormale {ε1 , ε2 } de F .
4. Soit f ∈ E fixée quelconque. On définit u(f ) de ] − 1, 0[∪]0, 1[ dans R par
∀x ∈] − 1, 0[∪]0, 1[, u(f )(x) =
f (x) − f (0)
.
x
(a) Montrer que u(f ) peut être prolongée par continuité en 0 en une fonction ũ(f ).
(b) Montrer que ũ(f ) appartient à E.
5. (a) Montrer que ũ définit un endomorphisme de E.
(b) Écrire la matrice de ũ dans la base B.
(c) (hors programme) Supposons l’espace (E, < ·|· >) orienté par la base B. Identifier l’endomorphisme
ũ et donner ses éléments géométriques.
1
Problème 2. Autour des endomorphismes antisymétriques.
Soit (E, < ·|· >) un espace vectoriel euclidien de dimension n > 2.
Une application u de E dans E est antisymétrique si, pour tout (x, y) ∈ E 2 ,
< u(x)|y >= − < x|u(y) > .
On note A(E) l’ensemble des applications de E dans E antisymétriques.
Une application u de E dans E est symétrique si, pour tout (x, y) ∈ E 2 ,
< u(x)|y >=< x|u(y) > .
On rappelle que λ ∈ R est valeur propre d’un endomorphisme f de E s’il existe xλ ∈ E \ {0E } tel que
f (xλ ) = λxλ . Si λ est une valeur propre de f ∈ LR (E), le sous-espace propre associé à la valeur propre λ est
l’espace vectoriel ker(f − λidE ).
On admettra que, pour tout endomorphisme symétrique f ∈ LR (E), il existe une BON de E constituée de
vecteurs propres de E associés à des valeurs propres de f .
Partie 1. Généralités.
1. (a) Soit u ∈ A(E) fixé quelconque. Pour tout (x, y, z, α, β) ∈ E 3 × R2 simplifier
< z|u(αx + βy) > .
(b) En déduire que A(E) ⊂ LR (E).
2. Montrer que, pour toute application u de E dans E, les assertions suivantes sont équivalentes.
(i) u ∈ A(E)
(ii) u est linéaire et, pour tout x ∈ E, < x|u(x) >= 0,
(iii) u est linéaire et sa matrice, dans toute BON de E est antisymétrique,
(iv) u est linéaire et sa matrice dans au moins une BON de E est antisymétrique.
3. Donner la forme générale de la matrice d’un endomorphisme antisymétrique d’un espace de dimension
n = 2, lu dans une même BON au départ et à l’arrivée.
4. Montrer que A(E) est un sous-espace vectoriel de LR (E) et calculer sa dimension.
5. Soit u ∈ A(E) fixé quelconque.
(a) Soit a ∈ R une valeur propre de u. Montrer que a ne peut prendre qu’une seule valeur.
(b) Montrer que, si l’espace E est de dimension impaire, alors ker u est un sous-espace vectoriel non trivial.
On pourra montrer puis utiliser que λ ∈ R est valeur propre de u si et seulement si det(u − λidE ) = 0.
(c) Montrer que Imu = ker u⊥ et que ker u = Imu⊥ .
(d) Étudier la restriction de u à Imu. En déduire que le rang de u est pair.
(e) Montrer que, si F est un sous-espace vectoriel de E stable par u, alors F ⊥ l’est aussi.
Partie 2. Cas particulier n = 3.
Soit u ∈ A(E) fixé quelconque.
6. Montrer que, pour tout x ∈ Imu \ {0E }, {x, u(x)} est une base de Imu.
7. En déduire que la matrice de u, lue dans une base B orthonormale à préciser au départ et à l’arrivée, est


0 a 0
 −a 0 0 
0 0 0
pour une valeur a ∈ R fixée que l’on précisera dans la construction.
8. En déduire que, si E est orienté, il existe un unique vecteur b ∈ E tel que, pour tout x ∈ E, u(x) = b ∧ x.
2
Partie 3. Cas particulier n = 4.
Soit u ∈ A(E) fixé quelconque.
9. Supposons que rg(u) = 2. Montrer qu’il existe une

0
 −a

 0
0
BON de E dans laquelle la matrice de u est

a 0 0
0 0 0 

0 0 0 
0 0 0
pour une valeur a ∈ R∗ fixée que l’on précisera dans la construction.
10. Supposons que rg(u) = 4.
(a) Montrer que, pour (α, β) ∈ R2 fixés quelconques tels que α 6= β, pour tout f ∈ LR (E),
ker((f − αidE ) ◦ (f − βidE )) = ker(f − αidE ) ⊕ ker(f − βidE ).
(b) En déduire que, si pour λ ∈ R fixé quelconque, ker(u2 − λ2 idE ) 6= {0E }, alors λ ou −λ est valeur
propre de u.
(c) Conclure que u2 est un endomorphisme symétrique de E dont toutes les valeurs propres sont strictement négatives.
(d) Soit x un vecteur propre de u2 associé à la valeur propre λ. Montrer que Vect{x, u(x)} est un plan
vectoriel de E stable par u.
(e) Montrer qu’il existe une BON de E dans laquelle la matrice de u est


0 a 0 0
 −a 0 0 0 


 0 0 0 b 
0 0 −b 0
pour des valeurs (a, b) ∈ R∗ 2 fixées que l’on précisera dans la construction.
Partie 4. Retour au cas général.
Soit u ∈ A(E) fixé quelconque et n > 2.
11. Que peut-on dire de u2 et de ses valeurs propres ?
12. Montrer que ker u = ker u2 .
13. Montrer que le sous-espace propre associé à toute valeur propre non nulle λ de u2 est de dimension paire.
14. En déduire qu’il existe une BON de E dans laquelle la matrice de u est diagonale par blocs, les blocs
diagonaux non triviaux étant du type
0
ai
−ai 0
pour certaines valeurs (a1 , . . . , ap ) ∈ R∗ p où p =
rg(u)
.
2
15. (a) Montrer que, si A est une matrice carrée antisymétrique de taille n, pour tout λ ∈ R∗ , (−A+ λIn )(A+
λIn )−1 est une matrice orthogonale.
(b) Montrer que, pour tout λ ∈ R∗ , (−u+λidE )◦(u+λidE )−1 est un élément du groupe spécial orthogonal
de E qui n’admet pas −1 comme valeur propre.
(c) On suppose que n = 3 et que la matrice de u dans une BON directe {e1 , e2 , e3 } de E est


0
tan θ 0
 − tan θ
0
0 
0
0
0
i π πh
où θ ∈ − , . Déterminer les éléments caractéristiques de (−u + idE ) ◦ (u + idE )−1 .
2 2
16. Soit f ∈ SO(E) fixé quelconque qui n’admet pas −1 comme valeur propre. Montrer qu’il existe u ∈ A(E)
tel que f = (−u + idE ) ◦ (u + idE )−1 .
3
Partie 5. Exponentielle de matrices antisymétriques.
Soit A ∈ Mn (R) fixée quelconque. Considérons la suite de matrices (An )n∈N ∈ Mn (R)N définie, pour tout
n ∈ N par
n
X
Ak
An =
k!
k=0
2
0
où, par convention, A = In . Lorsque, pour tout (i, j) ∈ [[1, n]] , la suite réelle ((An )i,j )n∈N des coefficients
(i, j) des matrices An converge vers li,j ∈ R, on appelle exponentielle de A la matrice (li,j ) 16i6n et on la
16j6n
note exp(A).
17. Montrer que l’exponentielle réalise une application surjective non injective de l’ensemble des matrices
antisymétriques de M3 (R), noté A3 (R), sur l’ensemble des matrices du groupe spécial orthogonal SO3 (R).
18. En utilisant la réduction proposée dans la question 14, calculer en toute généralité l’exponentielle d’une
matrice antisymétrique. Pensez-vous raisonnable de généraliser le résultat de la question précédente ?
4