Transcript DLN°8 - MATHS pour CPGE

CPGE- Lyc´ee technique
Mohammedia
Devoir libre N◦ 8
1`ere TSI 1
Math´ematiques
2013 − 2014
A rendre le 2 juin 2014
Exercice 1 :
On consid`ere trois suites (xn ), (yn ), (zn ) d´efinies par leurs premiers termes x0 , y0 , z0 et les
relations suivantes :

 2xn+1 = −xn − 3yn + 6zn
2yn+1 = 3xn + 5yn − 6zn

2zn+1 = 3xn + 3yn − 4zn
.
1. Montrer que ce syst`eme peut s’´ecrire sous la forme Xn+1 = AXn o`
u A ∈ M3 (R), et Xn ,
Xn+1 sont des matrices colonnes de M3,1 (R).
2. Chercher E1 = {X ∈ M3,1 (R) | AX = X} et E−2 = {X ∈ M3,1 (R) | AX = −2X}.
3. Montrer que E1 et E−2 sont des sous espaces vectoriels suppl´ementaires de M3,1 (R) , et
donner des bases de E1 et E2 .
M3,1 (R) → M3,1 (R)
4. Montrer que l’endomorphisme f :
a pour matrice A dans la base caX 7→ AX
nonique de M3,1 (R)


1 0 0
5. En d´eduire qu’il existe une matrice P ∈ GL3 (R) `
a determiner telle que P −1 AP =  0 1 0 .
0 0 −2
n
6. En d´eduire A pour tout entier naturel n, puis donner l’expression de Xn en fonction de n
et X0 .
Exercice 2 Soit A = (aij ) 1≤i≤n ∈ Mn (K) une matrice carr´ee. On appelle la trace de la matrice
1≤j≤n
A la somme de ses ´el´ements diagonaux et on la note par Tr(A) =
n
X
aii .
i=1
1. Montrer que l’application Tr est une forme lin´eaire sur Mn (K).
2. Montrer que : ∀A ∈ Mn (K), Tr(t A) =Tr(A).
3. Montrer que, en g´en´eral, Tr(AB) 6= Tr(A)Tr(B) ( exhiber un contre-exemple avec n = 2 ).
4. Montrer que : ∀A ∈ Mn (K), ∀B ∈ Mn (K) , Tr(AB) =Tr(BA).
5. Montrer qu’il n’est pas possible de trouver deux matrices A et B dans Mn (K) telles que
AB − BA = In .
6. Montrer que : ∀A ∈ Mn (R), Tr(t AA) ≥ 0.
7. Montrer que deux matrices semblables ont la mˆeme trace. ( deux matrices A et Bde Mn (K)sont
semblables s’il existe P ∈ GLn (K) telle que A = P −1 BP )
8. Soit u, un endomorphisme d’un K-ev E de dimension n. Montrer que la trace de sa matrice
relativement `
a une base B est ind´ependante de la base B choisie. On peut donc ainsi d´efinir
la trace d’un endomorphisme de E.
9. Soit p, un projecteur de E : montrer l’´egalit´e Tr(p) = rg(p).
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