Transcript Matrices et applications linéaires

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2013-2014
Feuille d’exercices sur «Matrices et applications linéaires»
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Pour démarrer
Exercice 1 (De l’AL vers la matrice) Déterminer les matrices des applications linéaires suivantes par
rapport aux bases canoniques.
1. f : R2 → R4
(x, y) 7→ (x, y, y, 2x)
2. f : R2 → R3
(x, y) 7→ (0, y, x)
3. f : R3 → R2
(x, y, z) 7→ (x + y, z − x)
4. D : R3 [X] → R3 [X] P 7→ P ′
5. ∆ : R3 [X] → R3 [X]
6. eva : Rn [X] → R,
P 7→ P (X + 1) − P (X)
P 7→ P (a).
7. f : M2,3 (K) → M3,2 (K),
M 7→ t M .
Exercice 2 (De la matrice vers l’AL)

1
A = −1
2
On considère les matrices



1 1 1
0
3 et B = −1 2 −2 .
0 3 −1
4
1. Déterminer l’application linéaire u canoniquement associée à A et à B.
2. Déterminer dans les deux cas une base de Ker u et Im u.
Exercice 3 On considère l’endomorphisme u de K4

0
−1
A=
1
0
canoniquement associé à la matrice

2 0 0
0 0 2
.
0 0 −2
0 0 0
En utilisant uniquement les colonnes de A, donner le rang de A, en déduire sans aucun calcul une base
de Im u et de Ker u.
Exercice 4 Soit f ∈ L(R2 , R3 ) tel que f (1, 1) = (−1, −2, 5) et f (2, −3) = (0, 5, 4). Déterminer la matrice
de f dans les bases canoniques de R2 et R3 .
Exercice 5 (Une triangularisation) Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est


3 −1 1
A = 2 0 1
1 −1 2
On note u1 = (0, 1, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 1, 1). On peut montrer que la famille β = (u1 , u2 , u3 ) est
une base R3 .
1. Écrire la matrice T de f dans B.
2. Donner une relation matricielle reliant A et T . En déduire les puissances de A.
Exercice 6 On considère la matrice

1
0

A=
0
0
0
1
1
0
0
0
1
2
1
0
0
1
3
3
1
0

1
4

6

4
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1. Déterminer l’endomorphisme de R4 [X] dont A est la matrice dans la canonique de R4 [X].
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2. En déduire sans calcul matriciel, l’inverse et les puissances de la matrice A.
Exercice 7 (Un endomorphisme matriciel) On pose J =
défini par
1 1
1 1
et f l’endomorphisme de M2 (R)
f (M ) = M J.
1. Écrire la matrice A de f dans la base canonique de M2 (R).
2. Déterminer le noyau et l’image de f .
3. A est-elle inversible ? Calculer Ap .
2
Des réductions de matrice
2
Exercice 8 (Une diagonalisation modèle) Soit A =  2
−1


−2 1
−3 2.
2 0
On note f l’endomorphisme de K3 dont A est la matrice dans la base canonique de K3 .
1. Déterminer une base de Ker(f − id) et de Ker(f + 3 id).
2. Démontrer que K3 = Ker(f − id) ⊕ Ker(f + 3 id).
3. Écrire la matrice D de f dans une base adaptée à cette somme directe.
4. Donner une relation matricielle reliant A et D. En déduire une méthode de calcul de An pour n ∈ N.
Exercice 9 (Diagonalisation de la matrice «Attila») On note J la matrice carrée 1 d’ordre 4 dont
tous les coefficients valent 1. On note u l’endomorphisme de K4 canoniquement associé et B = (e1 , e2 , e3 , e4 )
la base canonique.
1. Déterminer une base de Im u et de Ker u.
2. On pose a = e1 + e2 + e3 + e4 . Calculer u(a). Démontrer que Ker u et Vect {a} sont supplémentaires
dans K4 .
3. Écrire la matrice D de u dans une base adpatée à la somme directe K4 = Ker u ⊕ Vect {a} et donner
le lien matriciel entre A et D.
Exercice 10 (Matrices nilpotentes d’indice maximal) . Soit E un K-espace vectoriel de dimension
finie n et u un endomorphisme nilpotent d’indice maximal, i.e. un = 0 et un−1 6= 0. Soit x ∈ E tel que
un−1 (x) 6= 0. On a vu au chapitre précédent que la famille B = (x, u(x), ..., un−1 (x)) est une famille libre de
E.
1. Justifier que B est une base de E, écrire la matrice A de u dans cette base.
2. En déduire sans calcul matriciel l’expression pour tout k ∈ N de Ak .
Exercice 11 (Interprétation matricielle d’un espace stable) Soit F et G deux sous-espaces vectoriels
supplémentaires dans E de dimension finie. Soit u un endomorphisme de E. On suppose que F et G sont
stables par u. On prend B une base adaptée à la somme directe E = F ⊕ G.
1. De quel type est la matrice de u dans cette base ?
2. On suppose que P et Q sont des polynômes annulateurs respectifs de matrices A et B. Déterminer un
polynôme annulateur de la matrice bloc diag(A, B).
Exercice 12 (Matrice d’une projection) On se place dans R3 . On note p la projection sur le plan F
d’équation x + y + 2z = 0 parallèlement à la droite dirigée par (1, 2, 1).
1. Déterminer une base du plan F , en déduire une base dans laquelle la matrice de p est diagonale.
1. Cette matrice est parfois appelé matrice «Attila» car elle est habitée par les «uns» et Attila était le roi des «huns».
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2. Écrire la matrice de passage de la base canonique vers cette nouvelle base. En déduire à l’aide de la
calculatrice la matrice de p dans la base canonique.
3. Donner la matrice dans la base canonique de la composée de l’homothétie de rapport 5 par la projection
p.
Exercice 13 (Cas général) Soit p un projecteur de L(E) avec E un K-espace vectoriel de dimension finie.
1. Déterminer une base B de E telle que la matrice de p dans B est une matrice diagonale de la forme
diag(0, . . . , 0, 1 . . . , 1).
2. En déduire que rg p = Tr(p).
Exercice 14 (Etude d’une symétrie) On pose A =
1
3
−1 −2
.
−4 1
1. Montrer que f l’endomorphisme canoniquement associé à A est une symétrie par rapport à E1 et
parallèlement à E2 où E1 et E2 sont à déterminer.
2. Trouver une base de R2 dans laquelle la matrice de f est diagonale.
3. On munit R2 de sa norme euclidienne. La symétrie f est-elle une isométrie ?
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Applications de la réduction
Exercice 15 (Racines carrées) Soit A et B deux matrices semblables de de Mn (K) avec A = P BP −1 .
1. Démontrer que R est un racine carrée de A si et seulement si la matrice P −1 RP est une racine carrée
de B.
2. Application : on suppose que B = diag(0, 4, 3). Déterminer les racines carrées de A.
Exercice 16 (Calcul de commutant) Si M est une matrice, on note C(M ) l’ensemble des matrices qui
commutent avec M (on dit aussi commutant de M ). On prend A et B deux matrices semblables de Mn (K).
1. Démontrer que les espaces C(A) et C(D) sont isomorphes.
2. Application : soit A une matrice semblable à la matrice D = diag(1, −3, −3). Déterminer la dimension
du commutant de A.
Exercice 17 (Réduction en base orthonormée d’une conique) On munit le plan R2 de sa base ca−
→ −
→
−
→ −
→
nonique orthonormée ( i , j ). On note B = ( I , J ) la base orthonormée obtenue par rotation d’angle π4
de la base canonique. Si M est un point de coordonnées (x, y) dans la base canonique, on note (X, Y ) ses
coordonnées dans B.
1. Écrire la matrice de passage de la base canonique vers la nouvelle base, en déduire une expression de
x et y en fonction de X et Y .
2. Application : on considère la conique C dont l’équation cartésienne dans la base canonique est :
x2 + 3xy + y 2 − x + y = 1.
Démontrer que dans B, la courbe C a pour équation
5(X + 1)2 − (Y − 1)2 = 0.
En déduire la nature et l’allure de C.
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Classification de matrices
Exercice 18 (Invariants de similitude)
1. Démontrer que deux matrices semblables ont même trace. Deux matrices de même trace sont-elles
semblables ?
2. Classer à similitude près les quatre matrices élémentaires de M2 (K). Et à équivalence près ?
3. On démontrera aussi prochainement que deux matrices semblables ont même déterminant. Déterminer
deux matrices de M2 (K) qui ont même trace et même déterminant mais qui ne sont pas semblables.
Exercice 19 Démontrer que les deux matrices

1 3
A = 2 4
4 5
suivantes sont semblables :



7
4 8 2
8  B = 5 1 4
1
3 7 1
Exercice 20 (Matrices nilpotentes en taille 3) Soit N une matrice nilpotente de M3 (K). On note r
son indice de nilpotence, c’est-à-dire N k = 0 et N k−1 6= 0.
1. On suppose r = 3. A quelle matrice simple est semblable N ? Utiliser l’exercice 10.
2. On suppose r = 2. On note u l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique de R3
est N .
(a) Comparer Ker u et Im u, en déduire la dimension de Ker u.
(b) Soit x ∈ R3 tel que u(x) 6= 0. Justifier qu’il existe z ∈ Ker u tel que la famille (u(x), z) soit une
base de Ker u.
(c) Démontrer que la famille B ′ = (x, u(x), z) est une base de R3 et écrire la matrice D de u dans
cette base.
3. Conclusion : combien de classes de similitude y-a-t-il dans l’ensemble des matrices nilpotentes de
M3 (K).
Exercice 21 Démontrer que les matrices A et B sont semblables



0
1
1 −1
A = −3 −3 3  B = 0
0
−2 −2 2
:

1 0
0 0
0 0
Exercice 22 Démontrer qu’une matrice de Mn (K) non inversible est équivalente à une matrice nilpotente.
Le résultat reste-t-il vraie en remplaçant le mot «équivalente» par semblable ?
Exercice 23 (Lemme de Schur) Soit f un endomorphisme de R2 .
1. On suppose que f est une homothétie. Démontrer que f laisse stable toute droite de R2 , c’est-à-dire
que pour toute droite ∆, on a f (∆) ⊂ ∆.
2. On suppose que f laisse stable toute droite de R2 , démontrer que f est une homothétie (on pourra
considérer f (e1 + e2 ) avec (e1 , e2 ) la base canonique de R2 ).
Exercice 24 (Classes de similitude en taille 2) Soit M ∈ M2 (K). On suppose que M n’est pas une
matrice scalaire, c’est-à-dire de la forme λI2 avec λ ∈ K.d’homothétie.
1. Démontrer à l’aide du lemme de Schur qu’il existe vecteur a de R2 tel que la famille (a, f (a)) soit une
base de R2 , en déduire que la matrice A est semblable à une matrice T de la forme
0 α
1 β
2. Exprimer β et α en fonction de Tr(A) et det A.
3. En déduire que deux matrices non scalaires de M2 (K) sont semblables, si et seulement si elles ont
même trace et même déterminant.
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4. Classer les matrice suivantes à similitude près :
1 1
0 2
3 3
2 0
1 1
2 0
0
3
2
0
3
2
1 1
1 2
−1 −5
2
4
5. Classer à similitude près les seize matrices de M2 (K) dont les coefficients valent 0 ou 1 (il y a huit
classes de similitude).
5
Calculs de rang
Exercice 25 (Un petit vrai-faux)
1. Si A et B sont dans Mn (K), on a rg(A + B) = rg(A) + rg(B).
2. Si A et B sont dans Mn (K), on a rg(AB) = rg(BA).
Exercice 26 (Calculs de rang) Déterminer le rang des matrices suivantes :



1 0 0
1 0
1. A1 = 0 1 0 , A2 = 0 0
0 0 1
0 0



1 2 0
1 1 1 1
2 3 0
0 0 1 1




0 0 2 3 A7 = 3 4 0
4 5 0
0 0 0 0
5 6 0


1 1 0
1 0
2. A = 0 1 1 , B = 1 2
0 −1 1
1 2



0
1
0 , A3 = 0
0
0


3
2
0
5



7
 A8 = 0

0
9
12
5


1
0
0
2 , C = 
0
0
1

1
3. Discuter le rang des matrices : A = 2
3
1
−m
1
0
0
1
1
3
0
0
6
0
2
0
1


0
1
0 , A4 = 4
0
9

1 5
1 4

0 2
.
0 3
0 12

1 3
−2 1
.
0 1
0 1

1−m
m
3 ,B =
1
−m
2
5
12
1
m


3
1
6  , A5 = 0
15
0

1
1
1
,C = 
1
1
m
1
1
m
1

2 3
2 4 , A6 =
0 3
1
m
1
1

m
1
.
1
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Exercice 27 (Difficile mais instructif) Soit A et B deux matrices de Mn (K). Le but de l’exercice est
de montrer que rg(I − AB) = rg(I − BA).
1. Traiter d’abord le cas où B est inversible puis le cas où A est inversible.
I 0
. Démontrer en utilisant «des
2. On note Jr la matrice canonique de rang r de Mn (K), i.e. Jr = r
0 0
produits par bloc» que pour toute matrice U de Mn (K), on a rg(In − U Jr ) = rg(In − Jr U ).
3. On suppose que A n’est pas inversible. Démontrer en utilisant les questions précédentes que rg(I −
AB) = rg(I − BA).