programme d'interrogation n5

I Application Linéaire : • Conservation des combinaisons linéaires.

• Edomorphisme, isomorphisme, automorphisme.

• Exemples fondamentaux, intégration, dérivation, évaluation.

• Opérations sur les applications linéaires, combinaisons linéaires, composition.

• L'application réciproque d'un isomorphisme est un isomorphisme.

• Noyau, Image d'une application linéaire.Noyau et image sont des espaces vectoriels.

• Caractérisation de l'injectivité et de la surjectivité • Structure de l'ensemble des solutions d'une équation linéaire.

II Applications linéaires en dimension finie : • Une application linéaire est parfaitement déterminée par l'image d'une base.

• L'image d'une base est une famille génératrice de l'image.

• Une application linéaire est un isomorphisme si et seulement si l'image d'une base de l'espace de départ est une base de l'espace d'arrivée.

• Théorème du rang (admis).

• Conséquence : si dimE = dimF alors une application linéaire injective (resp surjective) de E dans F est bijective.

III Matrice d'application linéaire en dimension finie dans une base de départ et une base d'arrivée: • Opération sur les matrices : la matrice de la combinaison linéaire est la combinaison linéaire des matrices.

• Matrice de la composée.

• Une application linéaire A − 1 u est bijective si et seulement si sa matrice A est inversible et dans ce cas la matrice de u − 1 est • Interprétation d'une matrice de passage comme matrice de l'identité • Changement de bases pour les matrices d'endomorphismes.

• matrices carrées semblables : deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme dans deux bases diérentes.

Questions de cours

1.

Keru et Imu sont des espaces vectoriels.

2. résolution d'un problème linéaire 3. Caractérisation de la bijectivité par l'image d'une base.

4. Caractérisation de la bijectivité par l'inversibilité de la matrice.

5. Enoncé du théorème du rang et preuves des conséquences.

6. Formule de changement de bases pour les endomorphismes.

Bcpst2 Carnot-Dijon-2014 A TEX