Transcript Atelier Matrice et suites en spécialité S

Atelier Matrices et Suites en
spécialité S
Journées APMEP
Metz, 29 otobre 2012
Frédéric Laroche
Matrices, Graphes et Suites
Introduction des matrices et des graphes
dans l’enseignement de spécialité de
terminale S, comment ?
Des exemples de situations en lien avec les
recommandations du programme
 n   n1 P   0 Pn   0,884 0,044 0,072 
Doudou, un exemple commenté qui met en
relation notions du programme et problème
1
1  Dormir
2  M anger
3  Roue
2
3
 0, 9 0, 05 0, 05 


0,7
0
0,
3

P
 0,8

0
0,
2


 n   n1 P   0 Pn   0,884 0,044 0,072 
Lien avec le programme
Matrices et suites : Il s’agit d’étudier des exemples de processus discrets, déterministes ou
stochastiques, à l’aide de suites ou de matrices.
On introduit le calcul matriciel sur des matrices d'ordre 2. Les calculs sur des matrices d'ordre 3
ou plus sont essentiellement effectués à l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel.
Programme TS spé maths
Activités liées à Doudou
Matrices carrées, matrices colonnes : opérations.
Ok : attention au « problème » des vecteurs
ligne/colonne.
Matrice inverse d’une matrice carrée.
Ok : on cherche la distribution stationnaire (a,b,c)
en rajoutant l’équation a+b+c=1.
Exemples de calcul de la puissance n-ième d’une
matrice carrée d’ordre 2 ou 3.
Ok : calcul à la main (!) ou avec un logiciel
(Geogebra par exemple)
Écriture matricielle d’un système linéaire.
Ok : voir l’utilisation du CAS GeoGebra
Suite de matrices colonnes (Un ) vérifiant une
relation de récurrence du type Un+1 = AUn + B.
Non, quoique…
Étude asymptotique d’une marche aléatoire.
Urnes d’Ehrenfest, modèle proie prédateur
discrétisé, etc.
Ok : on peut remplacer le graphe initial par le
graphe associé à une marche sur les arètes d’un
tétraèdre par exemple (matrice 4*4).
Pourquoi pas la géométrie ?
Une introduction
élémentaire au calcul
matriciel et une
interprétation immédiate.
On peut itérer pour
obtenir des IFS par
exemple…
Toutes les opéraions ont
une signification évidente.
On peut passer en dim 3
aisément
Chaines de Markov homogènes
On considère
un espace d’état E = {1, 2 , … m} qui correspond aux
issues possibles d’une expérience aléatoire,
à tout instant n, les variables aléatoires Xn à valeurs
dans E qui décrivent un système évolutif.
Si la loi de Xn+1 ne dépend pas de l’histoire du système
mais seulement de Xn :




P X n 1  j X0  i0 , X1  i1, ..., X n  i n  P X n 1  j X n  i n  pij
on dit que (Xn)n  N est une chaine de Markov ;
si elle ne dépend pas non plus de l’instant n elle est
homogène.
Ce qui compte finalement est la connaissance des
probabilités de passage d’un état i à un état j pour i et j
variant de 1 à m :
D’où l’intérêt d’une représentation sous forme d’un
graphe (pas toujours évident) dont les sommets sont les
états, ce qui permet d’écrire la matrice de transition
 p11
P  
p
 m1
p1m 


pmm 
n
p
La probabilité de transition ij de passer en n étapes de
l’état i à l’état j est le terme ij de la matrice Pn.
Si on note sous forme de vecteur ligne la loi de
probabilité de Xn :
 n   p( X n  1), p( X n  2),..., p( X n  m) 
n 1
alors on a  n 1   nP   0P
Si on a une loi stationnaire , souvent limite des lois n,
m
elle vérifie les équations
   p1, p2 , ..., pm  ,  pi  1
i 1
  P
Le temps de retour moyen de l’état i à l’état i est
l’inverse de la probabilité pi.
Introduire les matrices
Quel temps fait-il à Brest ?
Aux mois de décembre, janvier et février, le temps à Brest est à peu
près le suivant : il n’y a que deux états : pluvieux ou beau. S’il pleut
un jour alors il repleut le jour suivant avec la probabilité 2/3 ; s’il fait
beau, alors il refait beau avec la probabilité 3/4.
1. Quelle est la proportion de beaux jours en hiver ?
2. Aujourd’hui il fait beau (resp. il pleut) ; combien de temps en
moyenne attendrons nous un autre jour de beau temps ? (resp.
mauvais temps.)
1
3
a

b a
4
4
3

Solution :

a

2
    a, b 
1

 3 / 4 1/ 4 
7

a b b
P

1
/
3
2
/
3


4

P  X1  k    1  
7

k 1
4
 bk 1a
7

  P  
E  X1  


k 1

3
4
 a b1


kP  X1  k  

b 3

7
1
7

4/ 7 4
Introduire les matrices
Matrices : Jeunes et vieux
On distingue les jeunes et les vieux. Un « état » de la population est
un point du plan (J, V).
On observe la population : la période choisie est la moitié de la
durée de vie moyenne, tous les jeunes sont devenus vieux avec un
taux c ou sont morts (taux 1 - c) et tous les vieux sont morts ; mais
chaque classe a « produit » une certaine quantité de jeunes avec
les taux de natalité a (pour les jeunes) et b (pour les vieux).
1. Représenter la situation par un graphe.
2. (Jn) et ( Vn) sont les nombres de jeunes et de vieux lors du n-ième
recensement. Ecrire les relations entre les vecteurs (Jn, Vn) puis
étudier les comportements des populations.
On prendra par exemple
a=0,1 ; b=0,8 ; c=0,9
a=0,1 ; b=1 ; c=0,9
a=1 ; b=1 ; c=0,9
a=0,5 ; b=1 ; c=0,6
Modélisation avec un graphe
Le problème du collectionneur
Dans chaque paquet de café BlackSabbath on trouve une figurine
de collection. La série complète comprend 4 figurines : on note T le
nombre de paquets qu’il faut acheter pour obtenir la collection
complète.
1. Représenter le processus par une chaine de Markov (graphe).
2. Établir la matrice de transition. Calculer le vecteur de distribution
de probabilité à la troisième transition.
3. Calculer l’espérance et la variance de T.
Interpréter.
Attention, T représente le nombre de figurines
distinctes…
Solution
1. Graphe :
2. Matrice de transition
0
0 
 0,25 0,75
 0

0,5
0,5
0

P 
 0
0
0,75 0,25 


0
0
1 
 0
 0,0156 0,3281 0,5625 0,0938 

0
0,125 0,5938 0,2813 
3


P


0
0
0,4219 0,5781 


0
0
0
1 

 0   1, 0, 0, 0 
 3   0,016 ; 0,33 ; 0,56 ; 0,09 
3. Xi = nombre de paquets à acheter pour passer de l’état i à l’état
k 1


i+1 : on a
3 3
1
4

E  X1  
 k P  X1  k    k  1  4 
k 1
k 1


4

3/4

3
E  T   E  X1   E  X 2   E  X 3  
22
3
var  T   var  X1   var  X 2   var  X 3  
130
9
Transfert de bits
Un message codé de façon binaire est transmis à travers un réseau.
Chaque bit est transmis avec une probabilité d’erreur égale à a pour
un passage de 0 à 1, égale à b pour un passage de 1 à 0 (a et b
différents de 0 et 1).
Le résultat de la transmission au ne relais est à valeurs dans {0, 1} ;
on suppose que les relais se comportent indépendamment les uns
des autres et que les erreurs sur les bits sont indépendantes.
On souhaite calculer la taille du réseau (la valeur de n) au delà de
laquelle la probabilité de recevoir une erreur est supérieure à ε.
On note L la longueur du message.
Solution
0
L = 1 : Matrice de transition P 
1
0  1 a
a 
1  b 1  b 
On pose pn  P  X n  0  d’avoir un 0 au ne relais :
pn 1   1  a  pn  b  1  pn
n
b
p

p

1

a

b

  p0  p 
Point fixe : p 
d’où n
ab
On envoie
un
Pour répondre à la
question, on a la même
loi Xk sur chaque bit d’où : 0 : p0 = 1
L
rn   rn
i 1
 
X 0i
1 : p0 = 0
Un algorithme pour conclure…
Probabilité message pas
erroné au ne relais
rn  0  
b
a

 1  a  b n
ab ab
rn  1  
a
b

 1  a  b n
ab ab

Échange de particules
Un récipient creux est divisé en deux chambres A
(ou 0) et B (ou 1) par une paroi percée d'un trou.
n molécules se trouvent primitivement en A
Le système évolue irréversiblement vers un état
d'équilibre dans lequel chaque chambre contiendra
finalement à peu près n molécules, ce qui est
vérifié par l'expérience.
Le système est un mot de trois bits ; les 8 états
possibles sont représentés par les sommets
d'une boîte.
Les trois boules sont en 000 qui vont vers l'un
des sommets voisins : à chaque instant, un des
trois chiffres est inversé.
Promenade symétrique sur un cube. On peut
facilement écrire la matrice P de transition, à 8
lignes et 8 colonnes.
Comme P est bistochastique (somme des termes de chaque ligne et
de chaque colonne égale à 1), on obtient la répartition stationnaire
1
1 1
   , , ..., 
8
8 8
000 001 010
000  1 / 4
001  1 / 4
010  1 / 4

P  100  1 / 4
011  0

101  0
110  0

111  0
1/ 4
1/ 4
0
0
1/ 4
1/ 4
0
0
1/ 4
0
1/ 4
0
1/ 4
0
1/ 4
0
100 011
1/ 4
0
0
1/ 4
0
1/ 4
1/ 4
0
0
1/ 4
1/ 4
0
1/ 4
0
0
1/ 4
101
110
111
0
1/ 4
0
1/ 4
0
1/ 4
0
1/ 4
0
0
1/ 4
1/ 4
0
0
1/ 4
1/ 4
0 
0 
0 

0 
1/ 4 

1/ 4 
1/ 4 

1/ 4 
Après un temps très long tous les sommets auront reçu le même
nombre de visites : l'intervalle moyen entre deux visites à un même
sommet est 8, d'où l'irréversibilité parfaite (avec n particules le
temps de retour à un sommet est 2n).
Modèle macroscopique
Les boules ne sont plus discernables ; les sommets de la boîte
ayant même somme de leurs trois chiffres sont regroupés, on utilise
la promenade aléatoire (les états sont le nombre de boules dans B) :
On a :    p0 , p1, p2 , p3

avec p0=p3, p1=p2, p0+p1+p2+p3=1, soit :
1 3 3 1
  , , , 
8 8 8 8

8 8

et les temps de retour : m   m00 , m11, m22 , m33    8, , , 8 
 3 3 
En général on aura une loi binomiale…
Séries de 1
Soit Un une suite de variables aléatoires valant 1 avec
probabilité p et 0 avec probabilité 1 – p.
Appelons Nn le nombre de 1 consécutifs avant le n-ième
tirage. Par convention N0 = 0 et Nm = 0 si le m-ième
tirage est 0.
Il est facile de vérifier que Nn 1   Nn  1  1U 1
n 1
1. Déterminer la matrice de transition de Nn.
2. Combien de piles consécutifs voit-on dans 100
tirages ?
Solution
Avec L coups :
 1 p
 1 p

 ...
PL  
 1 p
 1 p

 0
Histogramme
p
0
...
0
0
0
0
p
...
0
0
0
...
...
...
...
...
...
0
0
...
p
0
0
0
0 
... 

0
p

1
 pi , i 1  p

 pi , 0  1  p

 pi , j  0 sinon
F. de répartition
Références
Dartmouth College, Introduction to probability, AMS sd
http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html
(+ programmes Mathematica, Maple V, Basic)
Benaïm Michel, El Karoui Nicole, Promenade Aléatoire, Éd. de l’École Polytechnique, 2004
Engel Arthur, L’enseignement des probabilités et de la statistique, volumes 1 & 2, Cedic Nathan
1979
Engel Arthur, Mathématique élémentaire d’un point de vue algorithmique, Cedic Nathan sd
Foata Dominique, Fuchs Aimé, Processus Stochastiques, Dunod 2002
Frugier Gérard, Exercices ordinaires de probabilités, Ellipses 1992
Lefebvre Mario, Processus stochastiques appliqués, Hermann 2005
Rényi Alfred, Calcul des probabilités, Dunod 1966
FIN