Transcript CORRIGÉ DU DM N°1 : M ATRICES

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2014/2015
C ORRIGÉ DU DM N °1 : M ATRICES STOCHASTIQUES

0
1. Premier Exemple : p = 3 et A = 1
0

1
0.
0
0
0
1
(a) La matrice A est périodique de période 3 car A3 = I3 et pour tout n ∈ N, An+3 = An × A3 = An .
Les puissances
de Adépendent de la congruence modulo 3 de l’exposant : A3n = I3 , A3n+1 = A et

0 1 0
A3n+2 = 0 0 1.
1 0 0
(b) Pour tout n ∈ N,
C3n
C3n+1
C3n+2
=
=
=
n
X
1
3n + 1
1
3n + 2
1
3n + 3
A3k +
n−1
X
A3k+1 +
n−1
X
k=0
k=0
k=0
n
X
n
X
n−1
X
A3k +
A3k+1 +
k=0
k=0
k=0
n
X
n
X
n
X
A
3k
+
k=0
A
3k+1
+
k=0
On en déduit que la suite Cn (A)
n∈N
!
A3k+2
=
(n + 1)I3 + nA + nA2
3n + 1
=
(n + 1)I3 + (n + 1)A + nA2
3n + 2
=
(n + 1)I3 + (n + 1)A + (n + 1)A2
3n + 3
!
A3k+2
!
A
3k+2
k=0

1
1
I 3 + A + A2
1
=
converge vers C =
3
3
1
1
1
1

1
1.
1
(c) A et C sont stochastiques, mais seule A est déterministe.
On calcule A2 et on constate qu’elle est égale à A, ce qui suffit pour
que C est la matrice

 assurer
1
dans la base canonique d’un projecteur c. Or, ker(A − I3 ) = Vect 1 est aussi l’image de C, et
1
   
0
−1
Im (A − I3 ) = Vect  1  , −1 est le noyau de C. En effet, ces deux vecteurs sont bien dans
1
0
le noyau de c, qui est un plan d’après le théorème du rang et le fait que son noyau soit une droite.
2. Convergence de la suite Cn (A) n lorsque A est périodique
(a) Notons un
n∈N
= (n + 1) Xn − Xr−1
un+r − un
n∈N
. Pour tout n ∈ N,
=
(n + r + 1) Xn+r − Xr−1 − (n + 1) Xn − Xr−1
=
−rXr−1 +
n+r−1
X
xk −
k=0
=
−
r−2
X
xk +
k=0
car la suite (wn )n∈N =
P
n+r−1
k=n
xk
n∈N
n+r−1
X
n−1
X
xk
k=0
xk = 0
k=n
est constante (et oui : wn+1 − wn = xn+r − xn ), et l’avant-
dernier terme de notre suite d’égalités vaut wn+2 − w0 .
Ainsi, la suite (un ) est bornée, comme toute suite périodique, donc Xn − Xr−1 =
un
−−−−−→ 0. On
n + 1 n→+∞
conclut finalement au fait que Xn −−−−−→ Xr−1 .
n→+∞
Dans toute la suite de cette question, on suppose que A ∈ Mp (R) est r−périodique.
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est une conséquence immédiate de ce qui précède, appliqué à
r−1
1X k
chacun des coefficients d’indice (i, )j ∈ [[1, p]]2 de Cn (A) n . Sa limite est Cr−1 (A) =
A .
r
(b) La convergence de la suite Cn (A)
n
k=0
(c) En tant que polynôme en A, la matrice C commute avec A. De plus, AC =
r−1
1X
r
k=0
r
Ak+1 =
1X k
A =
r
k=1
r−1
1X k
A = C, la dernière égalité provenant de ce que Ar = Ip .
r
k=0
(d) Soit Y ∈ Rn . Si AY = Y , par une récurrence immédiate, Ak Y = Y pour tout entier k et donc
CY = Y . Réciproquement, si CY = Y , alors ACY = AY et puisque AC = C, on obtient CY = AY ,
i.e Y = AY .
(e) A nouveau, pour tout k ∈ N, Ak C = C, donc C × C = C, et c est bien un projecteur. On vient de
montrer que l’image de c, qui pour un projecteur est l’ensemble de ses invariants, est égal à ker(a−id).
Soit maintenant X ∈ Im (a−id). Il existe alors Y ∈ E tel que X = AY −Y et alors CX = CAY −CY =
0 d’après 2.(d). Ainsi, Im (a − id) ⊂ ker c. Et l’égalité de ces deux sous-espaces vectoriels provient
alors du fait qu’ils ont même dimension. En effet, dim Im (a − id) = p − dim ker(a − id) d’après le
théorème du rang appliqué à a − id, et dim ker c = p − dim Im c = p − dim ker(a − id), car pour un
projecteur le noyau et l’image sont en somme directe.
(f) La matrice C est forcément stochastique, car chcun de ses coefficients est positif ou nul, en tant que
limite réelle de coefficients qui le sont. De plus, la somme de chacune des lignes de A vaut 1, ce qui
est équivalent à l’égalité AU = U , où U ∈ Rn est le vecteur dont tous les coefficients sont égaux à 1.
Grâce à la question (d), on voit qu’il en est de même pour C.
(g) Soit A ∈ Mp (R) r−périodique à partir d’un certain rang, ce qui signifie qu’il existe m ∈ N tel
! que
n
X
1
Ak
pour tout n > m, An+r = An . D’après la question (b), la suite de matrices
n−m+1
k=m
n>m
Pm+r−1 k
1
converge vers C = r k=m A . Or, pour tout n > m,
Cn (A)
=
1
n+1
m−1
X
Pm−1
k=0
!
Ak
k=m
k=0
−−−−−→ 0 +
n→+∞
Ak +
n
X
1
r
m+r−1
X
k=m
Ak car
m−1
1 X k n−m+1
=
A +
n+1
n+1
k=0
lim
n→+∞
n
X
1
Ak
n+m−1
!
k=m
n−m+1
= 0 et
n+1
Ak est une quantité indépendante de n.
3. Etude des matrices stochastiques déterministes.
On fixe p ∈ N∗ . On note S l’ensemble des matrices stochastiques de taille p et D l’ensemble des matrices
stochastiques déterministes de taille p.
p
p
X
X
(a) S est une partie convexe de Mp (R) car R+ est convexe et si
aij = 1 et
bij = 1, alors pour tout
j=1
λ ∈ [0, 1],
p
X
j=1
λaij + (1 − λ)bij = 1
j=1
(b) S est stable pour la multiplication de matrices car un produit et une somme de réels positifs ou nuls
sont positifs, et si AU = U et BU = U , alors ABU = U .
(c) Comme S est convexe, si A ∈ S , il en est de même de Cn (A), pour tout n ∈ N.
Si la suite (Cn (A))n converge, alors sa limite est aussi déterministe, car les inégalités larges et les
égalités passent à la limite.
(d) D contient moins déléments qu’il n’existe de matrices à coefficients dans {0, 1}. Donc D est fini. De
plus, D est stable par multiplication car un produit ou une somme d’entiers égaux à 0 ou 1 sont tous
les deux des entiers naturels. Ainsi, si A, B ∈ D, alors AB ∈ S est à coefficients entiers. Or, puisque
la somme de chacune de ses lignes vaut 1, chacune de ses lignes contient exactement un 1 et n − 1
zéros.
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(e) Si A ∈ D, alors k ∈ N 7−→ Ak ∈ D (D est stable par multiplication) ne peut être injective. Ainsi, il
existe n0 ∈ N et r ∈ N∗ tels que An0 +r = An0 . Alors, pour tout n > n0 , en multipliant par An−n0 , on
obtient An+r = Ar , i.e A est périodique à partir d’un certain rang.
(f) On en déduit la convergence de la suite Cn (A) n lorsque A est stochastique et déterministe.
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