Transcript La Capéçonette

Suites de matrices vérifiant U n+1=A Un +C
1. Définition : Une suite de matrices colonnes de taille p , converge si toutes les suites formant les
éléments de ces matrices convergent.
( )
Exemple : U n =
e−n
converge vers 0 .
1
1+e−n
()
2. Propriété :
Si une suite de matrices colonnes de taille p , ( U n ) , vérifie pour tout entier naturel n :
U n+1=A×U n où A est une matrice carrée [ p× p ] , alors pour tout n : U n=An Uo .
(démonstration par récurrence).
()
Exemple : Soit la suite de matrices colonnes ( U n ) définie par U 0= 1 et , pour tout entier naturel
1
n , U n+1=AU n avec A= 0,3 −0,1 .
0,2
0
n +1
−1 1−2n
n
n 2
a) Montrer que A =0,1 n+1
. En déduire l'expression de U n en fonction de n .
2 −2 2−2n
b) La suite ( U n ) est elle convergente ?
(
)
(
)
3. Propriété :
Soit ( U n ) une suite de matrices colonnes de taille p , vérifiant U n+1=A×U n +C où A est une
matrice carrée [ p× p ] et C une matrice colonne de taille p .
S'il existe une matrice S vérifiant : S=A×S+C alors la suite V n=Un −S vérifie V n+1=A×V n
Il en résulte alors V n=An × V0
Remarques :
−1
• S=A×S+C ⇔ ( I−A ) ×S=C donc si I−A est inversible : S=( I−A ) × C .
• La matrice S , quand elle existe est appelée « état stable ».
• On peut étudier la convergence de ( U n ) à l'aide de la convergence de ( V n )
Conséquence : Si la suite ( A n ) converge, alors la suite ( U n ) converge.
Exemples :
1. exercice 4 page 143.
(
)
( )
( )
2. Soit la matrice A= 0,3 0,2 et B= 12 . On définit la suite de matrice ( U n ) par U 0= 24
0,1 0,4
0
3
et, pour tout entier naturel n , U n+1=AU n + B .
1
2
3
Q= 3
a) Montrer que A=PDQ avec P= 1 −2
.
D= 0,5 0
1 1
1 1
0 0,2
−
3 3
n
Calculer QP et en déduire A en fonction de n .
b) Exprimer U n en fonction de n , puis étudier la convergence de la suite ( U n ) .
(
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(
)
( )