Transcript Diapositive 1

Enseignement de spécialité en Terminale S à compter
de la rentrée 2012
Académie de Créteil
Extraits du nouveau programme :
Introduction de « Matrices et suites »
 « Il s’agit d’étudier des exemples de
processus discrets, déterministes ou
stochastiques, à l’aide de suites ou de
matrices. On introduit le calcul matriciel
sur des matrices d'ordre 2. Les calculs sur
des matrices d'ordre 3 ou plus sont
essentiellement effectués à l'aide d'une
calculatrice ou d'un logiciel ».
Extraits du nouveau programme
Perspective de la présentation
 Une entrée spécifique par la résolution de
problèmes : les matrices comme outil, une
liste d’exemples phares dans le libellé du
programme (liste non exhaustive).
 Phénomènes stochastiques et marches
aléatoires sur un graphe probabiliste : des
ressorts communs et des variantes.
Un exemple contextualisé
 Une petite station de ski dispose de 3 remontées
mécaniques (1), (2) et (3).
 Pour un skieur adoptant un comportement aléatoire,
on note Xn la variable aléatoire donnant le numéro de
la remontée utilisée après n descentes.
 On note Ln la matrice ligne représentant la loi de Xn :
Ln = (P(Xn = 1), P(Xn = 2), P(Xn = 3))
 Ln est appelé l’état probabiliste à l’instant n.
Données numériques
 On suppose que la station est configurée de telle sorte
qu’arrivé au sommet de la remontée (1), le skieur se
rende ensuite au départ de la remontée (2) avec une
probabilité 𝑝12 = P(X = 1) (Xn+1 = 2) = 0,3
n
 Plus généralement, on donne 𝑝𝑖𝑗 = P(X = i) (Xn+1 = j)
n
Arbre de probabilités conditionnelles
Graphe probabiliste
 La transition de n à n+1 (indépendante de n) peut se
visualiser sur un graphe probabiliste.
 La somme des poids des arêtes orientées issues de
chaque sommet est égale à 1.
Matrice de transition
 A partir de l’arbre :
- On note x1, x2, x3 les probabilités respectives que le
skieur emprunte la remontée (1), (2), (3) à l’issue de
sa nième descente.
- On note y1, y2, y3 les probabilités pour qu’il se dirige
vers la remontée (1), (2), (3) après la descente
suivante.
- On a alors : y1 = 0.3 x1 + 0.4 x2 + 0.5 x3
… Et les deux autres relations analogues.
Matrice de transition
 Ces relations se traduisent matriciellement par :
Ln+1 = Ln . T
Où la matrice T =
se lit directement sur le tableau :
Interprétation de T2
 Puisque
Ln+2 = Ln . T2
les coefficients de T2 s’interprètent comme les
probabilités de passer d’une remontée à une
autre en 2 descentes.
 De même pour Tk .
Etat probabiliste après n descentes
 Il est alors facile de montrer par récurrence que :
Ln = L0 .
n
T
 (L0 représente les probabilités de se diriger vers les
remontées (1) , (2) et (3) en début de séjour).
Calculs de Tn sur logiciel
 Sur tableur : Ski T puissance n.xlsx
[Syntaxe : PRODUITMAT(plage;plage) puis sélectionner
plage de réponse, puis f2, puis ctrl+maj+entrée].
 Avec Xcas, en mode calcul approché, on observe une
stabilisation à partir de n=15 environ sur la matrice :
Une CS de convergence de Tn
 Une condition suffisante pour que (Tn)
converge : On peut démontrer que, dans le
cas des matrices stochastiques,
si T (ou une puissance de T) a tous ses
coefficients non nuls, alors (Tn) converge vers
une matrice stochastique T∞ dont toutes les
lignes sont égales entre elles [et égales à un
état stable de T (état alors unique)].
Convergence de (Ln)
 En admettant la convergence de (Tn ) vers une
matrice dont toutes les lignes sont égales entre
elles :
- Par passage à la limite dans Ln = L0 . Tn , (Ln)
converge vers L∞ .
- Par passage à la limite dans Ln+1 = Ln . T , L∞ est
stable pour T (autrement dit, L∞ est un vecteur
propre associé à la valeur propre 1).
- On peut montrer que, dans ce cas, L∞ ne
dépend pas de L0.
Convergence de Ln
 Dans notre exemple, valeur exacte de l’état
stable, et donc de l’état probabiliste limite :
24
(
61
20 17
61 61
Ici, on peut constater que : V =
) est
stable pour T et que les valeurs approchées de
ces fractions correspondent aux lignes de T∞ :
 (On verra comment trouver la valeur exacte de V…).
L’essence de la démarche
 (Xn) suite de VA dont on peut suivre l’évolution sur :
- Une tranche d’arbre de probabilités conditionnelles :
P(X = i) (Xn+1 = j) est indépendante de n.
n
- Un graphe probabiliste exprimant la transition entre
les différents états probabilistes :
Ln = (P(Xn = 0), P(Xn = 1), ….. , P(Xn = N)) (taille N+1)
- Une matrice de transition T stochastique
indépendante de n, avec : Ln+1 = Ln . T
 Par récurrence : Ln = L0 . Tn
L’essence de la démarche
Etude asymptotique
 Rappel : une CS pour que (Tn) converge.
- Avec la CS : pas de zéro (qui exige en particulier que la
probabilité de stationner sur un sommet du graphe soit
non nulle), on a la convergence vers une matrice aux
lignes égales entre elles.
- Une condition suffisante moins restrictive : matrice
« régulière » : il existe une puissance de T dont tous les
coefficients sont non nuls.
 Et s’il n’y a pas convergence ? Rôle des états stables.
Cas où (Tn) converge
 L∞ . T = L∞ signifie que L∞ est vecteur propre de T
associé à la valeur propre 1. Si l’espace propre est de
dim 1, L∞ est l’unique vecteur propre stochastique.
 Pour déterminer L∞ , on cherche donc à résoudre
l’équation V . T = V , soit V . (T – Id) = 0.
 Autrement dit , on s’intéresse au noyau de la
transposée de (T – Id) en gardant en tête que l’on
cherche des vecteurs stochastiques.
 Note : le document ressource évoque la diagonalisation
éventuelle des matrices d’ordre 2.
Des cas où (Tn) ne converge pas
 La condition suffisante de convergence
de (Tn) portant sur l’absence de 0 ne se
rencontre pas très souvent dans la
pratique mais nous allons voir que
même l’absence de convergence de (Tn)
n’empêche pas d’explorer le
comportement asymptotique de (Ln).
Des cas où (Tn) ne converge pas
 Dans ce cas :
- L’existence d’un état stable reste
possible, ce qui autorise la convergence
occasionnelle de (Ln), c’est-à-dire pour
certaines valeurs de L0.
- On peut rencontrer des cas de
convergence de suites extraites de (Tn).
Multiples applications de la démarche
Les marches aléatoires sur un graphe probabiliste
peuvent être déclinées dans une multitude de contextes :
 Marche aléatoire dans un labyrinthe
 Surf aléatoire sur un mini-réseau intranet
 Le problème du collectionneur
 Le modèle des urnes d’Ehrenfest
…
La situation
Les hypothèses
 Un cochon d’inde est lâché dans le labyrinthe.
 Il se déplace en changeant de compartiment et,
pour un déplacement donné, on note n le nombre
de franchissements de porte qu’il a effectué depuis
son point de départ.
 Pour changer de compartiment, on considère que
le cobaye choisit sa porte au hasard parmi celles
qui lui sont accessibles, indépendamment de son
parcours antérieur.
Traduction sur un graphe
Traduction matricielle
 De nombreux zéros …
Calcul de puissances de T
 Avec Xcas :
Calcul de puissances de T
 En mode approché pour n grand :
Ici (Tn) ne converge pas, mais …
 Si on pose :
L0 = (0.1 0.3 0.2 0.2 0.2)
On a : L0 . T = L0 , autrement dit L0 est stable
et la suite (Ln) constante pour ce L0.
 Ici, L0 est obtenu en cherchant un état tel
que la probabilité de présence est
proportionnelle au nombre de porte(s) de
chaque case.
Un mini réseau intranet
 Surf aléatoire sur un micro-réseau… de 4 pages.
 Ranger intuitivement ces 4 pages par ordre décroissant
de fréquentation…
Graphe probabiliste et matrice
de transition associée
 On pondère les arrêtes orientées en supposant
l’équiprobabilité de choix des liens présents sur chaque
page.
 On obtient comme matrice de transition :
Ici, (Tn) converge, malgré les 0
 En calcul approché avec Xcas, on obtient une
stabilisation sur :
Recherche de l’état limite
 (Tn) convergeant vers une matrice ligne dont
toutes les lignes sont égales, on peut
démontrer qu’il existe un unique état stable,
qui donnera donc l’état limite.
 Il est tentant de tester le vecteur :
L=(0
1
3
2
9
4
9
).
 On vérifie que L . T = L.
Interprétation
 La page 4 est donc plus fréquentée que la
page 2 par notre surfeur aléatoire.
 Ce modèle fournit une quantification
possible de la pertinence de chacune des
pages web du réseau.
(Il est aisé de comprendre que cette
pertinence ne peut pas être mesurée par le
nombre de liens pointant vers chaque page).
Cas du surf « avec saut »
 Pour pallier la déshérence de la page 1, on va
maintenant autoriser notre surfeur aléatoire
à interrompre à n’importe quel moment sa
navigation précédente pour la reprendre sur
une page aléatoirement choisie.
(On intercale une épreuve de Bernoulli à chaque étape).
 Avec saut, on se ramène à l’étude d’une
récurrence matricielle du type :
Un+1 = Un . A + B
Collection des figurines d’une
équipe de Volley-Ball
 Une marque de céréales propose à ses clients de
constituer une collection de figurines de l’équipe
nationale Volley-Ball. La collection complète
consiste en 6 figurines à l’effigie de chaque
titulaire de l’équipe.
 On a mis en place une stratégie pour éviter tout
échange de figurines.
 On souhaite déterminer le nombre d’achats moyen
de produits à effectuer pour espérer constituer une
collection complète.
Ici, on cherche une espérance
 On se ramène à une marche aléatoire sur un graphe
probabiliste à 7 états (nombre de figurines différentes
déjà obtenues après n achats) du type :
 La matrice de transition (7 × 7) est triangulaire.
 On s’intéresse ensuite au premier instant où on obtient
un nouvelle figurine.
 On calcule enfin l’espérance de compléter la collection.
La situation à n = 0
Objectifs de modélisation
 Le modèle à construire demande de
respecter les propriétés suivantes :
- la probabilité pour une particule donnée de
passer de A à B (ou de B à A) est la même,
égale à 1/N .
- cette probabilité ne dépend pas du temps.
- le comportement d’une particule est
indépendant de celui des autres particules.
Modèle stochastique
 On considère deux urnes A et B, ainsi que N
boules, numérotées de 1 à N.
 Initialement, toutes les boules se trouvent dans
l'urne A. Le processus stochastique associé
consiste à répéter de façon indépendante
l'opération suivante :
Tirer au hasard un numéro i compris entre 1 et N,
transférer la boule n°i dans l'urne où elle n'était pas.
 La VAR observée est Xn, effectif de l’urne A.
Une simulation pour N = 10
Un autre résultat pour N = 10
12
10
8
6
Series1
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Début d’étude pour N = 3
 Graphe probabiliste : les probabilités figurant sur les
flèches représentent les probabilités conditionnelles
de passage d’une valeur de X à une autre
(indépendamment de n).
Sur un arbre pour N = 3
(avec les probabilités conditionnelles précédentes)
Loi de chaque Xn pour N = 3
 Pour tout n, on note Ln l’état probabiliste :
Ln = (P(Xn = 0), P(Xn = 1), P(Xn = 2), P(Xn = 3))
 On note tij = P(Xn+1 = j | Xn = i) indépendante de n.
 Ces relations se traduisent par : Ln+1 = Ln . T
Où T est la matrice de transition : T =
 Par récurrence, Ln = L0 . Tn
 La suite (Ln) ne dépend que de T et de l’état initial L0
Rôle de la parité
 Ici, (Tn) ne converge pas.
 Cas N = 2
Rôle de la parité
 Pour N = 2, on a :
- pour tout k impair, Lk = (0
1 0)
- pour tout k pair différent de 0, Lk+1 = (0,5 0 0,5)
(Deux suites extraites constantes distinctes)
 L’impact de la parité de k n’est pas lié à la parité de N.
Dans le cas N = 3, on voyait bien sur l’arbre que :
- P(Xk = 0) = P(Xk = 2) = 0 pour k pair
- P(Xk = 1) = P(Xk = 3) = 0 pour k impair
Cas N = 6 avec le logiciel Xcas
 Même pour N petit, il n’est pas raisonnable d’effectuer
les calculs à la main dès que n grandit.
 Aisé : L0 = (0 0 0 0 0 0 1)
L1 = (0 0 0 0 0 1 0)
L2 = (0 0 0 0 5/6 0 1/6)
L3 = (0 0 0 25/36 0 11/36 0)
 Mais pour de plus grandes valeurs de n, Xcas donne :
(Xcas fournit les valeurs exactes).
Première exploration asymptotique
 Matrice utile B = T2
 Suite des Bk = T2k
L2k = L0 . Bk ; L2k+1 = L0 . T . Bk
 En mode calcul approché, Bk
semble se stabiliser vers Binf :
B=
Première exploration asymptotique
 On admet que (Bn) converge vers Binf.

= L0 . Binf

= L0 . T . Binf
 B . Binf = B donc Z stable pour B
 T . Binf est la matrice obtenue en décalant les lignes de
Binf ; U est stable pour T . Binf
 On passe à la limite dans L2k = L0 . Bk et on obtient la
convergence de L2k vers Z. De même L2k+1 CV vers U.