Transcript CC3 et son corrigé.

´ Paris 6 Pierre et Marie Curie
Universite
´s
LM390 - Probabilite
2013–2014
Interrogation no 3 – 7 avril 2014 (dur´
ee 1h45)
Des points sont pr´evus pour ´evaluer la qualit´e de la r´edaction.
Questions de cours. pour aller `
a la ligne
Enoncer en donnant les hypoth`eses pr´ecises :
1) le lemme de Borel-Cantelli.
2) la loi forte des grands nombres.
3) le th´eor`eme central limite.
Exercice 1. pour aller `
a la ligne
1) Red´emontrer que la convergence presque sˆ
ure entraine la convergence en probabilit´e.
2) Red´emontrer `
a l’aide des fonctions caract´eristiques que la convergence en probabilit´e entraine la
convergence en loi. Indication : on pourra montrer que pour tout > 0 on a |E[eitXn ] − E[eitX ]| ≤
2P(|Xn − X| > ) + E[|eit(Xn −X) − 1|1|Xn −X|≤ ] .
3) Donner un exemple d’une suite de v.a qui converge en probabilit´e mais pas presque-sˆ
urement (il
faudra montrer la convergence et la non-convergence). Indication : on pourra penser `
a des v.a Xn
qui valent 0 ou 1.
4) Donner un exemple d’une suite de v.a qui converge en loi mais pas en probabilit´e (il faudra montrer
la convergence et la non-convergence) Indication : on pourra penser `
a des v.a Xn de la forme
(−1)n X.
Solution :
1)On a limn P({|Xn − X| > }) ≤ limn P(∪k≥n { |Xk − X| > }) = P(lim supn { |Xn − X| > ) = 0
lorsque(Xn )n converge presque sˆ
urement vers X.
2) |E[eitXn ]−E[eitX ]| = |E(eitX (eit(Xn −X) −1))| ≤ E|eit(Xn −X) −1| = E |eit(Xn −X) − 1|1|Xn −X|≤ +
E |eit(Xn −X) − 1|1|Xn −X|> ≤ E |eit(Xn −X) − 1|1|Xn −X|≤ + 2P(|Xn − X| > ). Puisque la fonction
u 7→ eitu −1 est |t|-Lipschitzienne on a |eitu −1| ≤ |tu|. Ainsi |E[eitXn ]−E[eitX ]| ≤ |t|+2P(|Xn −X| > )
et en prenant la limsup en n puis en faisant tendre vers 0 on obtient bien le r´esultat.
3) On prend (Xn ) une suite i.i.d telle que P(Xn = 0) = 1 − 1/n et P(Xn = 1) = 1/n. On a bien pour
0 < < 1 que P(|Xn | > ) = P(Xn = 1) = 1/n donc il y a convergence en proba. Cependant la s´erie
ΣP(|Xn | > ) est divergente et par Borel-Cantelli (qui utilise l’ind´ependance) on a P(lim supn {|Xn | >
}) = 1 et donc P(lim inf n {|Xn | ≤ }) = 0 : (Xn ) ne converge pas vers 0 p.s.
4) Soit X une variable non nulle telle que la densit´e est paire. On a donc en posant Xn = (−1)n X
que pour tout n, Xn `
a mˆeme loi que X et converge donc en loi vers X. De plus, si (Xn ) converge en
proba alors n´ecessairement, on aurait pour tout > 0 que P(|Xn − Xn+1 | > ) convergerait vers 0 lorsque
n tend vers +∞. Ceci est impossible puisque X est non nulle et que |Xn − Xn+1 | = 2|X|.
Exercice 2. pour aller `
a la ligne
Soit X une variable al´eatoire r´eelle non constante de carr´e int´egrable telle qu’il existe une suite de
v.a (Xn )n≥1 ind´ependantes et identiquement distribu´ees et de mˆeme loi que X v´erifiant :
∀n ≥ 1, ∃αn > 0, βn ∈ R,
loi
X1 + · · · + Xn = αn X + βn .
1
1) Montrer (en calculant une variance) que n´ecessairement αn =
de l’esp´erance de X.
√
n et donner βn en fonction de n et
2) Montrer `
a l’aide d’un th´eor`eme (central) du cours que la loi de X est une gaussienne.
Solution :
1) on a V(X1 +· · ·+Xn ) = V(αn X +βn ) c’est a
` dire, puisque les Xi sont ind´ependants et de mˆeme√loi
que X : nV(X) = αn2 V(X). Puisque X est non constante
on a V(X) 6= 0 et donc αn2 = n soit αn = n.
√
En prenant l’esp´erance on obtient βn = nE(X) − nE(X).
√ P n Xi
2) Puisque les (Xi ) sont i.i.d et de carr´e int´egrable on peut appliquer le TCL : n( i=1
− E(X))
n
converge
en
loi
ver
une
gaussienne
centr´
e
e
de
variance
V(X).
Or
par
la
question
pr´
e
c´
e
dente
on
a que
√ Pni=1 Xi
loi
n( n
− E(X)) = X − E(X)... qui converge en loi vers X − E(X). Ainsi X = N (E(X), V(X)).
2
Exercice 3. pour aller `
a la ligne
Soit (Xn )n≥1 une suite de v.a qui converge en loi vers une variable r´eelle X. On suppose en outre
que supn≥1 E[(Xn )2 ] < +∞. C’est `
a dire qu’il existe une constante C > 0 telle que
∀n ≥ 1,
E[(Xn )2 ] ≤ C.
Le but de l’exercice est de montrer que E[Xn ] converge vers E[X].
1) Pour n ≥ 1 on consid`ere des v.a Yn telles que Yn = 0 avec probabilit´e 1 − 1/n et Yn = n avec
probabilit´e 1/n. Montrer que Yn converge en loi vers une variable Y que l’on pr´ecisera. A-t-on que
E[Yn ] converge vers E[Y ] ? Que vaut supn≥1 E[(Yn )2 ] ?
2) Pour K > 0 et x ∈ R on pose fK (x) := x2 1|x|≤K + K 2 1|x|>K . Faire un dessin du graphe de fK .
Justifier alors en une phrase que
E[fK (Xn )] −→ E[fK (X)].
n→+∞
3) Montrer d’autre part que pour tout n ≥ 1 et pour tout K > 0 on a E[fK (Xn )] ≤ C.
4) D´eduire des deux questions pr´ec´edentes que E[X 2 ] ≤ 2C. Pourquoi est-ce que E[X] existe bien ?
5) On pose maintenant gk (x) := x1|x|≤K + K1x>K − K1x<−K . Faire un dessin du graphe de gk et
justifier que
E[gK (Xn )] −→ E[gK (X)].
n→+∞
puis en d´eduire que |E(Xn ) − E(gK (Xn ))| ≤ 2C
6) Montrer que E[|Xn |1|Xn |>K ] ≤
K . Montrer, en
utilisant la question 4), que de la mˆeme mani`ere on obtient |E(X) − E(gK (X))| ≤ 2C
K .
C
K
7) D´eduire des questions 5) et 6) que E(Xn ) converge vers E(X).
Solution : 1) Pour tout fonction f continue born´ee E(f (Yn )) = (1 − 1/n)f (0) + 1/nf (n) qui converge
vers f (0) quand n tend vers ∞. Donc il y a bien convergence en loi vers 0. Mais E(Yn ) = 1 et ne converge
pas vers 0. De plus E(Yn2 ) = n et le sup vaut +∞.
2) La fonction fK est continue born´ee d’o`
u le r´esultat.
3) On a fK (x) ≤ x2 donc E(fK (Xn )) ≤ E(Xn2 ) ≤ C.
4) Par la question 2, en faisant tendre n vers +∞ on obtient E(fK (X)) ≤ C. Par convergence
monotone on obtient en prenant√la limite lorsque C converge vers ∞ : E(X 2 ) ≤ C. Ainsi par CauchySchwartz E(|Xk) ≤ E(X 2 )1/2 ≤ C < +∞ et donc E(X) existe.
5) gK est continue et born´ee d’o`
u le r´esultat.
6) Par Cauchy-Schwartz E[|Xn |1|Xn |>K ] ≤ E(Xn2 )1/2 P(|Xn | > K)1/2 puis par Markov ≤ E(Xn2 )/K ≤
C/K. Ainsi puisque |x−gK (x)| ≤ |x|1|x|>K +K1|x|>K on obtient |E(Xn )−E(gK (Xn ))| ≤ E[|Xn |1|Xn |>K ]+
KP(|Xn | > K). En utilsant Markov encore une fois on obtient bien le r´esultat. On a la mˆeme estim´ee
avec X en reprenant les mˆemes calculs et en utilisant E(X 2 ) ≤ C (question 4).
7) On a |E(Xn )−E(X)| ≤ vertE(Xn )−E(gK (Xn ))|+|E(gK (Xn ))−E(gK (X))|+|E(X)−E(gK (X))| ≤
4C/K + |E(gK (Xn )) − E(gK (X))| En prenant la lim supn puis en faisant tendre C vers +∞ on obtient
bien le r´esultat.
Exercice 4 (Bonus). Soit (Xn )n une suite de variable al´eatoires ind´ependantes et identiquement dis2
tribu´
Pn ees telle que leur loi1 commune admette un moment d’ordre 2 (i.e E[X1 ] < +∞). On pose Sn :=
√
(Sn − nE[X1 ]) converge en probabilit´e si et seulement si les Xn sont p.s
i=1 Xi . Montrer que
n
constantes.
Solution : Si les Xn sont constantes √1n (Sn − nE[X1 ]) est nul et il y a convergence en proba (mˆeme
p.s). R´eciproquement si il y a convergence en proba de √1n (Sn − nE[X1 ]) on peut extraire une sous-suite
qui converge presque sˆ
urement. Or cette limite est dans la tribu asymptotique des Xn et donc par la loi
du 0-1, elle est constante. Or par le TCL (c’est i.i.d + dans L2 ) sa loi est une gaussienne centr´ee de
variance V(X1 ). Cela implique que V(X1 ) est nulle c’est-`
a dire que les Xi sont constantes.
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