Transcript SPE MP ······ 2014-2015 PROGRAMME DE COLLE 7 ...... Familles

SPE MP · · · · · · 2014-2015
PROGRAMME DE COLLE 7
...... Familles sommables IR et C
l voir poly. `
a la fin
Ensemble d´enombrables ( s’il est en bijection avec IN).
Les parties infinies de IN sont d´enombrables.
Un ensemble est fini ou d´enombrable si et seulement s’il est en bijection avec une partie de IN.
Un produit cart´esien fini d’ensembles d´enombrables est d´enombrable. Une r´eunion finie d’ensembles
finis ou d´enombrables est finie ou d´enombrable. Les ensembles IN , ZZ , Q
l sont d´enombrables. Les
ensembles IR et P(IN) ne sont pas d´enombrables.
Familles sommables de IR+ , de IR et C.
l Somme d’une famille sommable
Th´eor`eme de sommation par paquets dans IR+ et dans IR et C
l : D´emonstration hors programme.
Invariance de la sommabilit´e et de la valeur de la somme par permutation de l’ensemble des indices
Lien avec l’absolue convergence des s´eries.
S´
eries doubles (2 th`
eor`
emes (+d`
em.) lorsque up,q > 0 et up,q ∈ C
l : formule de Fubini)
...... Espaces vectoriels : R´
evision de sup.....
EV - SEV -lK-alg`ebre.
Notion de combinaisons lin´eaires d’une famille finie
Application lin´eaire
L(E, E 0 ) est un K-ev avec + et · et L(E) est une K-alg`ebre avec + et ◦ et ·
Groupe lin´eaire : f est bijective SSI f est inversible dans l’anneau L(E)
SEV - SEV engendr´e - Somme de 2 SEV - Somme directe - suppl´ementaire
Noyau Image structure (Sous-espace affine) de l’ensemble des x tels que f (x) = b.
Projecteurs - sym´etrie
Caract´erisation : Si f ∈ L(E) alors f est un projecteur SSI f ◦ f = f .
Famille de projecteurs associ´ee `a une d´ecomposition E = ⊕pi=1 Ei
Familles libres/g´en´eratrices/bases.
Cas des familles libres de fonctions (exemple : (fa )a∈IR est libre avec fa (x) = |x − a|)
Famille et application lin´eaire : crit`ere d’isomorphisme
Th´eor`eme fondamental : D´efinition d’une application lin´eaire a` partir d’une base
ESPACES VECTORIELS avec notion de dimension : )
Espace de dimensionfinie, de dimensioninfinie.
Th´eor`eme de la base incompl`ete- dimension - caract´erisation des bases.
Th`eor`eme (d´emonstration non faite) : Toutes les bases ont mˆeme cardinal.
Tout sur le calcul du rang d’une famille de vecteurs : pivot de Gauss.
Dimensions des SEV - Dimension de F ⊕ G Dimensions (et base adapt´ee) des Sommes directes de p
SEV
Th´eor`eme des 4 dimensions : dim (F + G) =dimF +dim G−dimF ∩ G.
Dimension (et base) d’un produits finis de K-ev de dimensionfinie.
Th´eor`eme fondamental : Si B = (e1 , ..., en ) est un base de E et si
(v1 , ..., vn ) ∈ (E 0 )n alors il existe une unique application lin´eaire f tel que pour
tout i f (ei ) = vi .
Th´eor`eme du rang. Cons´equences
Pr´
evisions : Matrices et d´eterminants
FAMILLES SOMMABLES
Exemple introductif (de s´erie non commutativement convergente)
!
X (−1)n+1
. On a
On consid`ere la s´erie harmonique altern´ee
n
n>1
+∞
X
(−1)n+1
n=1
n
= ln 2.
1 1 1
(−1)n+1
+ − + ··· +
+ ···.
2 3 4 P
n
On consid`ere alors la s´erie ( vn ) obtenue a` partir de celle-ci en permutant les termes comme suit :
1 1 1
1
1
1
1 1
− ) + ···.
(1 − − ) + ( − − ) + ( −
2 4
3 6 8
5 10 12

1

v3n+1 =



2n + 1

(−1)n+1
1
Autrement dit
, avec un =
, on a donc vn = uσ(n) , pour tout n ∈ IN∗
v3n+2 = −

n
4n + 2



 v3n+3 = − 1
4n + 4
o`
u

 σ(3n + 1) = 2n + 1
∗
∗
σ(3n + 2) = 4n + 2 .
σ : IN −→ IN est bijective, donn´ee par :

σ(3n + 3) = 4n + 4
P
Etudions maintenant ( vn ) !
On
lorsque n tend vers l’infini, la s´erie
P fait des paquets de 3 termes cons´ecutifs. Vu que vn −→ 0,P
( vn )n>1 est de mˆeme nature et de mˆeme somme que la s´erie ( wn )n>0 avec wn = v3n+1 + v3n+2 +
v3n+3 . Or si n ∈ IN :
1
1
1
1
1
1
v3n+1 + v3n+2 + v3n+3 =
−
−
=
−
∼ 2.
2n + 1 4n + 2 4n + 4 P2(2n + 1) 2(2n + 2)
8n
Cette s´erie est donc abslolument convergente, d’o`
u ( vn )n>1 converge aussi, et :
+∞
+∞
+∞ X
X
1
1
1X
1
1
1
1
1 1
vn =
−
=
−
=
(1 − ) + ( − ) + · · · =
2(2n
+
1)
2(2n
+
2)
2
2n
+
1
2n
+
2
2
2
3 4
n=1
n=0
n=0
ln 2
.
2
La somme a donc chang´ee ! !
Remarque : C’est un fait syst´ematique pour les s´eries semi-convergentes ! On peut mˆeme montrer
P
beaucoup plus fort ! si ( un ) est semi-convergente et si x ∈ IR quelconque, alors il existe une
+∞
X
P
permutation σ de IN telle que ( uσ(n) ) converge et
uσ(n) = x !
Ainsi ln 2 = 1 −
n=0
On verra que pour les s´eries absolument convergentes et en particulier pour les s´eries a` termes positifs,
convergentes, ce ph´enom`ene ne se produira jamais !
VI FAMILLE SOMMABLE DE REELS POSITIFS
1˚) D´
efinition
Soit I un ensemble d´enombrable et (ai )i∈I une famille d’´el´ements de IR+ .
On dit que la(famille (ai )i∈I est sommable
) lorsque
X
X
ai = sup
ai , J f ini et J ⊂ I est r´eel (c’est-`a-dire diff´erent de +∞)
i∈I
i∈J
Proposition (caract´
erisation)
Soit (ai )i∈I une famille d’´el´ements de IR+ .
1) On a :
la famille
( (ai )i∈I est sommable )
X
⇐⇒
ai , J f ini et J ⊂ I est major´e (dans IR+ )
i∈J
X
⇐⇒ ∃M ∈ IR+ tel que ∀J ⊂ I , J fini ,
ai 6 M
i∈J
(
)
X
X
ai = sup
ai , J f ini et J ⊂ I est r´eel (c’est-`a-dire diff´erent de +∞)
i∈I
i∈J
2) Soit (In )n∈IN une suite croissante (pour l’inclusion) de parties
X finies de I dont l’union fait I.
Alors la famille (ai )i∈I est sommable ⇐⇒ la suite croissante (
ai ) est convergente (dans IR+ )
i∈In
Proposition
Soit (ai )i∈I et (bi )i∈I deux familles d’´el´ements de IR+ , λ ∈ IR+ et I 0 ⊂ I.
1) On suppose que (ai )i∈I et (bi )i∈I sont sommables.
Alors (ai X
+ bi )i∈I ,(λai )i∈I
sommablesX
i∈I 0 sont
Xet (ai )X
X
X
X
et l’on a
(ai + bi ) =
ai +
bi ,
λai = λ
ai et
ai 6
ai
i∈I
i∈I
i∈I
i∈I
i∈I
i∈I 0
i∈I 0
X
X
bi
ai 6
2) Si ∀i ∈ I, ai 6 bi , alors on a (bi )i∈I sommable =⇒ (ai )i∈I est sommable et l’on a
i∈I
i∈I
a
3) On suppose que (Ik )k∈IN une famille de parties de I telle que I =
Ik (partition de IN)
k∈
IN
X
Alors (ai )i∈I est sommable ⇐⇒ ∀k ∈ IN est (ai )i∈Ik est sommable et (
ai )k∈IN est sommable.
i∈Ik
!
X X
X
ai
ai =
On a alors dans ce cas
i∈I
k∈IN i∈Ik
Exemple Soit (
converge.
Corollaire
P
P
un ) une s´erie a` termes positifs. Alors (un )n∈IN est sommable ⇐⇒ la s´erie ( un )
Soit (un,p )(n,p)∈IN2 une suite double de r´eels positifs.




X
X X
X X


On a dans IR+ l’´egalit´e
un,p =
un,p  =
un,p .
2
n∈IN
p∈IN
p∈IN
n∈IN
(n,p)∈IN
On en d´eduit l’´equivalence entre :
i) (un,p )(n,p)∈IN2 est sommable
+∞
X
X X
ii) ∀n ∈ IN, la s´erie
un,p
σn
converge et la s´erie
converge avec σn =
un,p
p∈IN
n∈IN
p=0
+∞
X
X X
iii) ∀p ∈ IN, la s´erie
un,p
converge et la s´erie
τp
converge avec τp =
un,p .
n∈IN
p∈IN
n=0
! +∞ +∞
!
+∞
+∞
X
X
X X
Et si c’est le cas :
un,p =
un,p
n=0
p=0
p=0
n=0
Exemple
P
P
Soit ( an ) et ( bn ) deux s´eries `a termes positifs convergentes. Alors (an bp )(n,p)∈IN2 est sommable
et l’on a
X
an b p =
+∞
X
2
n=0
(n,p)∈IN
!
an
·
+∞
X
!
bp
p=0
III FAMILLE SOMMABLE DE REELS OU DE COMPLEXES
D´
efinition
Soit I un ensemble d´enombrable et (ai )i∈I une famille d’´el´ements de IR ou C.
l
On dit que la familleX
(ai )i∈I est sommable lorsque la famille (|ai |)i∈I est sommable
C’est-`a-dire lorsque
|ai | < +∞
i∈I
D´
efinition : partie positive et n´
egative
−
Soit (ai )i∈I une famille d’´el´ements de IR, on d´efinit les deux suites (a+
i )i∈I et (ai )i∈I par
ai si ai > 0
−ai = |ai | si ai 6 0
a+
et a−
i =
i =
0 sinon
0 sinon
D´
efinition-Proposition (somme d’une famille sommable)
i) Soit I un ensemble d´enombrable et (ai )i∈I une famille d’´el´ements de IR.
−
Si la famille (ai )i∈I est sommable alors (a+
i )i∈I et (a
i )i∈I sont
X
Xaussi sommables.
X
On d´efinit alors la somme de la famille (ai )i∈I par
ai =
a+
−
a−
i
i
i∈I
i∈I
i∈I
ii) Soit I un ensemble d´enombrable et (ai )i∈I une famille d’´el´ements de C.
l
Si la famille (ai )i∈I est sommable alors (Re(ai ))i∈I X
et (Im(aX
sommables.
i ))i∈I sont aussiX
On d´efinit alors la somme de la famille (ai )i∈I par
ai =
Re(ai ) + i
Im(ai )
i∈I
i∈I
i∈I
Remarque : Soit I un ensemble d´enombrable et (ai )i∈I une famille sommable de C.
l
Soit I 0 ⊂ I, alors (ai )i∈I 0 est sommable.
Proposition
Soit I un ensemble d´enombrable et (ai )i∈I une famille sommable de C.
l
[
Soit (In )n∈IN une suite croissante (pour l’inclusion) de parties finies de I dont l’union fait I (I =
In ).
n∈IN
!
X
X
Alors
ai = lim
ai
i∈I
n→+∞
i∈In
Nota Bene :
Attention ! R´eciproque fausse : on ne caract´erise pas la sommabilit´e par l’existence de cette limite.
Corollaire
L’ensemble des familles sommables de lK (lK = IR ou C)
l est un lK-espace vectoriel (sev de lKI ).
De plus l’application qui `a une famille sommable associ´e sa somme est une forme lin´eaire.
Exercice :
L’espace vectoriel des familles sommables est engendr´e par les familles sommables positives.
Th´
eor`
eme (de sommation par paquets)
Soit I un ensemble d´enombrable et (ai )i∈I une famille sommable de C.
l
a
Soit (Ik )k∈K une famille de parties de I avec K d´enombrable telle que I =
Ik
k∈K
Alors :
!
(ai )i∈I est sommable ⇐⇒ ∀k ∈ K, (ai )i∈Ik est sommable et
X
i∈Ik
!
Et dans ce cas :
X
ai =
i∈I
X X
k∈K
|ai |
est sommable.
k∈K
ai
i∈Ik
Th´
eor`
eme (changement d’indexation) :
Soit I un ensemble d´enombrable et (ai )i∈I une famille d’´el´ements de IR+ .
Soit σ : J −→ I bijective.
Alors la famille (ai )X
⇐⇒ la famille (aσ(j) )j∈J est sommable.
i∈I est sommable
X
Dans ce cas on a :
ai =
aσ(j) (changement d’indice i = σ(j) ou j = σ −1 (i) )
i∈I
j∈J
Exemples fondamentaux
P
a) Soit (un )n∈IN . Alors (un )n∈IN est sommable ⇐⇒ la s´erie ( un ) est absolument convergente.
+∞
X
X
un .
un =
Si c’est le cas, on a alors :
n=0
n∈IN
On en d´eduit
le
fait
important
suivant
(voir la remarque
P
P introductive) : Si σ est une permutation de
IN, alors ( un ) est absolument convergente ⇐⇒ ( uσ(n) ) est absolument convergente.
+∞
+∞
X
X
Si c’est le cas, on a alors :
un =
uσ(n) .
n=0
n=0
Soit (un,p )(n,p)∈IN2 une suite double de complexes.




X
X X
X X


un,p =
un,p  =
un,p .
On a dans IR+ l’´egalit´e
2
n∈IN
p∈IN
p∈IN
n∈IN
(n,p)∈IN
On en d´eduit l’´equivalence entre :
i) (un,p )(n,p)∈IN2 est sommable
X
X ii) ∀n ∈ IN, la s´erie
un,p
converge absolument et la s´erie
σn0
converge,
p∈IN
n∈IN
+∞
X
b)
avec σn0 =
|un,p |
p=0
X
X iii) ∀p ∈ IN, la s´erie
un,p
converge absolument et la s´erie
τp0
converge,
n∈IN
p∈IN
avec
τp0
=
+∞
X
|un,p |.
n=0
Et si c’est le cas :
+∞
+∞
X
X
n=0
p=0
!
un,p
=
+∞
+∞
X
X
p=0
n=0
!
un,p