Transcript D.M. MP Lycée Michelet 2014/2015

D.M.
MP
Lyc´
ee Michelet 2014/2015
***
Notations :
La suite complexe de terme g´en´eral αn est not´ee (αn )n∈N , ou (αn ) ou plus simplement α.
X
X
un ou
un , ou plus simplement s´erie u.
La s´erie complexe de terme g´en´eral un , pourra ˆetre not´ee
n∈N
L’ensemble de ces s´eries est un C-espace vectoriel not´e S. Le sous-espace vectoriel de S, form´e des s´eries dont
le terme g´en´eral tend vers 0 en +∞, est not´e S0 . Le sous-espace vectoriel de S, form´e des s´eries convergentes,
est not´e SC . Le sous-espace vectoriel de S, form´e des s´eries absolument convergentes, est not´e SAC .
Pour toute s´erie u de S,X
et pour tout entier naturel n, on note Un la somme partielle d’ordre n et, lorsque
u ∈ SC , on note Rn =
uk le reste d’ordre n (par convention on note R−1 = U )..
k≥n+1
D’une mani`ere g´en´erale, ´etant donn´e un C-espace vectoriel E et une norme N sur E, on note (E, N ) l’espace
vectoriel norm´e obtenu.
Partie I
Dans cette partie, on pourra ´eventuellement utiliser les s´eries σp (p ∈ N) d´efinies par :
∀n ∈ N, σp,n = δp,n , δ ´etant le symbole de kronecker.
Ainsi, pour tout entier naturel p donn´e, σp est la s´erie dont les termes sont nuls, sauf le pi`eme ´egal `a 1.
X
1. (a) Soit u =
un une s´erie convergente `a termes r´eels positifs ou nuls. Montrer qu’il existe une
X
suite α = (αn ) de r´eels positifs ou nuls, tendant vers +∞ en croissant, telle que la s´erie
αn un
soit convergente.
Indication : si les un ne sont pas tous nuls `
a partir d’un certain rang, on pourra utiliser la suite
1
(αn ) d´efinie par : ∀n ∈ N, αn = p
√ , (avec Rn = Rn (u)), ou utiliser toute autre
Rn−1 + Rn
m´ethode.
X
(b) Soit u =
un une s´erie divergente `a termes r´eels positifs ou nuls. Montrer, de fa¸con analogue,
qu’il existe une
X suite α = (αn ) de r´eels strictement positifs, tendant vers 0 en d´ecroissant, telle
que la s´erie
αn un soit divergente.
(c) Quelles sont les significations pratiques des r´esultats des questions (a) et (b) ?
2. Normes sur SAC
(a) Soit X
α = (αn ) une suite de r´eels positifs ou nuls. Montrer que la propri´
Xet´e : “Pour toute s´erie
u=
un `
a termes r´eels positifs ou nuls et convergente, la s´erie v =
αn un est convergente”
est vraie si et seulement si la suite (αn ) est major´ee.
Indication : dans le cas o`
u la suite (αn ) n’est pas major´ee, on pourra montrer l’existence d’une
application ϕ strictement croissante de N dans N, telle que : ∀n ∈ N, αϕ(n) > n + 1, ou utiliser
toute autre m´ethode.
(b) Soit α = (αn ) une suite de r´eels positifs ou nuls et major´ee.
Montrer que l’application Nα d´efinie par :
∀u =
X
un ∈ SAC , Nα (u) =
+∞
X
αk |uk | ∈ R+
k=0
est bien d´efinie.
Montrer que c’est une norme sur SAC si et seulement si la suite (αn ) est `a valeurs dans R∗+ .
(c) Soit α = (αn ) et β = (βn ) les suites d´efinies par : ∀n ∈ N, αn =
1
1
et βn = .
2n
n!
Les normes Nα et Nβ sont-elles ´equivalentes sur SAC ?
(d) On suppose que les suites α0 et β 0 permettent de d´efinir des normes (cf. 2. (b)).
Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour que les normes Nα0 et Nβ 0 , soient ´equivalentes.
3. Pour toute suite γ = (γn ) v´erifiant les conditions telles que Nγ soit une norme, on d´efinit l’application
ϕ de l’espace norm´e (SAC , Nγ ) dans l’espace norm´e (C, | |) par :
∀u =
X
un ∈ SAC , ϕ(u) = U =
+∞
X
uk ∈ C.
k=0
(a) Soit γ = α, o`
u α est la suite au 2. (c).
L’application ϕ est-elle continue ?
(b) Soit γ = δ, o`
u δ est d´efinie par : ∀n ∈ N, δn = 1.
L’application ϕ est-elle continue ?
(c) Plus g´en´eralement, soit γ = (γn ) une suite telle que Nγ soit une norme. Donner une condition
n´ecessaire et suffisante sur γ pour que l’application ϕ soit continue ?
Partie II
S´eries absolument convergentes d’ordre p
Soit ψ l’application d´efinie par :
∀u =
X
un ∈ SAC , ψ(u) =
X
Rn ∈ S0
avec : ∀n ∈ N, Rn = Rn (u), reste d’ordre n de la s´erie u.
X
Par d´efinition, on dit qu’une s´erie u =
un de SAC est absolument convergente d’ordre au moins 0.
On dit qu’elle est absolument convergente d’ordre au moins 1 si la s´erie ψ(u) est absolument convergente.
X
De proche en proche, pour tout entier p > 1, on dit que la s´erie u =
un est absolument convergente
d’ordre au moins p si elle est absolument convergente et si la s´erie ψ(u) est absolument convergente d’ordre
au moins p − 1.
X
Ainsi, si la s´erie u =
un est absolument convergente d’ordre au moins p, les s´eries u, ψ(u), . . . , ψ p (u)
sont absolument convergentes.
On dit qu’une s´erie u est absolument convergente d’ordre p si les s´eries u, ψ(u), . . . , ψ p (u) convergent et
ψ p+1 (u) n’est pas absolument convergente.
On dit qu’une s´erie est absolument convergente d’ordre infini si elle est absolument convergente d’ordre au
moins p, pour tout entier naturel p.
1. Montrer que ψ est une application lin´eaire. Est-elle injective ? Est-elle surjective ?
2. Soit u une s´erie convergente `
a termes r´eels positifs ou nuls, et pour tout entier n, Rn son reste d’ordre
n.
X
´
(a) Etant
donn´e un entier naturel n, exprimer la somme partielle d’ordre n de la s´erie
Rk en
X
fonction de celle de la s´erie
kuk et de Rn .
(b) Montrer que si u est absolument convergente d’ordre au moins 1, alors la suite (nRn ) converge
vers 0.
(c) R´eciproquement, si la s´erie u est convergente, et si la suite (Rn ) v´erifie la propri´et´e pr´ec´edente, u
est-elle absolument convergente d’ordre 1 ?
1
.
Indication: chercher u telle que Rn =
n. ln n
3. (a) Soit a un nombre complexe non nul, et q un nombre complexe tel que |q| < 1. Montrer que la
s´erie u d´efinie par :
∀n ∈ N, un = aq n (et en particulier, u0 = a)
est absolument convergente d’ordre infini.
X
X
Donner une relation simple entre les termes g´en´eraux des s´eries
un et
Rn .
X
R´eciproquement, on suppose que
un est une s´erie convergente pour laquelle la relation pr´ec´edente
X
est v´erifi´ee. La s´erie
un est-elle g´eom´etrique ?
(b) Montrer que pour tout entier naturel p l’ensemble Ep des s´eries absolument convergentes d’ordre
au moins p est un sous-espace vectoriel de SAC .
Le sous-espace vectoriel En est-il de dimension finie ?
(c) Soient deux s´eries u et v `
a termes positifs ou nuls.
Montrer que si un ∼ vn et si u est absolument convergente d’ordre au moins p, v est absolument
convergente d’ordre au moins p.
(d) Soit p un entier naturel non nul, et Nδ la norme introduite au I - 3. (b), soit :
∀u ∈ SAC , Nδ =
+∞
X
|un |.
n=0
L’application ψ consid´er´e de l’espace norm´e (Ep , Nδ ) dans l’espace norm´e (Ep−1 , Nδ ) est-elle
continue ?
4. Soit α un r´eel tel que α > 1, et uα la s´erie de terme g´en´eral : ∀n ∈ N, uα,n =
1
.
(n + 1)α
Montrer que la s´erie uα est absolument convergente d’ordre fini pα et pr´eciser l’entier pα en fonction
du r´eel α.
5. Soit a un nombre r´eel. Montrer que la s´erie u d´efinie par ∀n ∈ N, un =
d’ordre au moins 1. Calculer
+∞
X
n=0
un et
+∞
X
Rn .
n=0
FIN
an
est absolument convergente
n!