Transcript Gandhi Brigitte Labbé, Michel Puech

M1 MEEF 2nd degr´
e, CAPES de Math´
ematiques
´
Ecrit
blanc du 17 novembre 2014
Dur´
ee : 5h
Une attention particuli`ere sera port´ee lors de la correction `
a la lisibilit´e de la copie et `
a la qualit´e
de la r´edaction. Par ailleurs, si un(e) candidat(e) d´etecte ce qu’il/elle pense ˆetre une erreur d’´enonc´e,
il/elle le signale tr`es clairement sur sa copie, propose une correction et poursuit l’´epreuve en cons´equence.
Ce sujet comporte 5 pages num´
erot´
ees de 1 `
a 5.
Questions de cours
1. Citer deux crit`eres (portant sur les coefficients (an ) de la s´erie) permettant de d´eterminer le
rayon de convergence d’une s´erie enti`ere.
Donner l’exemple d’une fonction de classe C ∞ qui n’est pas d´eveloppable en s´erie enti`ere.
´
2. Enoncer
la d´efinition de la convergence simple, puis de la convergence uniforme et enfin de la
convergence normale d’une s´erie de fonctions sur un intervalle r´eel I. Existe-t-il des implications
entre ces diff´erents mode de convergence ?
3. A quelle condition une variable al´eatoire X de densit´e f est-elle positive ?
4. Donner l’expression de la loi d’une variable al´eatoire X de loi g´eom´etrique de param`etre p ∈]0, 1[
et de celle d’une variable al´eatoire Y de loi exponentielle de param`etre λ > 0. Donner un exemple
de ph´enom`ene que chacune de ces lois peut mod´eliser.
Premier probl`
eme
Les deux parties de ce probl`eme sont ind´ependantes.
Partie 1
Soit λ un r´eel strictement positif. Pour tout entier n > λ, on d´efinit une variable al´eatoire Tn de
loi binomiale de param`etres (n, λ/n).
1. Donner, pour tout k ∈ N, la valeur de P(Tn = k). Indiquer ´egalement les valeurs de l’esp´erance
et de la variance de Tn .
2. Montrer que, pour tout entier k fix´e, on a les limites suivantes :
n!
λ n−k
lim
=
1
et
lim
1
−
= e−λ .
n (n − k)! nk
n
n
3. En d´eduire, pour tout entier naturel k fix´e, la limite lorsque n tend vers +∞ de P(Tn = k)
existe. D´eterminer cette limite que l’on notera pk .
4. V´erifier que la famille (pk )k≥0 permet de d´efinir une probabilit´e sur N.
5. On consid`ere une variable al´eatoire T `a valeurs enti`eres, v´erifiant pour tout entier naturel k,
P(T = k) = pk . D´eterminer E(T ), E(T (T −1)) puis E(T 2 ). Comparer avec les limites lorsqu’elles
existent de, respectivement, E(Tn ), E(Tn (Tn − 1)) et E(Tn2 ).
Partie 2
Soit X une variable al´eatoire de loi normale centr´ee r´eduite. On d´efinit deux variables al´eatoires
Y et Z par
Y = e−X
et
Z = X 2.
1. Rappeler l’expression de la densit´e de X.
1/5
Tournez SVP
2
2. Pour tout r´eel λ, montrer que E(eλX ) = eλ /2 , par exemple en proc´edant a` un changement de
variable affine.
` l’aide du r´esultat de la question pr´ec´edente, d´eterminer E(Y ), E(Y 2 ) et var (Y ).
3. A
4. D´eterminer la densit´e de Y .
2
5. Calculer, pour tout r´eel α positif, E(e−αX ).
6. D´eterminer, par la m´ethode de votre choix, la densit´e de la variable al´eatoire Z.
7. Calculer E(Z) et E(Z 2 ).
Deuxi`
eme probl`
eme
Partie A
On se donne deux suites finies de nombres complexes (αn )n≤N et (βn )n≤N et on consid`ere le
polynˆome trigonom´etrique
N
P (x) =
α0 X
+
(αn cos(nx) + βn sin(nx))
2
n=1
1. Rappeler, pour tous r´eels θ et φ, les formules de lin´earisation de cos2 θ, sin2 θ, cos θ cos φ, sin θ sin φ
et cos θ sin φ.
2. Calculer, pour tout entier naturel k, les int´egrales suivantes :
Z π
Z π
P (x) cos(kx) dx
et
P (x) sin(kx) dx
−π
−π
3. Calculer ´egalement
Z
π
|P (x)|2 dx
−π
4. Soit maintenant f : R → C une fonction 2π-p´eriodique. On note (an )n≥0 et (bn )n≥1 ses coefficients
de Fourier trigonom´etriques. On rappelle que
Z
Z
1 π
1 π
f (x) cos(nx) dx
et, ∀n ≥ 1, bn =
f (x) sin(nx) dx,
∀n ≥ 0, an =
π −π
π −π
puis, pour tout N ≥ 1, on note PN le polynˆome trigonom´etrique
N
PN (x) =
a0 X
+
(an cos(nx) + bn sin(nx))
2
n=1
´
(a) Enoncer
une condition assurant la convergence normale de (PN ) vers f .
(b) Sous cette condition, montrer l’´egalit´e de Parseval :
Z π
|a0 |2 1 X
1
+
|an |2 + |bn |2
|f (x)|2 dx =
2π −π
4
2
n≥1
puis, pour tout N ≥ 1,
1
2π
Z
π
|PN (x) − f (x)|2 dx =
−π
1 X
|an |2 + |bn |2
2
n>N
2/5
Tournez SVP
Partie B
On consid`ere la fonction f de p´eriode 2π et d´efinie pour tout r´eel x l’intervalle [−π, π[ par f (x) = x2 .
1. Tracer l’allure de la courbe repr´esentative de f sur l’intervalle [−3π, 3π[.
2. Expliciter les coefficients de Fourier trigonom´etriques de f , not´es (an )n≥0 et (bn )n≥1 .
´
3. Etudier
la nature de la convergence de la s´erie de Fourier
a0 X
(an cos(nx) + bn sin(nx)).
Sf (x) =
+
2
n≥1
4. D´eduire des r´esultats pr´ec´edents les valeurs des s´eries :
X (−1)n
X 1
,
n2
n2
n≥1
n≥1
X 1
.
n4
,
n≥1
Troisi`
eme probl`
eme
Partie I
On note f la fonction d´efinie pour tout x r´eel par
Z x
2
f (x) =
e−t dt
0
´
1. Etude
de la fonction f
(a) Montrer que f est impaire.
(b) Montrer que f est d´erivable sur R et expliciter sa d´eriv´ee.
(c) Montrer que f est ind´efiniment d´erivable sur R. On note, pour tout n ≥ 0, f (n) sa d´eriv´ee
n-i`eme. Montrer que, pour tout n ≥ 1, il existe une fonction polynˆome pn dont on pr´ecisera
le degr´e, telle que, pour tout x ∈ R,
f (n) (x) = pn (x)e−x
2
(d) Que peut-on dire de la parit´e de pn ?
2
(e) Justifier que, pour tout x ≥ 1, e−x ≤ e−x et en d´eduire que f admet une limite en +∞.
On notera ∆ cette limite, que l’on ne cherchera pas `a expliciter.
2. D´
eveloppement en s´
erie enti`
ere de f .
(a) Rappeler le d´eveloppement en s´erie enti`ere de la fonction t 7→ e−t ; en d´eduire celui de f 0
et indiquer son rayon de convergence.
(b) Montrer que, pour tout x dans R, on a
f (x) =
+∞
X
(−1)n
n=0
x2n+1
n! (2n + 1)
(c) En d´eduire, pour tout n ∈ N∗ , la valeur de pn (0).
3. Calcul de ∆. Pour tout entier n, on note
Z
π/2
Wn =
cosn (x) dx
0
(a) Montrer que pour tout r´eel u, on a eu ≥ 1 + u.
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Tournez SVP
(b) Soit n un entier naturel. Montrer que
(1 − u)n ≤ e−nu
e−nu ≤ (1 + u)−n
si
si
u≤1
u > −1
(c) D´emontrer que pour tout entier n non nul, on a
Z
1
Z
2 n
+∞
(1 − x ) dx ≤
e
−nx2
R1
R +∞
(1 − x2 )n dx et W2n+1 , puis 0
√
(e) En d´eduire un encadrement de ∆/ n.
p
(f) On admet que Wn ∼ π/(2n). Calculer ∆.
0
+∞
dx ≤
0
0
0
(d) Comparer
Z
dx
(1+x2 )n
dx
(1 + x2 )n
et W2n−2 .
Partie II
On rappelle les th´eor`emes suivants de continuit´e et d´erivation sous une int´egrale. Soient I et J
deux intervalles r´eels et f : I × J → R, une fonction.
– Si la fonction f est continue et s’il existe une fonction φ, d´efinie
R et int´egrable sur J telle que,
pour tout (x, y) ∈ I × J, |f (x, y)| ≤ φ(y), alors la fonction x 7→ J f (x, y) dy est continue sur I.
– Si la fonction f est continue et v´erifie
– ∂f /∂x est continue sur I × J
– Il existe une fonction φ d´efinie et int´egrable sur J telle que
∂f
∀(x, y) ∈ I × J, (x, y) ≤ φ(y),
∂x
alors la fonction x 7→
R
J
f (x, y) dy est d´erivable, de d´eriv´ee x 7→
∂f
J ∂x (x, y)
R
dy.
1. On d´efinit la fonction h par, pour tout x ∈ R,
Z +∞
2
e−y cos(2xy) dy.
h(x) =
0
(a) Montrer que h est bien d´efinie.
(b) Montrer que h est d´erivable sur R, et que, pour tout x ∈ R,
Z +∞
2
0
h (x) =
−2ye−y sin(2xy) dy.
0
(c) Montrer maintenant `
a l’aide d’une int´egration par parties que h est solution de l’´equation
0
diff´erentielle h (x) = −2xh(x).
2
(d) En d´eduire que, pour tout r´eel x, h(x) = ∆ e−x .
2. On d´efinit une fonction φ par : pour tout x ∈ R,
Z +∞ 2
− y 2 + x2
y
φ(x) =
e
dy.
0
(a) Montrer que φ est une fonction continue sur R et de classe C 1 sur ]0, +∞[.
(b) Montrer que, pour tout x ∈]0, +∞[, φ0 (x) = −2φ(x).
(c) En d´eduire l’expression de φ sur ]0, +∞[, puis sur R.
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Tournez SVP
Partie III
On d´efinit la fonction ψ par : pour tout x ∈ R,
Z +∞
cos(2xt)
ψ(x) =
dt.
1 + t2
0
´
1. Etude
de ψ.
(a) V´erifier que ψ est bien d´efinie, continue et paire.
(b) Calculer ψ(0).
2. Pour tout p ∈ N∗ , on d´efinit la fonction jp par : pour tout x ∈ R,
Z p
2 2
jp (x) =
ye−(1+x )y dy
0
Calculer jp (x) pour tout p ∈ N∗ et tout x ∈ R. En d´eduire que (jp ) est une suite de fonctions
continues et que cette suite converge simplement sur R. Expliciter cette limite. La convergence
est-elle uniforme sur R ?
3. Pour cette question et les suivantes, on fixe un r´eel a, et on d´efinit, pour tout n ∈ N∗ , la fonction
kn par : pour tout y ∈ R,
Z
n
kn (y) =
ye−y
2 x2
cos(2ax) dx.
0
Montrer que (kn ) est une suite de fonctions continues qui converge simplement sur R lorsque n
tend vers +∞ et expliciter sa limite en fonction de h. La convergence est-elle uniforme sur R ?
4. On note, pour tout (n, p) ∈ (N∗ )2 ,
Z
n
un,p =
jp (x) cos(2ax) dx
0
(a) Pour tout n ∈ N∗ , justifier l’existence de la limite limp→∞ un,p , que l’on notera un,∞ , et
l’expliciter sous la forme d’une int´egrale.
(b) Montrer que, pour tout (n, p) ∈ (N∗ )2 , on a
Z p
2
un,p =
kn (y) e−y dy.
0
2
5. Justifier, pour tout n ∈ N∗ , l’int´egrabilit´e sur [0, +∞[ de la fonction y 7→ kn (y)e−y et en d´eduire
une autre ´ecriture de un,∞ .
6. Montrer que la fonction (x, y) 7→ ye−y
2 (1+x2 )
cos(2ax) est int´egrable sur (R+ )2 .
R +∞
2
7. En d´eduire que la suite (un,∞ ) converge vers 0 k∞ (y)e−y dy.
8. Calculer ψ(x).
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