Transcript Année scolaire 2013/2014 Probabilités 2

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ee scolaire 2013/2014
Probabilit´es 2: Fiche d’exercices
PCSI
Exercice 1 Un sac contient x jetons dont 5 rouges et 10 blancs les autres sont verts. On joueur tire un jeton
au hasard:
• S’il est rouge, il gagne 5euros, s’il est blanc, il perd 3euros et s’il est vert, il proc`ede `a un deuxi`eme tirage
sans remettre le premier;
• Si le deuxi`eme tirage am`ene un jeton rouge, il gagne 4euros, s’il am`ene un jeton blanc, il perd 1euros sinon
le jeu s’arrˆete, la partie est nulle.
Quelle est l’esp´erance de gain du joueur? Pour quelles valeurs de x peut-on esp´erer gagner?
Exercice 2
1. On tire 5 cartes d’un jeu de 32. J’appelle X la variable al´eatoire ´egale au nombre de rois obtenus. Quelle
est la loi de X?
2. On tire 5 fois une carte d’un jeu de 32 et `a chaque fois on remet la carte tir´ee dans le paquet de cartes.
J’appelle Y la variable al´eatoire ´egale au nombre de rois obtenus. Quelle est la loi de Y ?
Exercice 3 Soit n ∈ N − {0, 1}.
On lance n fois une pi`ece (la probabilit´e d’obtenir ‘Pile’ vaut p. Les lancers ´etant suppos´es ind´ependants.
On note Z la variable al´eatoire qui vaut 0 si l’on n’obtient aucun “pile” pendant ces n lancers et qui, dans le
cas contraire, prend pour valeur le rang du premier “pile”. Quelle est la loi de Z
Exercice 4 On a un stock N = 106 pots de confiture, on sait que 0, 2% de ces pots sont avari´es, on tire de ce
stock un ´echantillon de 1000 pots, on cherche quelle est la probabilit´e pour que dans cet ´echantillon, on ait plus
de 4 pots avari´es.
Exercice 5 Une urne contient n boules blanches et n boules noires, on extrait les boules une `a une sans remise.
X est la variable al´eatoire ´egale au nombre de tirages n´ecessaires pour qu’il ne reste plus de boules noires dans
l’urne.
1. Quelle est la loi de X?
2. Calculer E(X).
Exercice 6 D’un sac contenant n jetons num´erot´es de 1 `a n (n ≥ 3), on extrait simultan´ement 3 jetons. Soit
X la variable al´eatoire ´egale au num´ero m´edian des trois num´eros tir´es. la loi de X? Calculer E(X).
Exercice 7 n clients se pr´esentent devant les m caisses d’un grand magasin. On suppose que chaque client
choisit une caisse au hasard ind´ependamment des autres clients. On note X le nombre de clients qui se pr´esentent
a la caisse no 1. Quelle est la loi de X.
`
Exercice 8 Une urne contient N boules num´erot´ees de 1 `a N . Soit n un entier compris entre 1 et N . On tire
au hasard et simultan´ement n boules de l’urne.
1. On note Y la variable al´eatoire ´egale au plus petit num´ero tir´e. D´eterminer la loi de Y , son esp´erance, sa
variance.
2. On note X la variable ´egale au plus grand num´ero tir´e. D´eterminer la loi de X.
3. On pose Z = n + 1 − Y , montrer que X et Z ont mˆeme loi. En d´eduire l’esp´erance et la variance de X.
Exercice 9 m personnes montent dans un ascenseur, chaque personne peut descendre `a l’un des n arrˆets que
dessert l’ascenseur avec la probabilit´e 1/n. X d´esigne le nombre d’arrˆets de l’ascenseur. Calculer E(X).
Exercice10 Si X1 , X2 , . . . , Xn sont n variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi uniformes sur [[1, n]], on
veut d´eterminer la loi de Y = sup(X1 , . . . , Xn ) et de Z = inf(X1 , X2 , . . . , Xn ).
Exercice 11 Un fumeur dispose de n allumettes pour allumer sa cigarette. La probabilit´e que le vent ´eteigne
sa cigarette est ´egale `
a θ ∈]0, 1[.
1. œ D´eterminer la probabilit´e pour qu’il parvienne `a allumer sa cigarette
2. X est la VAR donnant le nombre d’allumettes utilis´ees. Quelle est la loi de X? Calculer E(X).
Exercice 12 Pour arrˆeter de fumer, Jean grignote des pralines qu’il prend dans une des deux boˆıtes gliss´ees
dans chacune des deux poches de sa veste, il les saisit une par une, dans une poche prise au hasard `
a chaque
praline. Chaque boˆıte contient cinq pralines. On appelle X le nombre de pralines encore pr´esentes dans une
boˆıte lorsqu’il s’aper¸coit que l’autre est vide. D´eterminer la loi de X, son esp´erance et sa variance.
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Probabilit´es 2: Fiche d’exercices
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Exercice 13 Jeff Costello est assis au volant de la DS qu’il doit voler pour accomplir son dernier contrat. Il a
d´epos´e pr`es de lui le trousseau de 100 clefs dont deux seulement peuvent lui permettre de d´emarrer. Il les essaie
une par une, calmement, au hasard, en ´ecartant au fur et `a mesure celles qui ne conviennent pas. On note X
la VAR ´egale au nombre de clefs qu’il lui faut essayer avant de mettre le contact.
Etablir la loi de X. Calculer E(X) et σ(X).
Exercice 14
Un jeu vid´eo comporte N phases de jeu: niveau 1, niveau 2, ...,niveau N. On suppose que N est un entier au
moins ´egal `
a 3. Le jeu commence au niveau 1. Ensuite, il faut r´eussir un niveau pour passer au niveau suivant
et ainsi de suite jusqu’au dernier niveau. Le jeu s’arrˆete si l’on a ´echou´e `a l’un des niveaux ou si l’on a r´eussi
tous les niveaux.
On suppose que, lorsqu’on parvient au niveau k (k = 1, 2, · · · , N − 1), la probabilit´e de r´eussir le k`eme niveau
est ´egale `
a 1/k.
On d´esigne par XN la variable al´eatoire ´egale au nombre de niveaux enti`erement franchis au moment o`
u le jeu
s’arrˆete. Ainsi, pour k = 1, 2, · · · , N − 1, l’´ev´enement (XN = k) signifie que l’on a ´echou´e au niveau k + 1 et
l’´ev´enement (XN = N ) signifie que l’on est vainqueur du jeu.
1. D´emontrer que P (XN = k) =
1
k
pour k = 1, 2, · · · , N − 1 et que P (XN = N ) =
(k + 1)!
N!
2. Calculer E(XN + 1). On pose SN =
Pk=N 1
, montrer que E(XN ) = SN − 1. Que vaut
k=0
k!
lim E(XN )?
N →+∞
3. Exprimer E[(XN + 1)(XN − 1)] `
a l’aide de SN −3 , en d´eduire V (XN ) en fonction de SN , SN −3 et N .
Montrer que lim V (XN ) = 3e − e2 .
N →+∞
Exercice 15 Un individu gravit un escalier. A chaque fois, avant de faire un pas, il lance une pi`ece non
´equilibr´ee donnant pile avec la probabilit´e p (avec 0 < p < 1/2) et progresse d’une marche s’il obtient pile et
enjambe deux marches d’un coup s’il obtient face.
1. Pour n ∈ N∗ , soit Xn le nombre de marches gravies `a l’issue des n premiers pas et Xn0 le nombre de fois
o`
u l’individu a progress´e par enjamb´ees de 2 marches au cours des n premiers pas.
(a) D´eterminer une relation simple liant Xn et Xn0 . En d´eduire la loi de Xn .
(b) Donner les valeurs de l’esp´erance et de la variance de Xn .
2. Pour n ∈ N∗ , soit Yn le nombre al´eatoire de pas justes n´ecessaires pour atteindre ou d´epasser la n`eme
marche.
(a) Quelles sont les valeurs prises par la variable al´eatoire Yn ?
(b) D´eterminer la loi de Y1 , puis celle de Y2 et pr´eciser l’esp´erance de ces deux variables al´eatoires.
(c) Montrer que ∀k ∈ N,
∀n ≥ 3
P (Yn = k) = pP (Yn−1 = k − 1) + (1 − p)P (Yn−2 = k − 1)
(d) Montrer que pour n ≥ 3, E(Yn ) = p.E(Yn−1 ) + (1 − p)E(Yn−2 ) + 1.
3. On consid`ere l’ensemble E des suites (un )n∈N∗ telles que ∀n ≥ 3,
un = pun−1 + (1 − p)un−2 + 1
(a) Montrer qu’il existe un r´eel α, que l’on d´eterminera, tel que la suite (αn) appartient `a E.
(b) Montrer que (un ) appartient `a E si et seulement si la suite (vn )n∈N∗ o`
u vn = un − αn v´erifie la
relation: ∀n ∈ N∗ , vn = pvn−1 + (1 − p)vn−2 .
(c) En d´eduire la valeur de E(Yn ).
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