Transcript CORRECTION DM n˚1 - PCSI

CORRECTION DM n˚1
Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis
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PSI
CORRECTION DM n˚1
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CORRECTION DM n˚1
Exercice 1.
Une pochette contient deux d´es. L’un est parfaitement ´equilibr´e, mais le second donne un « six » une fois
sur deux (les autres faces ´etant suppos´ees ´equilibr´ees). On tire au hasard un d´e la pochette et on le lance.
1. On tire au hasard un d´e la pochette et on le lance.
(a) D´efinissons l’univers : Ω ✏ t1, 2, 3, 4, 5, 6✉ .
Attention car ici la loi de probabilit´e n’est pas uniforme !
Notons A l’´ev`enement : « On a obtenu un “six”. » et D l’´ev`enement : « Le d´e est ´equilibr´e. »
On a alors p♣Dq ✏ p♣Dq ✏ 12 , pD ♣Aq ✏ 61 et pD ♣Aq ✏ 12 .
p D ♣ Aqp ♣D q
On cherche pA ♣Dq et par la formule de Bayes : pA ♣Dq ✏
.
p ♣Aq
Par la formule des probabilit´es totales : p♣Aq ✏ pD ♣Aqp♣Dq pD ♣Aqp♣Dq ✏ 16 . 21 12 . 12 ✏ 31 .
On obtient pA ♣Dq ✏
p D ♣ Aqp ♣D q
p♣Aq
✏
1 1
6.2
1
3
✏ 14
.
(b) Au contraire, on a obtenu un « cinq ». Notons B l’´ev`enement : « On a obtenu un “cinq”. »
Par des calculs analogues aux pr´ec´edents pB ♣Dq ✏
1 1
6.2
1
1 1
12
2 . 10
✏ 58
.
2. Ici l’univers change : Ω ✏ t1, 2, 3, 4, 5, 6✉2 , la loi de probabilit´e n’est toujours pas uniforme. Notons :
A1 l’´ev`enement : « On a obtenu un “six” avec le d´e ´equilibr´e. »
A2 l’´ev`enement : « On a obtenu un “six” avec le d´e pip´e. ».
La probabilit´e cherch´ee est p♣A1 ❨ A2 q ✏ p♣A1 q p♣A2 q ✁ p♣A1 ❳ A2 q.
Notons au passage que p♣A1 ❳ A2 q est la probabilit´e d’obtenir un double six. Comme les deux lancers
de d´es sont ind´ependants, on obtient que p♣A1 ❳ A2 q ✏ p♣A1 q ✂ p♣A2 q ✏ 16 . 12
✏ 121
7
la probabilit´e d’obtenir au moins un six est p♣A1 ❨ A2 q ✏ 16 12 ✁ 16 . 12 ✏ 12
.
Ainsi
.
3. On effectue quatre fois successivement des lancers simultan´es des deux d´es.
Notons X la variable al´eatoire repr´esentant le nombre de six obtenus.
7
Attention : X ne suit pas la loi binomiale de param`etres n ✏ 4 et p ✏ 12
car X peut prendre les valeurs
0, 1 ou 2 `a chaque lancer des deux d´es (ce n’est donc pas une r´ep´etition d’exp´eriences de Bernoulli).
(a) La probabilit´e d’obtenir au moins un « six » est :
5 4
p♣X ➙ 1q ✏ 1 ✁ p♣X ✏ 0q ✏ 1 ✁ ♣ 12
q ✔ 0, 970 `a 10✁3 pr`es.
En effet, les quatre s´eries de deux lancers ´etant ind´ependants, la probabilit´e de ne pas obtenir de
5
six sur un lancer ´etant de 12
, il suffit de l’´elever `
a la puissance 4.
(b) La probabilit´e d’obtenir au moins deux « six » est p♣X ➙ 2q ✏ 1 ✁ p♣X ✏ 0q ✁ p♣X ✏ 1q.
5 4
p♣X ✏ 0q ✏ ♣ 12
q et p♣X ✏ 1q ✏ 4♣p♣A1 ❨ A2q✁ p♣A1 ❳ A2qq♣p♣A1 ❨ A2qq3 ✏ 4♣ 126 q♣ 125 q3. En effet,
obtenir un seul « six » sur 4 s´eries de lancers revient `
a obtenir un « six » sur l’une des 4 s´eries
et z´eros « six » sur les 3 autres. Les quatre s´eries de deux lancers ´etant ind´ependants, il suffit de
multiplier ces probabilit´es et de multiplier ce r´esultat par 4 puisqu’il y a 4 fa¸cons de choisir la
s´erie de lancers `
a laquelle on obtient un « six »
Soit finalement p♣X ➙ 2q ✏ 0, 934 `a 10✁3 pr`es .
(c) Obtenir exactement quatre « six » peut s’obtenir de fa¸cons diff´erentes :
- C1 : obtenir deux « double six » ;
- C2 : obtenir deux « six » et un « double six » ;
- C3 obtenir quatre « six ».
Ces trois ´e✟v`enements ´etant incompatibles, on a p♣X ✏ 4q ✏ p♣C1 q p♣C2 q p♣C3 q.
1 2 5 2
p♣C1 q ✏ 42 ♣ 12
q♣ q
4✟ 3✟ 1 12 6 2 5
p♣C2 q ✏ 1 2 ♣ 12 q♣ 12 q ♣ 12 q
✟ 6 4
p♣C3 q ✏ 44 ♣ 12
q
La probabilit´e d’obtenir exactement quatre « six » vaut donc p♣X
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✏ 4q ✏ 0.174 `a 10✁3 pr`es
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