Transcript Extrait et sommaire

Table des mati`
eres
´
partie I Enonc´
es
I
Espaces probabilis´
es
I.1
D´enombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2
Formule du crible et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3
Probabilit´es conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
6
II
Variables al´
eatoires discr`
etes
9
II.1 Exercices de manipulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II.2 Jeu de pile ou face . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
II.3 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
II.4 Mod´elisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
III
Variables al´
eatoires continues
III.1 Calculs de probabilit´es ou d’esp´erance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2 Calculs de loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.3 Mod´elisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV
Fonctions caract´
eristiques
27
IV.1 Calculs de loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
IV.2 Mod´elisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
V
Th´
eor`
emes limites
V.1 Quelques convergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.2 Calcul de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.3 Mod´elisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
19
20
22
31
31
34
35
Table des mati`eres
VI
Vecteurs gaussiens
41
VI.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
VI.2 Propri´et´es et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
VII Simulation
45
VIII Estimateurs
47
VIII.1 Mod`eles param´etriques usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
VIII.2 Mod´elisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
IX
X
XI
Tests
IX.1 Mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IX.2 Mod´elisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IX.3 Tests du χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intervalles et r´
egions de confiance
55
55
58
61
67
Probl`
emes (probabilit´
es)
69
XI.1 Calcul de lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
XI.2 Le collectionneur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
XI.3 Le paradoxe du bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
XI.4 La statistique de Mann et Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
XI.5 Le processus de Galton Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
XI.6 Loi de Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
XI.7 Sondages (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
XI.8 Loi de Yule (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
XI.9 Math´ematiques financi`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
XI.10 Transmission de message . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
XI.11 Mariage d’un prince . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
XI.12 R´eduction de variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
XI.13 Mod`ele de comp´etition de P`
olya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
XII Probl`
emes (probabilit´
es et statistique)
105
XII.1 Le mod`ele de Hardy-Weinberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
XII.2 Estimation de la taille d’une population . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
XII.3 Comparaison de traitements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
XII.4 Ensemencement des nuages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
XII.5 Chaleur latente de fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
XII.6 Taille des grandes villes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
XII.7 R´esistance d’une c´eramique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
XII.8 Sondages (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
XII.9 Loi de Yule (II) et disques d’or . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
XII
Table des mati`eres
XII.10 Sexe des anges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
XII.11 Comparaison d’´echantillons appari´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
XII.12 Mod`ele auto-r´egressif pour la temp´erature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
XII.13 Mutation de l’ADN mitochondrial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
XII.14 Estimation d’un quantile et produits de la mer . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
XII.15 Records sportifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
partie II Corrections
XIII Corrections
163
XIII.1 Espaces probabilis´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
XIII.2 Variables al´eatoires discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
XIII.3 Variables al´eatoires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
XIII.4 Fonctions caract´eristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
XIII.5 Th´eor`emes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
XIII.6 Vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
XIII.7 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
XIII.8 Estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
XIII.9 Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
XIII.10 Intervalles et r´egions de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
XIII.11 Probl`emes (probabilit´es) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
XIII.12 Probl`emes (probabilit´es et statistique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
Index
413
XIII
Premi`
ere partie
´
Enonc´
es
I
Espaces probabilis´
es
I.1 D´
enombrement
Exercice I.1 (Jeu de cartes).
On tire au hasard deux cartes dans un jeu de 52 cartes.
1. Quelle est la probabilit´e pour que la couleur des deux cartes soit pique ?
2. Quelle est la probabilit´e pour que les deux cartes ne soient pas de la mˆeme
couleur (pique, cœur, carreau, tr`efle) ?
3. Quelle est la probabilit´e pour que la premi`ere carte soit un pique et la seconde
un cœur ?
4. Quelle est la probabilit´e pour qu’il y ait un pique et un cœur ?
5. Quelle est la probabilit´e pour qu’il y ait un pique et un as ?
△
Exercice I.2 (Jeu de d´es).
Le joueur A poss`ede deux d´es `
a six faces, et le joueur B poss`ede un d´e `a douze
faces. Le joueur qui fait le plus grand score remporte la mise (match nul si ´egalit´e).
Calculer la probabilit´e que A gagne et la probabilit´e d’avoir un match nul. Le jeu
est-il ´equilibr´e ?
△
Exercice I.3 (Anniversaires simultan´es).
On consid`ere une classe de n ´el`eves. On suppose qu’il n’y a pas d’ann´ee bissextile.
1. Quelle est la probabilit´e, pn , pour que deux ´el`eves au moins aient la mˆeme date
d’anniversaire ? Trouver le plus petit entier n1 tel que pn1 ≥ 0.5. Calculer p366 .
2. Quelle est la probabilit´e, qn , pour qu’au moins un ´el`eve ait la mˆeme date
d’anniversaire que Socrate ? Calculer qn1 et q366 .
I Espaces probabilis´es
△
Exercice I.4 (Jeu de pile ou face).
Eug`ene et Diog`ene ont l’habitude de se retrouver chaque semaine autour d’un verre
et de d´ecider `a pile ou face qui r`egle l’addition. Eug`ene se lamente d’avoir pay´e
les quatre derni`eres additions et Diog`ene, pour faire plaisir `a son ami, propose de
modifier exceptionnellement la r`egle : “Eug`ene, tu vas lancer la pi`ece cinq fois et
tu ne paieras que si on observe une suite d’au moins trois piles cons´ecutifs ou d’au
` tort ou
moins trois faces cons´ecutives”. Eug`ene se f´elicite d’avoir un si bon ami. A
`a raison ?
△
Exercice I.5 (Tirage avec remise et sans remise).
Une urne contient r boules rouges et b boules bleues.
1. On tire avec remise p ∈ N∗ boules. Calculer la probabilit´e pour qu’il y ait pr
boules rouges et pb boules bleues (pr + pb = p).
2. On tire sans remise p ≤ r + b boules. Calculer la probabilit´e pour qu’il y ait
pr boules rouges et pb boules bleues (pr ≤ r, pb ≤ b et pr + pb = p).
3. Calculer, dans les deux cas, les probabilit´es limites quand r → ∞, b → ∞ et
r/(b + r) → θ ∈]0, 1[.
△
I.2 Formule du crible et applications
Exercice I.6 (Formule du crible).
Soit A1 , · · · , An des ´ev`enements.
1. Montrer que P(A1 ∪ A2 ) = P(A1 ) + P(A2 ) − P(A1 ∩ A2 ).
2. Montrer la formule du crible par r´ecurrence.
!
n
n
X
X
[
P(Ai1 ∩ · · · ∩ Aip ).
(−1)p+1
Ai =
P
p=1
i=1
(I.1)
1≤i1 <···<ip ≤n
3. In´egalit´es de Bonferroni. Montrer, par r´ecurrence sur n, que pour 1 ≤ m ≤ n,
m
X
(−1)p+1
p=1
X
1≤i1 <···<ip ≤n
P(Ai1 ∩ · · · ∩ Ajp )
S
est une majoration (resp. minoration) de P( ni=1 Ai ) lorsque m est impair (resp.
pair).
4