Transcript Exercice 1 - Alexandre Lourme

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2014–2015
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TRAVAUX DIRIGES
Exercice 1 :
Une urne contient 3 boules blanches et 3 boules rouges. On tire simultan´ement 3
boules dans celle-ci et on note X le nombre de boules rouges obtenues lors de ce
tirage. Quelle est la loi de X, son esp´erance, sa variance ?
Exercice 2 :
La fonction de r´epartition de X est








F (b) =







donn´ee par
0 ,
1/2 ,
3/5 ,
4/5 ,
9/10 ,
1 ,
b<0
0≤b<1
1≤b<2
2≤b<3
3 ≤ b < 3, 5
b ≥ 3, 5
Calculer la loi de probabilit´e de X.
Exercice 3 :
Albert, Bernard, Charles et David ont, respectivement, un revenu de 1000e, 1200e,
1300eet 1500e. On choisit deux personnes au hasard parmi ces 4. Soit X le revenu
moyen des 2 personnes tir´ees. D´eterminer la fonction de probabilit´e de X, E[X] et
V ar(X).
Exercice 4 :
Dans une biblioth`eque se trouvent 10 livres en langue ´etrang`ere : 5 en anglais, 2
en allemand et 3 en russe. On pr´el`eve au hasard 5 de ces livres. Soit X la variable al´eatoire qui, `
a chaque tirage, associe le nombre de volumes en russe pr´elev´es.
D´eterminer la loi de probabilit´e, puis la fonction de r´epartition de X et repr´esenter
celle-ci.
Exercice 5 :
A l’arriv´ee d’une course, il y a 9 chevaux: 4 noirs et 5 blancs. On appelle X la v.a.r.
´egale au nombre de chevaux blancs pr´ec´edant le premier cheval noir. D´eterminer la
loi de X, son esp´erance et sa variance.
Exercice 6 : Une boˆıte contient 5 billes rouges et 5 billes bleues. Deux billes sont
tir´ees au hasard. Si elle sont de la mˆeme couleur, vous gagnez 1, 10 e; si elles sont de
couleurs diff´erentes, vous perdez 1 e. Calculer
(a) l’esp´erance du gain;
(b) la variance du gain.
Exercice 7
Un QCM comporte 5 affirmations. Pour chaque affirmation, on doit r´epondre par vrai
(V ) si l’affirmation est toujours vraie, faux (F ) si elle est toujours fausse ou par (P )
si on ne peut pas conclure. Une r´eponse au QCM est une suite de 5 lettres parmi V ,
F ou P .
(a) Quel est le nombre de r´eponses possibles pour le QCM ?
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(b) Le nombre de r´eponses comprenant exactement 3 V est-il ´egal `a C53 ?
(c) On d´ecide d’attribuer 2 points pour chaque r´eponse exacte. Combien de points
doit-on retirer par r´eponse inexacte pour que le score d’un candidat qui r´epond
au hasard ait une esp´erance math´ematique nulle ?
(d) Un candidat r´epond au hasard et on appelle X la variable al´eatoire donnant
le nombre de bonnes r´eponses. Indiquer la loi suivie par X et pr´eciser ses
param`etres et calculer E[X].
Exercice 8 :
On se propose d’analyser le sang d’une population de N individus pour y d´eceler
l’´eventuelle pr´esence d’un virus dont on sait qu’il affecte une personne donn´ee avec la
probabilit´e p ind´ependamment des autres. On dispose pour cela de deux protocoles :
Protocole 1 : On analyse le sang de chacun des N individus.
Protocole 2 : On regroupe les individus par groupe de n (on suppose N divisible
par n). On rassemble la collecte de sang des individus d’un mˆeme groupe et on teste
l’´echantillon. Si le r´esultat est positif, on analyse alors le sang de chacun des individus
du groupe.
(a) Pr´eciser la loi de la variable al´eatoire X ´egale au nombre de groupes positifs.
(b) Soit Y la variable al´eatoire d´eterminant le nombre d’analyse effectu´ee dans le
deuxi`eme protocole. Exprimer l’esp´erance de Y en fonction de n, N et p.
(c) Comparer les deux protocoles pour les valeurs N = 1000, n = 10 et p = 0, 01.
Exercice 9 :
Une agence de dactylographie emploie 2 dactylos. Le nombre d’erreurs par article est
3 pour le premier dactylo et 4, 2 pour le second. Si un article a autant de chance
d’ˆetre tap´e par l’un ou l’autre dactylo, quelle est la probabilit´e qu’il ne contienne pas
d’erreur ?
Exercice 10 :
Au moins 9 des 12 jur´es r´eunis doivent estimer l’accus´e coupable pour rendre le jugement ex´ecutoire. Supposons que la probabilit´e pour un jur´e d’estimer un coupable
innocent est de 0, 2 tandis qu’elle est de 0, 1 de commettre l’erreur contraire. Les
jur´es d´ecident en toute ind´ependance et 65% des accus´es sont coupables. Trouver la
probabilit´e que le jury rende une sentence correcte. Quel pourcentage des accus´es sera
condamn´e ?
Exercice 11 :
On admet que le nombre d’accidents survenant sur une autoroute quotidiennement
est une variable al´eatoire de Poisson de param`etre λ = 3.
(a) Quelle est la probabilit´e qu’il survienne 3 accidents ou plus lors d’un jour donn´e?
(b) Mˆeme question si l’on sait qu’un accident au moins a eu lieu.
Exercice 12 :
Un ´electricien ach`ete des composants par paquets de 10. Sa technique de contrˆole est
de n’examiner que 3 composants, tir´es au hasard dans le paquet, et de n’accepter le
lot des 10 que si les 3 composants examin´es sont sans d´efaut. Si 30% des paquets
contiennent 4 composants `
a malfa¸con tandis que 70% restants n’en contienne qu’un,
quelle proportion des paquets notre ´electricien rejettera-t-il ?
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Exercice 13 :
Lorsque la pi`ece 1 est lanc´ee, elle tombe sur face avec une probabilit´e de 0, 4, quand
la pi`ece 2 est lanc´ee, elle tombe sur face avec une probabilit´e de 0, 7. L’une de ces
pi`eces est choisi au hasard et lanc´ee 10 fois.
(a) Quelle est la probabilit´e que la pi`ece tombe sur face exactement 7 des 10 lancers?
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(b) Etant
donn´e qu’aux trois premiers lancer on obtient face, quelle est la probabilit´e
conditionnelle qu’exactement 7 des 10 lancers tombent sur face?
Exercice 14 :
Un jeu de hasard est form´e d’un dispositif lan¸cant de fa¸con al´eatoire une fl´echette
dans une cible ayant la forme suivante
B
R
B
V
B
V
B
J
B
J
B
J
B
B
B
B
B
B
J
B
J
B
J
B
V
B
V
B
R
B
La fl´echette atteint toujours une case et une seule. Les 30 cases blanches (B), jaunes
(J), vertes (V) ou rouges (R) ont toutes la mˆeme probabilit´e d’ˆetre atteintes. Si la
fl´echette atteint une case rouge, le joueur gagne 8 euros, si la fl´echette atteint une case
verte, le joueur gagne 5 euros, si la fl´echette atteint une case jaune, le joueur gagne
rien et ne perd rien, si la fl´echette atteint une case blanche, le joueur perd a euros, la
lettre a d´esignant un r´eel positif.
(a) On note X la variable al´eatoire repr´esentant le gain alg´ebrique du joueur (compt´e
n´egativement quand il perd).
i. Donner la loi de probabilit´e de X.
ii. Calculer a pour que le jeu soit ´equitable (c’est-`a-dire pour que E[X] soit
nulle).
(b) Un joueur est consid´er´e comme gagnant s’il a obtenu un gain strictement positif.
i. Quelle est la probabilit´e p qu’un joueur gagne ?
ii. Un joueur joue 5 parties cons´ecutives ind´ependantes. Quelle est la probabilit´e qu’il gagne exactement 2 fois ? exactement 5 fois ? Quel est le nombre
moyen de parties gagnantes ?
Exercice 15 :
Pour ouvrir une porte, un gardien dispose d’un trousseau de 10 clefs diff´erentes. Quand
il est ivre, il re-m´elange les clefs apr`es chaque essai ; sinon, il retire la mauvaise clef
du lot. On note X le nombre de clefs n´ecessaires pour ouvrir la porte dans le premier
cas et Y dans le second cas.
(a) D´eterminer les lois de X et de Y ainsi que leur esp´erance.
(b) Sachant que le gardien est ivre un jour sur trois et qu’aujourd’hui il a essay´e
au moins 9 clefs pour ouvrir la porte, quelle est la probabilit´e qu’il soit ivre
aujourd’hui?
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