Transcript fiabilit´e – BTS MI 1 Loi exponentielle 2 Loi de Weibull

fiabilit´e – BTS MI
L’AFNOR d´efinit la fiabilit´e comme la probabilit´e qu’un dispositif accomplisse sa fonction pendant
une p´eridoe de temps et dans des conditions d’utilisation d´etermin´ees a` l’avance.
On suppose ici que les appareils sont tous utilis´es dans leurs conditions normales d’utilisation.
D´efinition 1
TBF Time Between Failure ou Temps de Bon Fonctionnement
T est la variable al´eatoire qui associe a` un dispositif sont temps de bon fonctionnement (ou sa
dur´ee de vie avant panne).
densit´e de d´efaillance densit´e de probabilit´e de t, not´e f (t)
MTBF Mean Time Between Failure ou Moyenne des Temps de Bon Fonctionnement. C’est aussi l’esp´erance
math´ematique de la densit´e de probabilit´e. On a
Z +∞
MTBF = E(T) =
tf (t)dt
0
La fonction
de r´epartition de T est F(t) = P(T ≤ t)
Rt
F(t) = 0 f (t)dt
F0 (t) = f (t)
0 ≤ F(t) ≤ 1
F(t) est la probabilit´e que le syst`eme aut une d´efaullance avant l’instant t. On l’appelle la fonction
de d´efaillance.
R(t) = 1 − F(t) est la fonction de fiabilit´e.
F0 (t)
R0 (t)
On appelle taux d’avarie instantann´e la quantit´e λ(t) = − R(t) = 1−F(t)
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Loi exponentielle
On suppose que le taux d’avarie est constant. λ(t) = λ.
R0 (t)
Dans ce cas, on peut int´egrer l’´equation diff´erentielle λ = − R(t) ce qui nous donne R(t) = e−λt ou
encore F(t) = 1 − e−λt . La densit´e de probabilit´e est λe−λt .
L’esp´erance vaut λ1 et l’´ecart type vaut λ1
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Loi de Weibull
En pratique on consid`ere que le cycle de vie d’un e´ l´ement peut se d´ecomposer en pannes pr´ecoces,
vie utile et usure. Dans la partie de vie utile, on consid`ere que le taux d’avarie est constant. Dans les
parties pannes pr´ecoces et usure le taux d’avarie va respectivement diminuer et augmenter.
Le math´ematicien su´edois Weibull (1887 – 1979) a choisi comme mod`ele :
β t−γ
t > γ , λ(t) =
η η
!β−1
On a, pour t > γ,
β β t−γ
t−γ
R(t) = exp − η
F(t) = 1 − exp − η
La MTBF vaut ηA + γ et l’´ecart type vaut ηB ou` A et B sont donn´es par une table.
Le papier de Weibull
de repr´esenter la fonction de d´efaillance. Si γ = 0, la fonction de
permet
β β
d´efaillance est 1 − exp − ηt , ce qui est e´ quivalent a` − ln (1 − F(t)) = ηt ou encore ln [− ln (1 − F(t))] =
β (ln t − ln η). En posant X = ln t, on a que βX − β ln η est une droite.
Le papier de Weibull nous permet de retrouver β et η en plac¸ant (ti , F(ti ).
Sinon en r´ealise un ajustement lin´eaire par la m´ethode des moindres carr´es avec les s´eries ln ti et
ln [− ln (1 − F(t))].
LAL 1.3 Vincent-Xavier Jumel
Ann´ee 2013/2014
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Fiabilit´e d’un syst`eme complexe
— Si les composants sont en s´erie, c’est a` dire que tous sont n´ecessaires au fonctionnement du tout
et qu’on consid`ere qu’ils sont ind´ependants, alors R(t) = R1 (t) × R2 (t) × . . . Rk (t).
— Si les composants sont en parall`ele, c’est a` dire que tous les composants doivent tomber en
panne pour que le syst`eme soit d´efaillant et qu les composants sont ind´ependants, alors F(t) =
F1 (t) × F2 (t) × . . . Fk (t).
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