Transcript ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Exercices

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´ ERALE
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ECOLE
POLYTECHNIQUE FED
DE LAUSANNE
Prof. Harald Brune
Exercices de Physique du Solide
Corrig´
e de la S´
erie No. 21
10 Avril 2014
Densit´
e de porteurs de charge dans les semiconducteurs
(a) La probabilit´e d’occupation fn pour les ´electrons ´etant la fonction de Fermi, celle
des trous s’´ecrit :
fp (E) = 1 − fn (E) =
1
1+
e−(E−µ)/kB T
(b) Si µ − Ev kB T , on peut alors n´egliger le terme ”1” devant l’exponentielle dans
l’´equation (1). On trouve alors alors :
fp (E) = e(E−µ)/kB T
(c) Compte tenu de la probabilit´e d’occupation pour les trous, on peut supposer la
bande de valence de largeur infinie. La densit´e de trous s’´ecrit alors :

 E
Zv
ZEv
gv (E)e(E−µ)/kB T dE =  gv (E)e(E−Ev )/kB T dE  e(Ev −µ)/kB T
p(T ) =
−∞
−∞
d’o`
u
p(T ) = P (T )e(Ev −µ)/kB T
o`
u P (T ) est la densit´e effective dans la bande de valence.
(d) En explicitant gv (E), la densit´e effective s’´ecrit :
1
P (T ) = 2
2π
En substituant x =
Ev −E
kB T
2mv
~2
3/2 ZEv
(Ev − E)1/2 e(E−Ev )/kB T dE.
−∞
et en utilisant
R∞
0
x1/2 e−x =
√
π
2
on trouve :
3/2
1 2mv kB T
P (T ) =
.
4
π~2
Donc P (T ) varie lentement avec la temp´erature par rapport au facteur exponentiel
dans p(T ). Cette relation indique la concentration maximale de trous dans un semiconducteur non-d´eg´en´er´e (cet-`a-dire pour lequel µ − Ev kB T et Ec − µ kB T ).
1
(e) Dans la bande de valence l’´energie d’un trou s’´ecrit (mod`ele des ´electrons libres) :
Ev − E =
p2
1
~2 k 2
= v = mv vv2 ,
2mv
2mv
2
donc le module de la vitesse d’un trou en fonction de son ´energie dans la bande de
valence est donn´ee par :
1/2
2(Ev − E)
vv (E) =
mv
(f) La moyenne des module des vitesse des trous est donn´ee par :
 E
  E

Zv
Zv
< vv >=  gv (E)fp (E)vv (E)dE  /  gv (E)fp (E)dE  .
−∞
−∞
Dans le cadre de l’approximation de Boltzmann cette ´equation s’´ecrit :

 E
Zv
< vv >=  gv (E)e(E−Ev )/kB T vv (E)dE  /P (T ).
−∞
En explicitant vv (E), P (T ) et gv (E) dans l’expression pr´ec´edente de < vv > on
obtient :
1/2 ZEv
E−Ev
8
kB T
< vv >=
(E
−
E)e
dE.
v
πmv (kB T )3
−∞
En substituant x =
Ev −E
kB T
et en int´egrant par parties on aboutit a` :
< vv >=
2
8kB T
πmv
1/2
.