Transcript TP2 - Institut de Mathématiques de Toulouse

IUT Ponsan
eme ann´
GEA 2`
ee (module Statistiques Inf´
erentielles)
TP de math´
ematiques
TP n◦ 2. TCL, Intervalles de confiance, Tests statistiques
1
L’ivrogne et le TCL
Exercice 1
Imaginons un ivrogne qui se d´eplace sur un r´eseau, par ex dans Z2 . Plus pr´ecis´ement, le marcheur se d´eplace de
points en points du r´eseau et `
a chaque unit´e de temps, le marcheur est tellement saoul qu’il choisit sa direction
au hasard...On consid`ere donc que l’individu se d´eplace vers le haut, vers le bas, vers la droite ou vers la gauche
avec ´equiprobabilit´e. Ainsi au bout d’un certain temps, le marcheur se trouve `a un certain endroit plus ou moins
loin de son point de d´epart.
Les Th´eor`emes de probabilit´es tel que le Th´eor`eme central limite permettent de localiser une zone o`
u le
marcheur a le plus de chance de se se trouver... Le but de cet exercice est d’illustrer ce fait, en ´etudiant la
position d’un marcheur que l’on consid´erera sur pour simplifier.
1. On suppose que le marcheur d´ebute son excursion au point origine 0. Effectuer 50 simulations de la position
du marcheur sur jusqu’au temps t = 100. On notera Xn la position du marcheur au temps n.
2. Cr´eer une ligne (ou une colonne) contenant les valeurs de la quantit´e
X100
√
100
des 50 simulations des marcheurs.
3. Calculer le max et le min de ces quantit´es. Que remarquez vous ? Conclusion ?
4. Regrouper par classe d’amplitude 0,1 `
a partir de la valeur minimale de la quantit´e
maximale, les effectifs de cette quantit´e.
X100
√
100
jusqu’`a sa valeur
5. Calculer alors les fr´equences correspondantes puis tracer l’histogramme. Conclusion ?
6. A l’aide la fonction loi.normale, calculer la probabilit´e qu’une v.a Z suivant une N (0; 1) appartienne `
a
chacune des classes de la question pr´ec´edente, puis tracer l’histogramme correspondant.
7. Comparer les deux graphiques obtenus. Conclusion ? Dans quelle zone le marcheur a le plus de chance de
se trouver au temps t = 100 ? Au temps t = n ?
********************
Traitez tous les exercices suivants en vous aidant d’Excel et du TCL.
********************
1
2
Intervalles de confiance
Exercice 2
Afin de mieux satisfaire leurs clients, une grande soci´et´e fournisseur d’acc`es internet fait des statistiques sur
le nombre d’appels re¸cus en hotline, elle pourra ainsi ´evaluer le temps d’attente pour le client et le nombre
d’employ´es `
a mettre au standard. Les r´esultats de l’enquˆete portent sur 200 s´equences cons´ecutives de une
minute, durant lesquelles le nombre d’appels moyen a ´et´e de 3 appels par minute. Pour simplifier, on supposera
qu’il y a au plus un appel par unit´e de temps qui est la seconde.
1. Quelle est la loi de probabilit´e du nombre d’appels re¸cus en 4 minutes ?
2. Montrer que l’on peut approcher cette loi par une loi de Poisson.
3. En d´eduire un intervalle de confiance pour le nombre moyen d’appels en 4 minutes (au seuil 5%).
4. Donnez un intervalle de confiance `
a l’aide du Th´eor`eme central limite. Comparez.
Exercice 3
L’´eclairage d’une commune est assur´e par 2000 lampes dont la dur´ee de vie moyenne est 1000 heures. Les
tests r´ealis´es pour obtenir cette ”esp´erance de vie” ont montr´e que la dur´ee de vie des lampes suivait une loi
normale d’´ecart-type estim´e `
a 200 heures. Les services d’entretien de la commune ont besoin pour leur gestion
de connaˆıtre
1. Le nombre de lampes hors d’usage au bout de 700 heures.
2. Le nombre de lampes `
a remplacer entre la 900e et la 1300e heure.
3. Le nombre d’heures qui se seront ´ecoul´ees pour que 10 % des lampes soient hors d’usage ?
********************
3
Test du χ2
Exercice 4
On cherche `
a comparer les distributions des groupes sanguins dans trois pays P1 , P2 et P3 . Dans ce but, on tire
au sort un ´echantillon de 100 individus dans chaque pays et on rel`eve sur chaque individu son groupe sanguin.
On obtient :
```
``
Groupe
``` sanguin
A
B
0
AB
```
Pays
`
P1
50
8
40
2
P2
42
10
32
16
P3
34
12
33
21
A la vue des ces donn´ees, peut on consid`erer que la distribution des groupes sanguin est diff´erente suivant le
pays ?
********************
4
Tests param´
etriques
Exercice 5
Une machine fabrique des pi`eces dont la longueur suit une loi normale N o µσ,o`
u µ et σ sont inconnus. Pour
tester l’hypoth`ese H0 := ”µ = 100 cm” contre H1 := ”µ 6= 100 cm” au risque 5%, on pr´el´eve :
1. un ´echantillon de taille n = 10 et on obtient une moyenne m = 99 cm et un ´ecart-type s = 2 cm. Doit on
rejeter H0 ?
2. un ´echantillon de taille n = 50 et on obtient une moyenne m = 99 cm et un ´ecart-type s = 2 cm. Doit on
rejeter H0 ?
Exercice 6
Dans une entreprise de conditionnement de colis, chaque employ´e est suppos´e, s’occuper de 45 colis par jours.
Le chef de service soup¸conne un employ´e Mr Slow, de travailler lentement et il effectue quelques mesures `
a son
2
insu. Il note, sur une p´eriode de 15 jours, le nombre de colis qu’il traite quotidiennement. Il obtient les r´esultats
suivants :
44, 38, 45, 46, 34, 39, 43, 40, 44, 48, 46, 41, 43, 44, 39.
Peut on consid`erer que Mr Slow, est plus lent que ses coll`egues de travail (au risque 5%).
(On supposera que le nombre de colis trait´es par un employ´e suit une loi normale)
********************
5
Tests de comparaison
Exercice 7
Pour comparer l’influence du climat sur le nombre de retard dans une entreprise, on consid`ere des entreprises
situ´ees dans deux r´egions A et B (avec un climat diff´erent) et on note sur une ann´ee le nombre de retards de
chaque entreprises dans chaque r´egion. On obtient :
R´egion A (9 entreprises)
100
94
119
111
113
84
102
107
99
R´egion B (8 entreprises)
107
115
99
111
114
127
145
140
On admet que les v.a XA et XB , d´esignant respectivement les nombres de retard sur une ann´ee dans la
r´egion A et B, suivent des lois normales.
1. Montrer qu’il n’y a pas lieu de penser que XA et XB aient des variances diff´erentes (au seuil 5%). Par la
suite, on notera σ 2 cette valeur commune.
2. Estimer σ 2 par intervalles de confiance au seuil 95%
3. Montrer que la r´egion A est plus propice `a la ponctualit´e.
Exercice 8
Une soci´et´e de location de voitures met en place une exp´erience afin de d´ecider si deux types de pneus sont
diff´erents ou non. Onze voitures sont conduites sur un parcours pr´ecis avec des pneus de type A. Ceux si sont
alors remplac´es par des pneus de type B et les voitures sont de nouveau conduites sur le mˆeme parcours.
Les consommations de carburant en litres/100km des voitures, pour chacun des deux types de pneus A et
B, sont des v.a not´ees XA et XB , et sont suppos´ees suivre des lois normales. L’exp´erience donne les r´esultats
suivants :
```
```
Voiture
```
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
```
Conso
XA
4,2 4,7 6,6
7
6,7 4,5 5,7
6
7,4 4,9 6,1
XB
4,1 4,9 6,2 6,9 6,8 4,4 5,7 5,8 6,9 4,9
6
Au niveau de signification 5%, quelle conclusion peut-on retenir ?
3