Transcript Brochure 2014-2015 - Laboratoire de Probabilités et Modèles

MASTER 2
sp´
ecialit´
e:
”Probabilit´
es et Mod`
eles Al´
eatoires”
UPMC
Brochure 2014–2015
Nouvelle habilitation, nouvelle plaquette
04/2014
1
OBJECTIFS
´ ET MODELES ALEATOIRES”
L’objectif de la sp´ecialit´e “PROBABILITES
de la seconde ann´ee du Master de l’UPMC, est de d´elivrer une formation de haut niveau
en probabilit´es th´eoriques et appliqu´ees.
En fonction des cours sp´ecialis´es suivis et du sujet de m´emoire ou de stage choisi
par l’´etudiant, deux orientations sont possibles : l’une plus centr´ee sur la Th´eorie des
Processus Stochastiques, l’autre sur les Probabilit´es Appliqu´ees.
CO-HABILITATIONS
Le master est co-habilit´e avec l’Ecole Normale Sup´erieure de Paris. La projet de
co-hablitation avec l’Ecole T´el´ecom ParisTech est en cours.
`
´ ECTION
´
CRITERES
DE SEL
Le principal crit`ere de s´el´ection est un pr´erequis solide en th´eorie de la mesure et de
l’int´egration, en calcul des probabilit´es et en math´ematiques g´en´erales.
Cette sp´ecialit´e s’adresse aux ´etudiants provenant du M1 de math´ematiques et aux
titulaires d’une maˆıtrise de Math´ematiques, de Math´ematiques Appliqu´ees, ou d’Ing´enierie
Math´ematique. Elle est ´egalement ouverte aux titulaires d’une maˆıtrise M.A.S.S., ou d’un
diplˆome d’ing´enieur (ou ´eventuellement de deux ans d’´etudes dans une ´ecole d’ing´enieurs),
sous r´
eserve d’une formation suffisante en math´
ematiques, et notamment en
probabilit´
es.
PREREQUIS POUR LES ETUDIANTS DE L’UPMC
Pour les ´etudiants de l’UPMC il est indispensable d’avoir valid´e pour de bonnes
notes
• Les cours Int´egration I et II en L3 LM364 et LM365.
et
• Le cours ”Probabilit´es de Base” LM390 au second semestre de L3 et le cours ”Probabilit´es Approfondies” MM011 au premier semestre de M1.
Il est possible d’ˆetre admis `a titre exceptionnel apr`es avoir valid´e
• au lieu des cours LM390 et MM011, le cours ”Probabilit´es de Base” MM010 au
premier semestre de M1 et le cours ”Processus de sauts” MM036 au second semestre de
M1. Cette admission se fait d’apr`es les recommendations personnelles des professeurs des
cours MM010, MM036 et/ou des charg´es de TD.
Il est indispensable d’avoir valid´e pour de bonnes notes d’autres modules de math´ematiques
pour avoir une culture large et solide.
Il est tr`es souhaitable d’avoir valid´e un cours de statistiques math´ematiques, par exemple MM051 ”Introduction `a la statistique”.
Par contre, d’autres cours en probabilit´es ne sont pas indispensables (le cours ”Mod`eles
stochastiques, applications `a la finance” MM054 ou le cours ”Programmation en C et
C++” MM056 ou autres).
2
´ E-ENSEIGNEMENT
´
TEL
Les ´etudiants salari´es peuvent pr´eparer le Master 2 ”Probabilit´
es et Mod`
eles
Al´
eatoires” en t´el´e-enseignement. Pour cela, vous devez vous connecter sur le site du
t´el´e-enseignement : http://tele6.upmc.fr afin de pouvoir t´el´echarger la fiche correspondante.
La liste de cours propos´es en t´el´e-enseignement est donn´ee dans la brochure de cette
ann´ee, elle est restreinte par rapport `a la liste de cours en enseignement en classe.
Les crit`eres de s´el´ection sont les mˆemes qu’en enseignement en classe.
´
´
DEBOUCH
ES
La vocation principale de la sp´ecialit´e est de former de futurs chercheurs en calcul de
probabilit´es. Pour cette raison, la majorit´e des ´etudiants qui r´eussissent cette sp´ecialit´e
s’orientent ensuite vers le Doctorat, troisi`eme composante du LMD en pr´eparant une
th`ese.
La th`ese peut ˆetre pr´epar´ee apr`es l’obtention du Master en s’inscrivant en Doctorat
pour une dur´ee de 2 `a 4 ans en principe. Cette inscription est subordonn´ee `a l’acceptation
de l’´etudiant par un “ directeur de th`ese”.
Des allocations de recherche sont attribu´ees aux ´etudiants en th`ese, sur crit`eres p´edagogiques.
Plusieurs ´etudiants pr´eparent une th`ese au sein du Laboratoire de Probabilit´es et
Mod`eles Al´eatoires, voir le site: http://www.proba.jussieu.fr Ce laboratoire des Universit´es Pierre et Marie Curie et Denis Diderot, associ´e au C.N.R.S., assure la maˆıtrise
d’oeuvre de la sp´ecialit´e. Il est l’un des centres de recherche les plus actifs dans le monde
dans le domaine des probabilit´es et des processus stochastiques. Le Laboratoire regroupe
environ 60 enseignants et chercheurs, sans compter les nombreux ´etudiants en th`ese. Les
th`emes de recherche principaux sont les suivants :
Les ´etudiants peuvent aussi p´eparer une th`ese au sein d’autres laboratoires de recherche
(universitaires ou de grandes ´ecoles) ainsi que dans des instituts de recherche (l’INRIA,
l’INRA, et autres) en France et `a l’´etranger, et ´egalement en entreprise sous la forme de
contrats CIFFRE (ORANGE, EDF, CEA, AREVA, SAFRAN, ...).
Cette formation fournit aussi des d´
ebouch´
es professionnels imm´
ediats dans des
entreprises, notamment dans des banques, des soci´et´es d’assurance, ou des organismes
financiers.
Finalement, ce master constitue un atout de carri`ere pour les enseignants de math´ematiques
agr´eg´es dans des lyc´ees et des classes pr´eparatoires.
3
´ : Cours, stage, m´
ORGANISATION DE L’ANNEE
emoire
Premier semestre(30ECTS)(Septembre-Janvier) L’ann´ee commence par un cours intensif de la pr´erentr´ee en septembre : son objectif est de faire un point sur les connaissances
en probabilit´es acquises en M1 qui seront constamment utilis´ees en M2. Ce cours dure
deux semaines, 3h par jour, et ne donne pas lieu `a un examen.
Au premier semestre tous les ´etudiants suivent trois cours :
• ”Processus de Markov I (9ECTS)”,
• ”Calcul Stochastique et Processus de Diffusions(9ECTS)”,
• ”Th´eor`emes Limites pour les Processus Stochastiques (6ECTS)”.
Ces cours pr´esentent les aspects fondamentaux du domaine et forment la base sur laquelle s’appuient les cours sp´ecialis´es du second semestre. Les ´etudiants valident aussi en
compl´ement un cours au choix parmi :
• ”Processus de Markov II(6ECTS)”,
• ”Introduction `a la th´eorie ´ergodique(6ECTS)”,
• ”Statistique et Apprentissage(6ECTS)”.
Au premier semestre, le volume horraire de cours de 9ECTS est de 48h, celui de cours de
6ECTS est de 24h.
Deuxi`
eme semestre (30 ECTS) (F´evrier-Juin). Les ´etudiants doivent valider au moins
DEUX parmi sept cours sp´ecialis´es:
• ”Probabilit´es, Matrices Al´eatoires et Combinatoire(6ECTS)”,
• ”Probabilit´es, Graphes Al´eatoires et Physique(6ECTS)”,
• ”Probabilit´es Num´eriques et Informatique(6ECTS)”
• ”M´ethodes Stochastiques II(6ECTS)”
• ”Probabilit´es, Neurosciences et Biologie Evolutive(6ECTS)”
• ”Probabilit´es et Sciences M´edicales(6 ECTS)”
Ces cours pr´esentent plusieurs domaines `a la pointe de la recherche en Probabilit´es
Th´eoriques et Appliqu´ees. Le contenu de chacun des cours de cette ann´ee est d´ecrit dans
la brochure.
Les cours du second semestre conduisent les ´etudiants `a une premi`ere confrontation avec la recherche sous la forme d’un m´emoire(18ECTS) ou d’un stage(18ECTS).
Le m´
emoire consiste en g´en´eral en la lecture approfondie d’un ou plusieurs articles
de recherches r´ecents, sous la direction d’un membre du Laboratoire de Probabilit´es et
Mod`eles Al´eatoires ou d’un enseignant de la sp´ecialit´e. Il doit ˆetre redig´e en Latex et
soutenu devant un jury.
Le m´emoire peut-ˆetre remplac´e par un rapport de stage. Le stage s’effectue dans un
organisme de recherche ou un bureau d’´etudes, sous la direction conjointe d’un ing´enieur
de l’organisme d’accueil et d’un enseignant de la sp´ecialit´e.
4
Comme le travail de m´emoire ou de stage s’appuie sur les connaissances obtenus en
cours, ce travail ne peut pas ˆetre entam´e par un ´etudiant qui n’a valid´e en Janvier les
cours de base du premier semestre.
RESPONSABLES
Responsable p´
edagogique : Madame Irina KOURKOVA,
professeur du laboratoire de Probabilit´es et Mod`eles Al´eatoires
de l’Universit´e P. et M. Curie
Responsable administrative : Madame Josette SAMAN
Couloir 16–26, 1er ´etage, bureau 08
Campus Jussieu, Laboratoire de Probabilit´es et Mod`eles Al´eatoires
Universit´e Pierre et Marie Curie
B.C. 188
4, place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05.
Son bureau est ouvert le lundi, mardi (ferm´e le mercredi) jeudi, vendredi, de 10 h – 12 h,
14 h –17 h.
T´el : (33/0) 1 44 27 53 20
Fax : (33/0) 1 44 27 76 50
E-mail : [email protected]
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COMMENT POSTULER ?
1. Faire acte de candidature sur le site de la scolarit´e de l’UPMC `a partir du mois
d’avril jusqu’`a la date limite d’inscription (voir Calendrier 2012–2013) :
http://www.upmc.fr/fr/formations/inscriptions scolarite.html
afin de vous procurer un num´ero d’´etudiant et un mot de passe.
2. T´el´echarger la fiche d’inscription p´edagogique sur le site
http://www.proba.jussieu.fr/master2/master2.html
et la remplir soigneuseument avec tous les d´etails d´emand´es. Chaque case doit
ˆetre renseign´ee. Les renvois au r´el´ev´es des notes et les omissions sont inacceptables.
3. Composer le dossier d’inscription p´edagogique :
(a) Acte de candidature (obligatoire !) obtenu `a l’´etape 1.
(b) Fiche d’inscription p´edagogique remplie `a l’´etape 2.
(c) Curriculum Vitae
(d) Photocopies de diplˆomes et/ou de relev´es de notes de Licence et Master 1 (ou
´equivalents) et des ´ecoles d’ing´enieurs confirmant les renseignements remplis
dans la fiche p´edagogique.
(e) Une photo d’identit´e
(f) Une lettre de motivation n’est pas obligatoire. Il est conseill´e de l’´ecrire uniquement si vous avez des renseignements particuliers `a communiquer.
(g) Deux enveloppes timbr´ees (11cm × 22 cm) avec votre nom et adresse.
Pri`ere de ne pas joindre vos r´esultats au BAC.
4. Envoyer ce dossier d’inscription p´edagogique `a l’adresse :
Madame Josette Saman
Laboratoire de Probabilit´es et Mod`eles Al´eatoires
B.C. 188
Universit´e Pierre et Marie Curie (Paris 6)
4, place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05
FRANCE
ou le d´eposer le lundi, mardi, (ferm´e le mercredi) jeudi, vendredi, de 10h – 12h, 14h
–17h `a
Madame Josette Saman
Couloir 16–26, 1er ´etage, bureau 08,
campus Jussieu,
Laboratoire de Probabilit´es et Mod`eles Al´eatoires
B.C. 188
Universit´e Pierre et Marie Curie (Paris 6)
4, place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05.
5. La r´eponse va vous ˆetre envoy´ee par courrier dans l’enveloppe timbr´ee jointe au
dossier.
Vous pourrez ´egalement la consulter sur le site de la scolarit´e de l’UPMC, o`
u vous
devez vous connecter en utilisant votre num´ero d’´etudiant et votre mot de passe.
6
6. En cas de r´eponse positive, il est indispensable de valider votre voeu sur le site :
http://www.upmc.fr/fr/formations/inscriptions scolarite.html
en utilisant votre num´ero d’´etudiant et votre mot de passe.
Attention aux candidats ´
etrangers hors union europ´
een ayant besoin d’un
titre de s´
ejour pour arriver en France!
La procedure pour votre titre de s´ejour a chang´e en 2011. Une note concernant la
nouvelle procedure est affich´ee sur la page web.
N´eanmoins pour que votre candidature soit prise en consid´eration par le r´esponsable
du master, il est indispensable de passer par les ´etapes 2–5 ci-dessus : c’est-`a-dire l’envoi
de votre dossier par la poste, avec la fiche d’inscription dˆ
ument remplie et sign´ee.
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CALENDRIER 2014–2015.
• Inscription administrative sur le site de la scolarit´e de l’Universit´e Paris P. et M.
Curie : d’Avril 2014 `a Juillet 2014(dates `a preciser).
• Une r´eunion d’information se tiendra le 23 Mai 2014 `a 17 heures dans la salle 104,
1er ´etage dans le couloir entre les tours 15–25, au campus Jussieu (4, place Jussieu)
`a Paris. Tous les candidats sont invit´es.
• La date limite de depˆots des dossiers d’inscription p´edagogique est fix´ee au 01
septembre 2014, le cachet de la poste faisant foi.
N´eanmoins, pour avoir la r´eponse au mois de juillet, il est indispensable que votre
dossier parvienne au secr´etariat avant le 08 Juillet 2014 a 16h.
La r´eponse aux candidats faisant parvenir leur dossier `a partir du 09 Juillet 2014
sera donn´ee entre le 01 et le 10 Septembre 2014.
• Le premier semestre debute le 15 septembre et se termine en Janvier.
• Les examens des cours du premier semestre auront lieu lors de la deuxi`eme moiti´e
du mois de Janvier 2015.
• Une r´eunion d’information sur les cours du second semestre aura lieu `a la fin du
mois de Janvier 2015.
• Le deuxi`eme semestre commencera en F´evrier 2015 et se terminera en Mai 2015.
Une pause de deux semaines est pr´evue pendant les vacances de Pacques.
• Les examens des cours du second semestre auront lieu lors de la premi`ere moiti´e du
mois de Juin 2015.
• Les examens de rattrapage pour tous les cours auront lieu lors de la deuxi`eme moiti´e
du mois de Juin.
• Pour les ´etudiants d´esirant valider le Master en Juillet, le m´emoire (ou le stage) doit
ˆetre soutenu au plus tard le 30 Juin 2015.
• Pour les ´etudiants d´esirant valider le Master en Octobre, le m´emoire (ou le stage)
doit ˆetre soutenu au plus tard le 30 Septembre 2015.
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COURS
Cours pr´
eliminiare :
Ph. BOUGEROL : Rappels de probabilit´
es
Cours fondamentaux du premier semestre :
L. ZAMBOTTI : Mouvement Brownien et Processus de Diffusion (9
E.C.T.S)
I. KOURKOVA, Th. DUQUESNE : Processus de Markov I (9 E.C.T.S)
Z. SHI :
E.C.T.S)
Th´eor`emes Limites pour les Processus Stochastiques. (6
Cours au choix du premier semestre :
Th. DUQUESNE : Processus de Markov II (6 E.C.T.S)
R. KRIKORIAN : Introduction `
a la Th´eorie Ergodique (6 E.C.T.S)
G. BIAU : Statistique et Apprentissage (6 E.C.T.S)
Cours sp´
ecialis´
es du deuxi`
eme semestre
Probabilit´es et Matrices Al´eatoires (6 E.C.T.S)
Ph. BIANE : Matrices al´eatoires et combinatoire
´
´ : Spectre de grandes matrices al´eatoires
S. PECH
E
Probabilit´es, Graphes Al´eatoires et Physique (6 E.C.T.S)
`
C.BOUTILLIER et B. DE TILIERE
: Dim`eres et pavages al´eatoires
G.GIACOMIN : Syst`emes en interaction : du microscopique au macroscopique
´ : Processus ponctuels, graphes
B.BLASZCZYSZYN et L. MASSOULIE
al´eatoires et g´eom´etrie stochastique
Probabilit´es, M´ethodes Num´eriques et Informatique (6 E.C.T.S)
G. PAGES : Arrˆet optimal : th´eorie, m´ethodes num´eriques et applications
M. ROSENBAUM : Th´eor`emes limites pour les semi-martingales, application `a la statistique des donn´ees haute fr´equence en finance
Ph. ROBERT : Analyse probabiliste d’algorithmes
M´ethodes Stochastiques II (6 E.C.T.S)
L. DECREUSEFOND et A.S. USTUNEL : Calcul de Malliavin
R. DOUC et E. MOULINES : Chaˆınes de Markov : stabilit´e, convergence,
applications.
9
D. TALAY et M. BOSSY : Processus de diffusion en temps long et m´ethodes
particulaires stochastiques pour les EDP
J. JACOD : El´ements de calcul stochastique discontinu
(`
a confirmer)
Probabilit´es, Neurosciences et Biologie Evolutive (6 E.C.T.S)
M. THIEULLEN : Mod`eles et m´ethodes en neurosciences
A. LAMBERT : Arbres al´eatoires pour la biologie evolutive
Probabilit´es et Sciences M´edicales(6 E.C.T.S)
G. THOMAS et P.-Y. BOELLE :
bact´eries aux antibiotiques
Mod´elisation de la r´esistance des
G. NUEL : Propagation d’´evidence dans les r´eseaux bay´esiens
Cours expos´
es en t´
el´
e-enseignement
Tous les cours du premier semestre
Les cours sp´ecialis´es ”Probabilit´es, Neurosciences et Biologie Evolutive” et ”Probabilit´es, M´ethodes Num´eriques et Informatique” du second semestre.
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Rappels de Probabilit´es
Ph. Bougerol
1er semestre, 2 semaines en septembre, 30h.
Ce cours pr´eliminaire est destin´e `a faire le point sur des notions fondamentales de
Probabilit´es abord´ees en M1 et utilis´ees syst´ematiquement par la suite dans les cours du
M2. Parmi ces notions on peut citer :
– ´el´ements de la th´eorie de mesure et int´egration
– le conditionnement
– les diff´erentes notions de convergence
– les martingales `a temps discret.
Le cours sera compl´et´e par des s´eances d’exercices et une bibliographie pouvant servir de
r´ef´erence tout au long de l’ann´ee de M2.
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Calcul Stochastique et Processus de Diffusions
L. Zambotti
1er semestre, (octobre – d´ebut janvier), 4h par semaine.
Dans ce cours nous allons introduire les techniques de bases du calcul stochastique :
1) le mouvement brownien, la continuite’ de ses trajectoires, la proprie’te’ de Markov
(forte)
2) l’inte’gration stochastique par rapport a‘ une martingale de carre’ inte’grable, la
formule d’Ito, le the’ore‘me de Girsanov
3) les e’quations diffe’rentielles stochastiques (EDS) et leurs solutions faibles ou fortes
(dites diffusions), les liens avec les e’quations aux de’rive’es partielles
4) la formule d’Ito-Tanaka, le temps local du mouvement brownien, les EDS re’fle’chies
5) EDS a‘ coefficients non-lipschitziens, processus de Bessel
R´ef´erences bibliographiques
Ikeda, N. et Watanabe, S. : Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes ; 2e ´edition. North Holland, 1988.
Le Gall, J.-F. : Mouvement Brownien, Martingales et Calcul Stochastique. Springer,
Collection: Mathe’matiques et Applications, Vol. 71 2013, VIII.
Karatzas, I. et Shreve, S. : Brownian Motion and Stochastic Calculus ; 2e ´edition
corrig´ee. Springer, 1994.
M¨
orters, P. et Peres, Y. : Brownian Motion. Cambridge University Press, 2010.
Revuz, D. et Yor, M. : Continuous Martingales and Brownian Motion, 3e ´edition.
Springer, 1999.
Rogers, L.C.G. et Williams, D. : Diffusions, Markov Processes and Martingales,
Vol. II, Itˆ
o Calculus. Wiley, 1987.
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Processus de Markov I
I. Kourkova, Th. Duquesne
1er semestre, 1`ere – 8`eme semaines (septembre – debut novembre), 6h par semaine.
Chaˆınes de Markov sur un espace d’´etats d´enombrable : classification, mesures invariantes, comportement limite, th´eor`emes ergodiques. On consid`erera des chaˆınes de Markov
apparaissant en biologie (mod`eles de Wright-Fisher, de Moran), en dynamique des population (chaˆıne de naissance et de mort, mod`ele de Galton-Watson) et en m´ecanique statistique. Processus de Markov de saut pur (Chaˆınes de Markov sur un espace d´enombrable
en temps continu.), leur matrice d’intensit´e, les ´equations de Kolomogrov, le ph´enom`ene
d’explosion, le comportement limite, la r´eversibilit´e. On consid`erera des applications en
biologie et des mod`eles d r´eseaux stochastiques.
Processus de Markov sur un espace mesurable g´en´eral, familles de Markov F´elleriennes,
propri´et´e de Markov forte. Le semi-groupe, le g´en´erateur et la r´esolvante, divers exemples
de calculs dont le g´en´erateur du mouvement Brownien et autres. Le th´eor`eme affirmant que le g´en´erateur d´etermine le s´emi-groupe `a travers la r´esolvante. Calcul de la
mesure invariante et de lois de fonctionnelles d’un processus de Markov `a partir de son
g´en´erateur. Formule de Feynman-Kac. Probl`eme de martingales. Solutions des ´equations
diff´erentielles stochastiques en tant que processus de Markov. Leurs g´en´erateurs. Leurs
fonctionnelles ”arrˆet´ees”. Liens avec les ´equations aux d´eriv´ees partielles elliptiques avec
de diff´erentes conditions au bord.
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Th´eor`emes Limites pour les Processus Stochastiques.
Z. Shi
1er semestre, 3`eme – 8`eme semaines (octobre – mi-novembre), 4h par semaine.
Convergence des mesures :
Tension, Th´eor`eme de Prokhorov, repr´esentation de Skorokhod. Th´eor`eme de Donsker.
Convergence fonctionnelle des processus continus, et applications.
Topologie de Skorokhod et convergence des processus `a trajectoires cdlag ; crit`ere d’Aldous.
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Processus de Markov II
Th. Duquesne
1er semestre, 10`eme – 15`eme semaines (fin novembre – d´ebut janvier), 6h par semaine
sur 4 semaines, ou 4h par semaine sur 6 semaines.
Objectifs de l’UE : ce cours est un approfondissement du cours ”Processus de
Markov I”. On y ´etudie les processus de L´evy ainsi que certains processus de branchement.
On introduira les mesures ponctuelles de Poisson et on exposera la th´eorie des excursions
avec des applications aux processus de L´evy.
Pr´
erequis : il est fortement recommand´e d’avoir suivi le cours ”Processus de Markov
I” et le cours sur les th´eor`emes limites.
Th`
emes abord´
es :
• Retour sur les processus de Feller.
• Mesures ponctuelles de Poisson.
• Processus de L´evy.
• Processus de branchement `a espace d’´etats continu.
• Th´eorie des excursions.
15
Introduction `a la Th´eorie Ergodique
R. Krikorian
1er semestre, 10`eme – 15`eme semaines (fin novembre – d´ebut janvier), 6h par semaine
sur 4 semaines, ou 4h par semaine sur 6 semaines.
Syst`emes dynamiques topologiques : r´ecurrence, transitivit´e, minimalit´e, m´elange
topologique, application au th´eor`eme de Van der Waerden ; syst`emes dynamiques mesurables
: mesures invariantes, r´ecurrence (th´eor`eme de Poincar´e) ; mesures ergodiques, Th´eor`emes
ergodiques (Von Neuman, Birkhoff, th´eor`eme maximal ergodique).
Th´eorie Spectrale : th´eorie spectrale des op´erateurs unitaires, invariants spectraux des
syst`emes dynamiques, th´eor`eme de Halmos-Von Neuman (spectre pp), m´elange, m´elange
faible, multiplicit´e spectrale et th´eor`eme spectral.
Exemples
a) en dimension 1 : rotations, ´echange d’intervalles (ergodicit´e, finitude du nb de mesures
ergodiques...), homomorphismes du cercle, applications dilatantes
b) Rˆole de l’hyperbolicit´e
c) Propri´et´es ergodiques des flots g´eod´esiques et horocycliques
16
Statistique et Apprentissage
G. Biau
1er semestre, 10`eme – 15`eme semaines (fin novembre – d´ebut janvier), 6h par semaine
sur 4 semaines, ou 4h par semaine sur 6 semaines.
Objectifs : Ce cours vise `a donner aux ´etudiants les bases fondamentales du raisonnement
et de la mod´elisation statistique, tout en pr´esentant une ouverture vers des th´ematiques
de recherche contemporaines. L’accent sera particuli`erement mis sur l’utilisation pratique
des nouveaux objets rencontr´es.
Pr´errequis : Une bonne connaissance du calcul des probabilit´es et de lalg`ebre lin´eaire.
Th`emes abord´es :
- Rappels de probabilit´es, estimation ponctuelle, estimation par intervalles, tests.
- Mod`ele lin´eaire : estimation, intervalles de confiance et tests.
- Introduction l’apprentissage statistique et `a la classification supervis´ee.
- Minimisation du risque empirique, th´eor`eme de Vapnik-Chervonenkis.
- R`egles de d´ecision non param´etriques (m´ethode des k plus proches voisins et arbres
de d´ecision).
- Quantification et classification non supervis´ee.
17
Probabilit´es et Matrices Al´eatoires.
PARTIE I : S. P´
ech´
e, Spectre de grandes matrices al´eatoires
PARTIE II : Ph. Biane, Probabilit´es et Combinatoire.
2`eme semestre, F´evrier-Mai.
Objectifs de l’UE : D´emontrer des liens importants entre la combinatoire, la th´eorie des
grandes matrices al´eatoires et le Calcul de Probabilit´es, introduire `a la recherche actuelle
de pointe dans ces domaine.
Th`
emes abord´
es dans le module: Ce module sera divis´e en deux cours : le premier
plus analytique concernera principalement l’´etude des propri´et´es asymptotiques du spectre
de grandes matrices al´eatoires (S. P´ech´e). Le second cours (Ph. Biane) plus alg´ebrique
pr´esentera une ´etude de mod`eles probabilistes dans lesquels la combinatoire joue un grand
rˆole (comme par exemple les permutations ou partitions al´eatoires mais aussi des mod`eles
de m´ecanique statistique exactement r´esolubles). La mise en parall`ele des deux approches
propos´ees dans ces deux modules est assez fructueuse. D’un cˆot´e les techniques de matrices
al´eatoires peuvent s’adapter `a l’´etude de certains mod`eles combinatoires (on retrouvera
par exemple les lois de Tracy-Widom pour d´ecrire les fluctuations de plus longues soussuites croissantes de permutations al´eatoires). D’un autre cˆot´e la combinatoire permet de
relier les objets ´etudi´es en matrices al´eatoires (e.g. lois des valeurs propres extrˆemes)
a‘ des mod`eles probabilistes combinatoires (processus stochastique sur les tableaux de
Young) et d’ouvrir sur de nombreuses applications.
Contenu des deux parties : Matrices al´eatoires : on ´etudiera le comportement asymptotique global du spectre de matrices al´eatoires en grande dimension (Th´eor`eme de Wigner
et loi du 1/2 cercle ). Une ´etude des propri´et´es plus fines du spectre (espacement entre
valeurs propres et loi des valeurs propres extrˆemes) sera d´etaill´ee pour des matrices gaussiennes (GUE, GOE). Les questions d’universalit´e de ces propri´et´es seront ensuite abord´ees
ainsi que les applications de ces r´esultats `a diff´erents domaines (physique math´ematique,
finance ...) - Probabilit´es et combinatoire : diff´erents mod`eles probabilistes combinatoires
seront ´etudi´es (Ensemble Circulaire Unitaire, permutations al´eatoires et plus longues soussuite croissante)....
Pr´e-requis : Les cours ”Mouvement Brownien et processus de diffusion”, ”Th´eor`emes
limites pour les processus stochastiques , ”Processus de Markov”.
18
Probabilit´es, Graphes Al´eatoires et Physique
PARTIE I : C.Boutillier et B. De Tili`
ere, Dim`eres et pavages al´eatoires
´
Un domino est l’union de deux carr´es unit´e partageant une arˆete. Etant
donn´e un
rectangle m × n, est-il possible de le paver avec des dominos, c’est-`a-dire de couvrir sa
surface avec des dominos sans qu’il y ait de chevauchements ? Si oui, de combien de fa¸cons
` quoi ressemble un pavage typique ? Qu’en est-il pour un autre domaine obtenu en
? A
d´ecoupant une portion du r´eseau Z2 le long d’arˆetes ?
En rempla¸cant Z2 par le r´eseau triangulaire et les dominos par des losanges obtenus
en accolant deux triangles adjacents, on obtient un mod`ele de pavages par losanges. Les
pavages par dominos et par losanges sont des exemples de mod`eles de dim`eres. Ces
mod`eles ´etudi´es par les physiciens (Fisher, Kasteleyn, Temperley. . . ) dans les ann´ees
1960 ont connu un regain d’int´erˆet dans la communaut´e math´ematique `a la fin des ann´ees
1990 qui a conduit `a des d´eveloppements impressionants de la th´eorie (Cohn, Johansson,
Kenyon, Okounkov, Propp, Sheffield, Wilson. . . )
Nous ´etudierons d’abord certains aspects combinatoires relatifs au d´enombrement des
configurations de ces mod`eles, ainsi que les relations avec d’autres mod`eles combinatoires
(surfaces al´eatoires, arbres couvrants, marches al´eatoires `a boucles effac´ees,. . . ).
Ensuite, nous discuterons de la forme typique d’un pavage par dominos d’un grand domaine (ph´enom`ene du cercle arctique, forme limite d´eterministe). Les fluctuations autour
du comportement limite macroscopique peuvent ˆetre reli´ees au spectre des grandes matrices al´eatoires d’une part, et au champ libre gaussien sans masse d’autre part, impliquant
des propri´et´es d’invariance conforme de ces mod`eles dans la limite d’´echelle.
Puis, nous ´etudierons ces mod`eles sur des r´eseaux bipartis p´eriodiques planaires infinis,
en donnant une classification des mesures de Gibbs ergodiques, et en mettant en relief le
lien entre quantit´es probabilistes et objets alg´ebriques li´es `a la structure de ces r´eseaux.
Pr´erequis pour la partie 1. Programme de probabilit´es de M1. Des notions sur les processus gaussiens et les matrices al´eatoires pourront ˆetre appr´eci´ees pour certaines parties
du cours, mais seront rappel´ees le moment venu.
PARTIE II : G.Giacomin, Syst`emes en interaction : du microscopique au
macroscopique
Cette partie est une introduction aux syst`emes compos´es d’un grand nombre N de
particules (composantes, mol´ecules, unit´es, individus,...) interagissantes et `a la description
des comportements observ´es dans la limite de N qui tend vers l’infini. Les syst`emes
consid´er´es sont mod´elis´es par des ´equation diff´erentielles (stochastiques, dans la plupart
des cas) en grande dimension ou par des processus de saut, notamment dans le cas de
dynamiques sur un r´eseau. Un tel syst`eme s’´ecrit de mani`ere pr´ecise par un processus de
Markov a valeur dans un gros espace.
Une description d´etaill´ee de ces syst`emes devient de plus en plus complexe quand
N devient tr`es grand et une description plus grossi`ere, focalis´ee sur certaines quantit´es
bien choisies, se rend n´ecessaire. Sous conditions convenables la dynamique de ces quantit´es peut ˆetre d´ecrite par des dynamiques limites r´egies par exemple par des ´equations
diff´erentielles aux d´eriv´ees partielles (EDP). Ces ´equations ne sont ferm´ees que dans la limite N tendant vers infini, grˆace aux mesures invariantes du syst`eme vu comme un processus
de Markov. Dans ce contexte on peut donc motiver de fac,on rigoureuse l’utilisations des
EDP dans la mod´elisation de certains ph´enom`enes et aussi en comprendre les limitations,
notamment les d´eviations pour N fini et pour temps longs.
19
Les deux classes de mod`eles qui seront consid´er´es en d´etail sont : 1. Syst`emes avec
interaction `a longue port´ee, de type champ moyen, et convergence vers des EDP de type
Fokker-Planck. 2. Syst`emes de particules avec exclusion et interactions locales, et limites
vers des EDP paraboliques et hyperboliques.
Pr´erequis pour la partie 2 : des cours de base de probabilit´es, processus stochastiques et
´equations diffe´rentielles.
PARTIE III : B.Blaszczyszyn et L. Massouli´
e, Processus ponctuels, graphes
al´eatoires et g´eom´etrie stochastique
Cette partie du cours introduira d’abord les bases de la th´eorie des processus ponctuels
et de celle des graphes al´eatoires. Dans un deuxi`eme temps, il se concentrera sur les objets
fondamentaux de la g´eom´etrie stochastique et sur les propri´et´es des processus ponctuels
et des graphes al´eatoires qui sont associ´ees `a ces objets.
Les illustrations seront principalement issues de probl`emes de mod´elisation probabiliste des r´eseaux de communication.
PROCESSUS PONCTUELS ET MESURE DE PALM. Cette partie du cours introduit les
outils math’ematiques n´eecessaires pour mod´eeliser des r´eseaux avec les noeuds ayant des
localisations ”physiques” (comme par exemple, les r´eseaux de communication sans fils).
On donnera d’abord la d´efinition et les propriet´es de base du processus de Poisson dans
l’espace g´en´eral, avec, comme le r´esultat principal, la caract´erisation de Slivnyak-Mecke
par ses mesures de Palm. Ensuite, nous allons introduire et ´etudier la probabilit´e de
Palm dans un cadre stationnaire pour des processus ponctuels dans lespace euclidien de
dimension finie. Plusieurs r´esultats d´emontr´es (comme, par exemple, la formule inverse,
la formule d’´echange de Neveu) permettent d’apprendre `a manipuler la notion du point
”typique” du processus ponctuel. C’est ici, que la mosa¨ıque de Voronoi jouera un rˆole
tr`es important. Nous allons aussi bri`evement ´evoquer la th´eorie ´ergodique dans ce cadre
stationnaire.
GRAPHES ALEATOIRES. Cette partie du cours est motiv´ee par l’analyse de la diffusion
d’information dans des grands syst`emes tels que les r´eseaux sociaux. Elle comprend une
introduction aux mod`eles probabilistes ´epid´emiques classiques (SI, SIS) et aux graphes
al´eatoires d’Erd¨os-R´enyi ainsi qu’`a leurs relations. Certains ph´enom`enes de transition
de phase dans la propagation d’´epid´emies et dans la topologie de ces graphes al´eatoires
seront analys´es (´emergence d’un ”composant g´eant” et ´emergence de la connectivit´e). Des
mod`eles dits d’attachement pr´ef´erentiel pour l’apparition de topologies particuli`eres de
r´eseaux seront pr´esent´es. L’impact de la g´eom´etrie d’un graphe social sur le comportement
d’´epid´emies qui s’y diffusent sera ´etudi´e, mettant en avant le rˆole du rayon spectral et
de la constante isop´erim`etrique du graphe sous-jacent. Enfin on pourra aborder des
probl´ematiques algorithmiques d’optimisation de la taille d’´epid´emies, motiv´ees par le
”marketing viral”. Les outils math´ematiques introduits dans cette partie du cours seront le
couplage, l’approximation Poissonnienne, les in´egalit´es de grandes d´eviations ´el´ementaires,
les fonctions sous-modulaires.
GEOMETRIE STOCHASTIQUE. On s’int´eressera d’abord au mode‘le Boole´en, ses propri´et´es de couverture et de connexit´e. On d´emontrera notamment la transition de phase
dans son mode‘le de percolation. On introduira aussi d’autres mode‘les classiques de
g´eom´etrie stochastique associ´es `a des processus ponctuels de l’espace euclidien.
20
Probabilit´es, M´ethodes Num´eriques et Informatique
PARTIE I : G. Pages, Arrˆet optimal : th´eorie, m´ethodes num´eriques et applications
• Arrˆet optimal en temps continu (cas r´egulier) : rappels sur les supremum essentiels,
les surmartingales et martingales en temps continu (r´egularisation, d´ecomposition
de Doob-Meyer ...).
• Enveloppe de Snell, caract´erisation des temps d’arrˆet optimaux, plus petit et plus
grand temps d’arrˆet optimal, formulation duale de l’enveloppe Snell.
• Introduction la th´eorie de l’AOA sur les march´es financiers (complets).
• Valorisation d’options am´ericaines en march´e complet (march´e brownien avec actifs
multidimensionnels sous forme de processus d’Itˆo) : lien avec l’arrˆet optimal en
temps continu, portefeuille de r´eplication, strat´egie de couverture.
• Formulations duales (Rogers 2002 ; Haugh-Kogan 2002 ; Jamshidian 2005).
• Etude analytique du prix de l’option am´ericaine dans le cadre du mod`ele de BlackScholes : propri´et´e de continuit´e, de monotonie, de convexit´e, in´equations variationnelles, fronti`re libre, formule semi-ferm´ee vi la fronti`ere libre, smooth-fit.
´
• Etude
d’exemples.
M´
ethodes num´
eriques (´
el´
ements)
Description et analyse succincte de quelques m´ethodes num´eriques de valorisation et
de couverture pour les options am´ericaiens via des approximations bermud´eennes.
• It´eration sur les fonctions valeurs: r´egression non param´etrique (Carri`ere 1996),
maillage al´eatoire (Broadie-Glasserman 1997), quantification optimale (Bally-Pag`es
2001), calcul de Malliavin (Lions-R´egnier 2001).
• It´eration sur les temps d’arrˆet: approximation de la valeur de continuation par
projection L2 (Longstaff-Schwartz 2001).
• Calcul des couvertures: m´ethode de flot (Piterbarg 2002), m´ethodes de projection,
de r´egression.
PARTIE II : M. Rosenbaum, Th´eor`emes limites pour les semi-martingales,
application `a la statistique des donn´ees haute fr´equence en finance
La disponibilit´e de donn´ees haute fr´equence ainsi qu’une compr´ehension de plus en plus
fine des ph´enom`enes de microstructure ont ouvert de nouvelles perspectives en finance
de march´e. En particulier, le trading haute fr´equence est n´e de la volont´e d’optimiser
les transactions en profitant de ce nouveau contexte. Son essor r´ecent a n´ecessit´e le
d´eveloppement de m´ethodes originales de math´ematiques financi`eres et de statistique des
processus. Un nombre grandissant d’´equipes de trading propri´etaires, de salles de march´es
et de hedge funds y ont aujourd’hui constamment recours.
21
Le cours se d´eroulera en deux parties. Dans la premi`ere, on mettra en place des techniques
probabilistes associ´ees aux processus de type semi-martingale. En effet, ces processus sont
non seulement au coeur des math´ematiques financi`eres usuelles (car ils sont essentiellement
les seuls compatibles avec la propri´et´e de non arbitrage) mais ils repr´esentent aussi un
outil de mod´elisation puissant dans le cadre haute fr´equence. Dans la seconde partie du
cours, on s’int´eressera plus pr´ecis´ement `a la mod´elisation financi`ere haute fr´equence ainsi
qu’`a l’estimation des quantit´es statistiques pertinentes pour le trading.
Plan :
Partie I :
I.1) Rappels sur la th´eorie des processus
I.2) Semi-martingales
I.3) Convergences fonctionnelles et th´eor`emes limites
I.4) Application: Estimation de la volatilit´e d’une semi-martingale, probl´ematique des
sauts
Partie II :
II.1) Qu’est-ce qu’un bon mod`ele haute fr´equence ?
II.2) Mod`eles usuels de microstructure et estimateurs associ´es: erreur additive et erreur
d’arrondi
II.3) Mod`ele avec zones d’incertitude
II.4) Corr´elations asynchrones et effet lead-lag
II.5) Couverture haute fr´equence optimale de produit d´eriv´es
Quelques ´
el´
ements de bibliographie (d’autres r´ef´erences seront donn´ees pendant le
cours):
Almgren, R. F., Chriss, N. : Optimal execution of portfolio transactions, Journal of Risk
(2000), 3, 5-39.
Bouchaud, J.P., Potters, M. : Theory of Financial Risk and Derivate Pricing, Cambridge
University Press.
Hayashi T., Yoshida N. : On covariance estimation of non-synchronously observed diffusion processes, Bernoulli (2005), 11,359-379.
Jacod J. : Asymptotic properties of realized power variations and related functionals of
semimartingales, Stochastic Processes and Their Applications (2008), 118, 517-559.
Jacod J., Shriyaev A. : Limit Theorem for Stochastic Processes, Springer.
Robert, C., Rosenbaum, M. : A new approach for the dynamics of ultra high frequency
data: the model with uncertainty zones, Journal of Financial Econometrics (2011), 9,
344-366.
Zhang L., Mykland P., At-Sahalia, Y. : A tale of two time scales : Determining integrated
volatility with noisy high frequency data, JASA (2005), 100, 1394-1411.
PARTIE III : Ph. Robert, Analyse Probabiliste d’Algorithmes
L’objet de ce cours est de pr´esenter des m´ethodes probabilistes pour l’analyse d’algorithmes
classiques utilis´es en informatique et dans les r´eseaux de communication. L’accent est mis
sur
1. Rappels et compl´
ements.
Stabilit´e des Chaˆınes de Markov. Th´eor`emes de Renouvellement. Notions de th´eorie
ergodique.
22
2. Algorithmes en Arbre.
Acc`es concurrent `a un canal de communication. Structures “tries” pour le stockage
´
´
de donn´ees. Etude
asymptotique de l’algorithme sans arriv´ees, avec arriv´ees. Etude
du cas stationnaire.
3. Algorithmes pour les m´
emoires cache dans les r´
eseaux ´
a distribution de
contenu.
´
Equilibre
de l’algorithme “Move to the Front”. Asymptotique de la probabilit´e de
´
d´efaut de cache. Etude
des lois de Zipf.
4. Diffusion de l’information dans les R´
eseaux al´
eatoires.
Repr´esentations probabilistes des graphes al´eatoires. Ph´enom`enes ´epid´emiques.
Des notes seront distribu´ees en cours.
23
M´ethodes Stochastiques II
Partie I : L. Decreusefond, A.S. Ustunel, Calcul de Malliavin
A la diff´erence du calcul stochastique d’Itˆo qui utilise la structure temporelle des
processus `a travers la notion de martingale, le calcul de Malliavin exploite les propri´et´es
des processus gaussiens, `a l’instar du mouvement brownien, pour d´efinir le cadre d’une
analyse en dimension infinie. L’objet principal en est le gradient de Stroock-Malliavin et
la divergence associ´ee qui g´en´eralise l’int´egrale d’Itˆo `a des processus non adapt´es. Ce cours
est une introduction `a ces concepts ainsi qu’`a leurs applications: th´eor`eme de Girsanov
g´en´eralis´e, crit`ere d’absolue continuit´e pour les solutions d’EDS, formule explicite d’ItˆoClark, calcul anticipatif, d´elit d’initi´e, calcul des grecques, transport optimal, etc.
Programme
Les ´el´ements d’analyse fonctionnelle n´ecessaires (produits tensoriels d’espace de Hilbert,
op´erateurs Hilbert-Schmidt et op´erateurs `a trace, etc) seront introduits au fur et `a mesure
du cours.
La validation de cet enseignement se fait par analyse d’un article scientifique.
• Rappels sur les processus gaussiens
• Espace de Wiener abstrait, gradient.
• Divergence
• Processus d’Ornstein-Uhlenbeck
• In´egalit´es de Meyer
• Espaces de Sobolev
• Distributions et formule d’Itˆo-Clark
• Th´eor`eme de Girsanov-Ramer
• Calcul des grecques
PARTIE II : R. Douc, E. Moulines, Chaˆınes de Markov : stabilit´e, convergence,
applications
L’objet de ce cours est l’´etude des chaˆınes de Markov `a ´etats g´en´eraux et leurs applications. Cette ´etude s’appuie sur la th´eorie des chaˆınes ´a ´etats discrets en la compl´etant.
Nous nous baserons pour l’essentiel sur les m´ethodes de r´eg´en´eration et de couplage, qui
permettent d’obtenir de fa¸con directe les r´esultats de stabilit´e et d’ergodicit´e. Nous illustrerons l’analyse des chaˆınes par des exemples d’´econom´etrie financi`ere et de simulation
(algorithmes de Monte Carlo par Chaˆınes de Markov).
• Chaˆınes de Markov `a ´etats g´en´eraux. D´efinition, construction de bases. Mod`eles
markoviens en ´econom´etrie financi`ere (ARCH, GARCH, mod`ele de volatilit´e stochastique, mod`eles `a seuils, mod`eles autor´egressifs fonctionnels, mod`eles de comptage).
M´ethodes de Monte Carlo par chaˆınes de Markov (algorithme de Metropolis-Hastings,
m´ethode de Gibbs).
24
´ ementaires de l’ergodicit´e (condition de Doeblin uniforme, contraction
• Approches El´
au sens de Dobrushin sur les espaces de fonctions d’oscillations born´ees et les espaces
de fonctions lipshitziennes). Th´eor`emes limites, in´egalit´e de d´eviation. Applications
statistiques (estimation non param´etrique de la densit´e invariante, estimation non
param´etrique de la loi de transition).
• M´ethodes g´en´erales pour l’´etude de stabilit´e des chaˆınes de Markov `a ´etats g´en´eraux:
notions d’irr´eductibilit´e pour les ´etats g´en´eraux, atomes et ensembles petits, ap´eriodicit´e,
r´ecurrence / transience / positivit´e pour les chaˆınes irr´eductible, conditions de d´erive
pour r´ecurrence / transience / positivit´e, chaˆınes felleriennes, T-chaˆınes; applications `a la stabilit´e des mod`eles GARCH, autor´egressifs fonctionnels. Quelques
´el´ements pour les chaˆınes non irr´eductibles (positivit´e, unicit´e de la mesure invariante sous la condition de feller aaymptotique) stabilit´e de l’algorithme de Metropolis
Hastings
• Ergodicit´e pour les chaˆınes Harris positives, ergodicit´e g´eom´etrique, vitesse de convergence dans le th´eor`eme ergodique (par la m´ethode de couplage), th´eor`emes limites pour les chaˆınes ergodiques (loi des grands nombres, lois du logarithme it´er´e,
th´eor`eme de la limite centrale, vitesse dans les th´eor`emes limites). Applications `a
l’inf´erence de mod`eles d’´econom´etrie financi`ere; applications en simulation.
´ ements de th´eorie ergodique. M´elange des chaˆınes. Th´eor`eme de Birkhoff. Th´eor`eme
• El´
de Chacon-Ornstein. Th´eor`eme sous-additif et applications pour les chaˆınes.
PARTIE III : D. Talay, M. Bossy, Processus de diffusion en temps long et m´ethodes
particulaires stochastiques pour les EDP
Processus de diffusion en temps long (Denis Talay).
Ce cours a pour but d’introduire les processus de diffusion ergodiques et l’´etude du
comportement en temps long d’´equations diff´erentielles stochastiques classiques ou non
lin´eaires au sens de McKean–Vlasov.
On montrera que la combinaison Probabilit´es et EDP permet d’obtenir des r´esultats
tr`es fins sur les solutions d’EDP paraboliques en temps long, la convergence des solutions
vers des lois d’´equilibre, ainsi que sur les solutions de certaines ´equations de Poisson.
Le plan approximatif du cours est le suivant :
Cours 1 : Existence de lois invariantes et th´eor`eme ergodique pour les diffusions.
Cours 2 : Unicit´e des lois invariantes, ´equation de Fokker-Planck stationnaire.
Cours 3 : Analyse fine des EDP paraboliques en temps long et la convergence vers
l’quilibre, ´equations de Poisson ; application aux th´eor`emes de limite centrale pour
les int´egrales stochastiques normalis´ees et des simulations en temps long.
Cours 4 : Introduction aux m´etriques de Wasserstein et application aux ´equations diff´erentielles
stochastiques non linaires au sens de McKean-Vlasov en temps fini et en temps long.
Remarque : le dernier cours est une transition (utile mais non indispensable) vers le
cours de Mireille Bossy sur les EDS non lin´eaires au sens de McKean-Vlasov par syst`emes
de particules et probl`emes de martingale non lineaires.
R´ef´erences :
25
Plusieurs sources sont partiellement utilis´ees, notamment le livre d’Ethier et Kurtz
(Markov Processes: Characterization and Convergence), l’article de Pardoux et Veretennikov (2001) sur l’´equation de Poisson, le d´ebut du cours de Sznitman `a Saint-Flour,
divers travaux de Lamberton, Pag`es, et moi-mˆeme sur les approximations num´eriques de
lois invariantes, et le livre de Graham et moi-mˆeme (Discretization of Stochastic Differential Equations: Long-Time Behavior, Boundary Conditions, Hypoellipticity) qui devrait
paraˆıtre en 2015.
Le cours valorisera les allers retours entre probabilit´es, EDP, et estimation de l’erreur
statistique des m´ethodes de simulation fond´ees sur le th´eor`eme ergodique.
Approximation particulaire de processus de diffusion non lin´
eaires (Mireille
Bossy).
Ce cours est une introduction aux EDS non lin´eaires de type McKean que l’on croise
dans de nombreux modles stochastiques issus de domaines vari´es, historiquement la
physique, la m´ecanique des fluides, ou plus r´ecemment la biologie.
Sur quelques exemples, on d´etaillera les syst`emes de particules pour l’approximation
faible de ce type de processus ou, de mani`ere ´equivalente, l’approximation de la solution
de l’EDP de type McKean-Vlasov qui lui est associ´ee.
On abordera ensuite l’approximation en temps ( pas constant) et sur un exemple, les
outils d’analyse de vitesse de convergence qui combinent l’approximation particulaire et
le pas de discr´etisation en temps pour la simulation num´erique.
Comme en partie I, ce cours valorisera les allers et retours entre probabilit´es et EDP.
Plan indicatif:
Cours 1 et 2 : propagation du chaos, EDS de McKean
Cours 2 et 4 : schma d’approximation et outils de l’analyse de convergence.
Mots cl´es :
Approximation champ moyen; m´ethodes particulaires; ´equation de Fokker-Planck; simulation.
R´ef´erences :
M. Bossy: Some stochastic particle methods for nonlinear parabolic PDEs. ESAIM PROC
2005.
´
´ e de Probabilit´es de Saint-Flour
A.S. Sznitman. Topics in propagation of chaos. Ecole
d’Et´
XIX 1989 (la section 1.)
PARTIE IV : J. Jacod, El´ements de calcul stochastique discontinu(`a confirmer)
26
Probablit´es et
PARTIE I : M. Thieullen, Mod`eles Probabilistes en Neurosciences et en
Electrophysiologie
L’ objet de ce cours est de pr´esenter les mod`eles probabilistes les plus utilis´es pour
l’ ´etude des cellules excitables et des membranes cellulaires. Les neurones sont des cellules excitables ainsi que les cellules musculaires et cardiaques. Pendant de nombreuses
ann´ees leur mod´elisation a repos´e sur des mod`eles d´eterministes, mais il est maintenant
bien ´etabli que les mod`eles stochastiques sont indispensables pour d´ecrire la totalit´e des
ph´enom`enes observ´es qui pr´esentent une grande variabilit´e. Plusieurs ´echelles d’ observations sont naturellement pr´esentes dans ce contexte. Les ´echelles spatiales: les canaux
ioniques, le neurone isol´e, les populations de neurones ainsi que les differrentes ´echelles
temporelles. Dans ce cours nous d´ecrirons les grands types de mod`eles d´eterministes et
stochastiques existants. Nous identifierons les questions probabilistes soulev´ees et les outils n´ecessaires de la th´eorie des probabilit´es seront introduits. On abordera par exemple
les questions suivantes: premier temps de passage, formule de Feynman-Kac, syst`emes
lents-rapides, choix d’ un mod`ele discret ou d’ un mod`ele continu, approximation diffusion, processus de Markov d´eterministes par morceaux (PDMP), applications des grandes
d´eviations, comportement stationnaire. On traitera ´egalement un exemple d’ estimation
de param`etres `a partir de l’observation de la suite des temps d’ atteinte d’ un seuil. Le
lien avec certaines ´equations aux d´eriv´ees partielles sera soulign´e sur des exemples.
PARTIE II : A. LAMBERT, Arbres Al´eatoires pour la Biologie Evolutive
Ce cours a pour but d’´etudier et de comprendre les propri´et’es math´ematiques de
certains arbres al´eatoires notamment utilis´es en biologie ´evolutive pour mod´eliser les
g´en´ealogies, les pedigrees ou les phylog´enies.
La majeure partie du cours sera consacr´ee aux arbres al´eatoires discrets, dont nous introduirons les trois principales classes de mod`eles : les mod`eles de dynamique des populations (processus de Galton–Watson, processus de naissance et de mort, ‘splitting trees’),
les mod`eles de g´en´etique des populations (mod`eles de Cannings, Wright–Fisher, d’Eldon–
Wakeley) et les mod`eles d’arbres phylog´en´etiques (‘Markov branching models’ d’Aldous).
Dans le cas des processus de branchement, nous montrerons comment le processus de
contour d’un arbre permet d’en extraire certaines propri´et´es.
La plupart de ces arbres al´eatoires sont interpr´et´es dans leur d´efinition primitive comme
la trace de la dynamique d’une population de particules (une particule pouvant ˆetre la
copie d’un g`ene, une cellule, un organisme individuel, ou une colonie d’individus, voire une
esp`ece) qui meurent et se reproduisent au cours du temps. Un rˆole particulier est jou´e en
biologie ´evolutive par l’arbre r´eduit, qui est l’arbre g´en´ealogique des particules vivantes
`a un temps donn´e. Nous ´etudierons deux exemples d’arbres r´eduits dont il existe une
description tr`es ´el´egante dans le sens r´etrospectif du temps : le coalescent de Kingman et
le processus ponctuel de coalescence.
La troisi`eme partie du cours sera consacr´ee `a l’´etude fine des topologies des arbres
al´eatoires que nous avons introduits, en particulier dans le cadre des ‘Markov branching models’. Nous ´etudierons notamment le comportement d’une mesure de d´es´equilibre
des arbres commun´ement appel´ee β.
27
Dans la quatri`eme partie du cours, les particules seront munies de types h´eritables (haplotype, trait ph´enotypique), et nous caract´eriserons la partition all´elique de la population,
prise dans sa totalit´e ou `a temps fixe. Cette partie fait intervenir des objets tr`es importants en g´en´etique des populations et en probabilit´es discr`etes, comme le processus du
restaurant chinois, la formule d”echantillonnage d’Ewens ou la distribution de GriffithsEngen-McCloskey (GEM).
Si le temps le permet, nous terminerons par l’´etude de certaines limites d’´echelle de
ces arbres: processus de branchement `a espace d’´etats continu, diffusions de Feller et de
Fisher–Wright, Λ-coalescents.
28
Probabilit´es et Sciences M´edicales
PARTIE I : G. Thomas, P.-Y. Boelle, Mod´elisation de la r´esistance des bact´eries aux
antibiotiques
L’objet de ce cours est de pr´esenter un mod`ele al´eatoire permettant d’´etudier l’´emergence
de bact´eries r´esistantes aux antibiotiques et leur diffusion dans la population. Le ph´enom`ene
de r´esistance aux antibiotiques constitue un probl`eme de Sant´e Publique puisque, pour une
bact´erie comme le Pneumocoque (responsable d’otites, de pneumonies et de m´eningites),
la pr´evalence des souches r´esistantes atteint 25% dans certains pays d’Europe. Le mod`ele
est fond´e sur une formalisation de l’histoire naturelle de la colonisation des individus par le
Pneumocoque, du m´ecanisme de s´election de souches r´esistantes chez les individus expos´es
aux antibiotiques et de la diss´emination de ces souches dans la population. Le mod`ele est
un mod`ele `a compartiments, chaque compartiment correspondant `a un ´etat possible des
individus de la population (porteur vs. non porteur du Pneumocoque, expos´e vs. non
expos´e aux antibiotiques). Les individus colonis´es par le Pneumocoque sont en outre caract´eris´es par le niveau de r´esistance des souches qu’ils portent. On sera amen´e `a ´etudier
un processus markovien de sauts dont l’espace d’´etats est un espace de mesures. L’´etude
du comportement asymptotique du mod`ele quand la taille de la population devient infinie permettra d’´etablir une loi des grands nombres et un th´eor`eme de limite centrale.
On utilisera des outils de la th´eorie des processus markoviens de sauts, des martingales
et des semi-martingales, et de la convergence en loi dans les espaces de Skorokhod. Pour
´etablir le th´eor`eme de limite centrale, on introduira une famille d’espaces de Sobolev `a
poids.
PARTIE II : G. Nuel, Propagation d’´evidence dans les r´eseaux bay´esiens
Notion de r´eseaux bay´esien (vu comme une g´en´eralisation des mode‘les Markovien
discrets) - notion d´evidence, marginalisation - notion de junction tree, heuristiques de
construction - notion de messages, th’eor`emes fondamentaux - algorithmes de propagation,
inward/outward, lois jointes - applications diverses (chaines de Markov conditionn´ees par
ses deux extr´emit´es, chaˆınes de Markov cach´ees sous contraintes, arbres Markoviens avec
boucles, etc.) - calcul et maximisation de de la vraisemblance en pr´esence de donn´ees
compl`etes - maximisation de la vraisemblance en pr´esence de donn´ees incompl`etes (par
exemple par algorithme EM ou par optimisation multi-dimensionnelle directe)
Lensemble du cours sera illustr´e par de nombreux exemples, notamment dans le contexte biom´edical (diagnostique dune maladie, prise en charge dun patient aux urgences,
g´en´etique humaine, etc.), pour lesquels les calculs seront impl´ement´es sous le logiciel R
(pas de pr´e-requis car niveau technique de programmation assez faible).
NB: bien que le mot clef bay´esien soit dans lintitul´e du cours, celui-ci ne traite
absolument pas linf´erence bay´esienne.
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