Transcript Mathématiques générales I - Septembre 2014

Math´ematiques g´en´erales I
Septembre 2014
http://people.epfl.ch/giordano.favi
Cours 1
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Plan du jour
• Organisation du cours
• Plan du cours
• Analyse combinatoire
• Introduction `a la th´eorie des probabilit´es
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Organisation
• Enseignant : Giordano Favi
• Assistant(e)s : Tian Guo, Yannick Ormen, Boris Schnider,
Amos Sironi, Sofia Spataro, Mahsa Taziki.
• Cours : lundi 13.15-15.00, POL/C
• Exercices : lundi 15.15-16.00,
(POL/202,210,319,340,359 + GEN/A)
• Questions : lundi 16.15-17.00, POL/210 (facultatif)
• Test blanc : 24 novembre 2014 de 13.15 `a 15.00 en POL/C
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Mat´eriel du cours
• Le site internet du cours se trouve ici
http://people.epfl.ch/giordano.favi
• Les transparents seront disponibles avant chaque cours. Il est
conseill´e de les t´el´echarger, les imprimer et de les apporter au
cours chaque semaine.
• Idem pour les exercices !
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Analyse combinatoire
• Dans de nombreuses situations, il est souhaitable de disposer
d’une m´ethode efficace pour d´enombrer tous les r´esultats
possibles d’une “exp´erience”.
• Certains probl`emes de la th´eorie des probabilit´es peuvent ˆetre
r´esolus simplement en comptant le nombre de mani`eres
diff´erentes selon lesquelles un certain ´ev´enement peut se r´ealiser.
• La th´eorie math´ematique du d´enombrement s’appelle l’analyse
combinatoire.
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Principe fondamental de d´enombrement
• Supposons qu’il faille r´ealiser deux exp´eriences.
• Si la premi`ere exp´erience peut produire m r´esultats et si, pour
chacun d’entre eux, il y a n r´esultats possibles pour la seconde
exp´erience,
• alors il y a mn r´esultats pour les deux exp´eriences prises
ensemble.
Exemple 1.1
jet de 2 d´es `a six faces.
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Principe fondamental g´en´eralis´e
• Si r exp´eriences doivent ˆetre r´ealis´ees et si :
• La premi`ere peut produire n1 r´esultats ;
• pour chacun d’entre eux il y a n2 r´esultats possibles pour
la deuxi`eme exp´erience ;
• pour chaque r´esultat des deux premi`eres exp´eriences il y a
n3 r´esultats possibles pour la troisi`eme exp´erience ;
• et ainsi de suite.
• Il y aura alors un total de n1 · n2 · · · nr r´esultats pour les r
exp´eriences prises ensemble.
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Exemples
Exemple 1.2a Combien de plaques `a 7 caract`eres peut-on
former si le premier caract`ere est un chiffre, puis 3 lettres, et les 3
derniers sont des chiffres ?
Exemple 1.2b Combien de plaques pourrait-on avoir si l’on
excluait que les lettres ou les chiffres se r´ep`etent ?
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Permutations : arrangements ordonn´es
• Un arrangement ordonn´e d’objets est appel´e une permutation
• Exemple : Combien existe-t-il d’arrangements ordonn´es des
lettres a, b et c ?
´
• Enum´
eration directe : faire la liste de toutes les possibilit´es,
compter
• Principe fondamental :
• la premi`ere lettre de la permutation peut ˆetre n’importe
laquelle des 3,
• la deuxi`eme peut ensuite ˆetre choisie parmi les 2 restantes,
• tandis que la troisi`eme ne peut plus faire l’objet d’aucun
choix (c.-`a-d. 1 ‘choix’)
• En utilisant le principe fondamental g´en´eralis´e, on voit que le
nombre de permutations de n objets discernables est n!
(n factorielle)
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Exemples
Exemple 1.3a 8 rats seront class´es en fonction de leur capacit´e
`a accomplir une tˆache. On suppose exclu que deux rats poss`edent
la mˆeme capacit´e. Combien de classements sont possibles ?
Exemple 1.3b Trois rats sont choisis parmi un groupe de 9,
puis sont plac´es dans 3 cages (C1 , C2 , C3 ). De combien de fa¸cons
peut-on le faire ?
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Permutations
: objets partiellement indiscernables
Exemple 1.4 Combien d’arrangements diff´erents peut-on
former avec les lettres E R R E U R ?
Solution • D’abord comptons le nombre de permutations quand les trois R
et les deux E sont distincts (E1 R1 R2 E2 UR3 ) ⇒ combien ? ?
• Cependant, consid´erons l’une quelconque des permutations, par
exemple E1 R1 E2 R2 UR3 . Si nous permutons les R entre eux et
les E entre eux, l’arrangement r´esultant est toujours de la mˆeme
forme ERERUR
⇒ Il existe combien de permutations des R et des E ? ?
⇒ Donc, combien de permutations (au total) ? ?
• Le nombre de permutations de n objets, parmi lesquels n1 sont
indiscernables entre eux, n2 sont indiscernables entre eux, . . ., nr
n!
sont indiscernables entre eux :
n1 !n2 ! · · · nr !
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Combinaisons : s´el´ection sans ordre
• Nous serons souvent int´eress´es `a d´eterminer le nombre de
groupes de r objets qu’il est possible de former, sans r´ep´etition,
`a partir d’un total de n objets (ici l’ordre des objets n’est pas
significatif)
Exemple 1.5 Combien de groupes de 3 souris peut-on
construire en tirant parmi 5 souris (A, B, C , D, E ) ?
Solution
On utilise le raisonnement suivant :
Puisqu’il y a
fa¸cons de choisir la premi`ere souris, puis
de
choisir la deuxi`eme et finalement
de choisir la derni`ere, il y a
donc
en tenant compte de l’ordre dans lequel ces souris sont
choisies.
Cependant, un triplet donn´e, p. ex. le triplet constitu´e des souris
A, B, C , apparaˆıtra
fois.
Donc, le nombre total de groupes pouvant ˆetre form´es est
.
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Coefficients binomiaux
• L’expression
l’´equation :
n
r
(r parmi n) pour r ≤ n, est d´efinie par
n
n!
=
r
r !(n − r )!
• Ce nombre s’appelle ´egalement le coefficient binomial.
• Tout sous-ensemble de r objets choisis sans r´ep´etition dans un
ensemble en contenant n est appel´e combinaison de r objets
pris parmi n.
• Le nombre nr est le nombre de combinaisons de r objets pris
parmi n si l’ordre des objets est sans importance.
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Exemples
Exemple 1.6 On veut former un comit´e comprenant 3 des 20
personnes d’un groupe. Combien y a-t-il de ces comit´es ? ?
Exemple 1.7a A partir d’un groupe de 5 femmes et de 7
hommes, combien de comit´es diff´erents compos´es de 2 femmes et
de 3 hommes peut-on former ? ?
Exemple 1.7b
Qu’en est-il si 2 des hommes s’entendent mal et refusent de si´eger
simultan´ement au comit´e ? ?
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Coefficients multinomiaux
• En utilisant le principe fondamental g´en´eralis´e, on d´eduit que le
nombre de r´epartitions possibles de n objets en r groupes
distincts de tailles respectives n1 , n2 , . . . , nr est :
n
n!
.
=
n1 ! n2 ! · · · nr !
n1 , n2 , . . . , nr
• Ce nombre est appel´e le coefficient multinomial.
• On doit avoir n1 + · · · + nr = n.
Exemple 1.8 Dans une ´etude comparative, 16 personnes
atteintes de la maladie thyro¨ıdienne doivent ˆetre affect´ees en 3
groupes de 12, 2 et 2 personnes.
De combien de fa¸cons peut-on r´epartir ces 16 personnes ? ?
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PAUSE
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Ensemble fondamental
• Consid´erons une ‘exp´erience’ dont l’issue n’est pas pr´evisible, par
exemple le jet d’un d´e ´equilibr´e.
• Bien que l’issue de l’exp´erience ne soit pas connue d’avance,
admettons que l’ensemble des issues possibles soit connu
• Cet ensemble des issues possibles de l’exp´erience est appel´e
l’ensemble fondamental de l’exp´erience, not´e S
• L’ensemble fondamental peut ˆetre fini ou infini
• Exemples :
• On jette 2 d´es :
• On jette 2 d´es en consid´erant leur somme :
• On consid`ere la dur´ee de survie apr`es le diagnostic d’un
cancer :
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´ enements
Ev´
• Tout sous-ensemble E ⊂ S est appel´e un ´
ev´
enement.
• p. ex. :
• Pour toute paire d’´ev´enements E et F , l’´ev´enement E ∪ F
(l’union de E et F ) contient chaque ´el´ement se trouvant dans
E , dans F ou dans les deux `a la fois
• De mˆeme pour toute paire d’´ev´enements E et F , l’´ev´enement
E ∩ F (l’intersection de E et F ) est d´efini comme l’ensemble
des r´ealisations qui sont `a la fois dans E et dans F
• Si E ∩ F = ∅ (l’´
ev´
enement vide), alors E et F sont dits
mutuellement exclusifs (ME) ou disjoints.
• L’´ev´enement E c , le compl´
ementaire de E , contient tous les
´el´ements de S qui ne sont pas dans E .
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Diagramme de Venn – Union, Intersection
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Diagramme de Venn – Compl´ementaire
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R`egles utiles – Alg`ebre d’´ev´enements
• Commutativit´e :
• E ∪F =F ∪E
• E ∩F =F ∩E
• Associativit´e :
• (E ∪ F ) ∪ G = E ∪ (F ∪ G )
• (E ∩ F ) ∩ G = E ∩ (F ∩ G )
• Distributivit´e :
• (E ∪ F ) ∩ G = (E ∩ G ) ∪ (F ∩ G )
• (E ∩ F ) ∪ G = (E ∪ G ) ∩ (F ∪ G )
• Lois de DeMorgan :
n
n
[
\
• ( Ei )c =
Eic
• (
i=1
n
\
i=1
Ei )c =
i=1
n
[
Eic
i=1
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Th´eorie fr´equenciste des probabilit´es
• Il existe plusieurs moyens de d´efinir la probabilit´e d’un
´ev´enement.
• Nous allons le faire selon la th´eorie fr´equenciste des probabilit´es.
• On suppose qu’une exp´erience ayant pour ensemble fondamental
S est ex´ecut´ee plusieurs fois sous les mˆemes conditions.
• Pour chaque ´ev´enement E de S, on d´efinit n(E ) comme le
nombre de fois o`
u l’´ev´enement E survient lors des n premi`eres
r´ep´etitions de l’exp´erience.
• Alors P(E ), la probabilit´e de l’´ev´enement E , est d´efinie par
P(E ) = lim
n→∞
n(E )
.
n
• La probabilit´e est donc la fr´equence limite de E .
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Axiomes des probabilit´es
Pour chaque ´ev´enement E de S, nous admettons qu’un nombre
P(E ) (appel´e la probabilit´
e de l’´
ev´
enement E ) existe et satisfait
aux trois axiomes des probabilit´es suivants :
• 0 ≤ P(E ) ≤ 1
• P(S) = 1
• Pour toute suite E1 , E2 , .!. . , En d’´ev´enements mutuellement
n
n
[
X
exclusifs, on a P
Ei =
P(Ei ).
i=1
i=1
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Quelques th´eor`emes ´el´ementaires (mais utiles)
• P(E c ) = 1 − P(E )
• Si E ⊂ F , alors P(E ) ≤ P(F )
• P(E ∪ F ) = P(E ) + P(F ) − P(E ∩ F )
Th´
eor`
eme d’inclusion-exclusion :
P(E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ En ) =
n
X
P(Ei ) −
i=1
+
X
P(Ei1 ∩ Ei2 )
i1 <i2
X
P(Ei1 ∩ Ei2 ∩ Ei3 ) − · · ·
i1 <i2 <i3
X
+ (−1)r +1
P(Ei1 ∩ Ei2 ∩ · · · ∩ Eir )
i1 <i2 <···<ir
n+1
+ · · · + (−1)
P(E1 ∩ E2 ∩ · · · ∩ En )
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Diagramme de Venn – Th´eor`eme d’inclusion-exclusion
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Issues ´equiprobables
• Le cas le plus simple : il y a un nombre fini d’issues dans
l’ensemble fondamental et chaque issue a la mˆeme probabilit´e
d’apparaˆıtre (issues ´
equiprobables)
• En appliquant l’axiome 3, on a que pour tout ´ev´enement E ,
P(E ) =
nombre de points dans E
nombre de points dans S
Exemple 1.9 Si deux d´es sont jet´es (et en supposant que les 36
issues possibles sont ´equiprobables), quelle est la probabilit´e que la
somme des faces soit 8 ?
Solution
espondant `a l’´ev´enement “la somme
Les issues corr´
des deux d´es vaut 8” sont
donc la probabilit´e (inconditionnelle) de l’´ev´enement =
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Ensemble fondamental (d´e bleu, d´e rouge)
(1,1) (1,2)
(2,1) (2,2)
(1,3)
(2,3)
(1,4)
(2,4)
(1,5)
(2,5)
(1,6)
(2,6)
(3,1) (3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1) (4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,1) (5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6,1) (6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
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Exemple 1.9, cont.
Maintenant je donne l’information : le premier d´
e est
Sachant cette information, que vaut maintenant P(somme = 8) ?
Solution
e quand les issues sont
Le calcul pour la probabilit´
´equiprobables : P =
#E
#S
Combien il y-a-t’il d’issues pour l’ensemble fondamental S ?
Sachant que le premier d´e est
:
• l’ensemble fondamental a chang´e.
• Maintenant, on consid`ere seulement les issues dont le
premier d´e est
:
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Ensemble fondamental chang´e
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
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Exemple 1.9, cont.
• Il y a
issues dans ce nouvel ensemble fondamental.
• Parmi ces issues, combien correspondent `a l’´ev´enement
{somme = 8} ?
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
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R´epartiton pour les exercices :
• Tou-te-s les Pharmacien-ne-s en GEN/A
Assistants : Sofia Spataro + Giordano Favi
• De ABA `a CAS en POL202
Assistante : Mahsa Taziki
• De CER `a FON en POL210
Assistant : Tian Guo
• De FOR `a LES en POL319
Assistant : Amos Sironi
• De LEV `a ROC en POL340
Assistant : Boris Schnider
• De ROS `a ZOU en POL359
Assistant : Yannick Ormen
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