Transcript Exponentielle des matrices symétriques réelles

Exponentielle des matrices symétriques réelles
Riffaut Antonin
2013-2014
Théorème 1. L’application exp : Sn (R) −→ Sn++ (R) est un homéomorphisme.
Démonstration.
• Commençons par vérifier que cette application est bien définie. Pour M ∈
Sn (R), par continuité de l’application X 7−→ X T sur Mn (R), il est clair que exp(M )T =
exp(M T ) = exp(M ), donc exp(M ) ∈ Sn (R). D’autre part, d’après le théorème spectral, M est
diagonalisable en base orthonormée, donc on peut écrire
M = P diag(λ1 , . . . , λn )P −1 ,
avec P ∈ On (R) et λ1 , . . . , λn ∈ R, si bien que
exp(M ) = P diag(eλ1 , . . . , eλn )P −1 .
exp(M ) a ainsi toutes ses valeurs propres strictement positives, c’est-à-dire exp(M ) ∈ Sn++ (R).
• Démontrons à présent que cette application est bijective. Soit N ∈ Sn++ (R), que l’on écrit de
nouveau, par le théorème spectral,
N = P diag(µ1 , . . . , µn )P −1 ,
avec P ∈ On (R) et µ1 , . . . , µn ∈ R+∗ . La matrice M = P diag(ln(µ1 ), . . . , ln(µn ))P −1 ∈ Sn (R)
vérifie exp(M ) = N . De plus, si une autre matrice M 0 ∈ Sn (R) vérifie exp(M 0 ) = N , alors
M 0 commute avec exp(M ) donc avec M puisque M est un polynôme en exp(M ) ; ainsi, M
et M 0 sont simultanément diagonalisables, ce qui implique immédiatement que M = M 0 . Par
conséquent, l’application exp : Sn (R) −→ Sn++ (R) est bijective.
• Vérifions enfin qu’il s’agit d’un homéomorphisme. On sait déjà que cette application est continue ; montrons alors que sa réciproque l’est également. Pour ce faire, nous allons raisonner
séquentiellement. Soit (Nk )k∈N une suite de matrices de Sn++ (R) qui converge vers une matrice
N ∈ Sn++ (R). Pour tout k ∈ N, notons Mk ∈ Sn (R) l’unique matrice telle que exp(Mk ) = Nk ,
ainsi que M ∈ Sn (R) l’unique matrice telle que exp(M ) = N . Il s’agit de montrer que
limk→+∞ Mk = M .
Remarquons d’ores et déjà que M est l’unique valeur d’adhérence de la suite (Mk )k∈N :
en effet, si une sous-suite (Mϕ(k) )k∈N converge vers une matrice M 0 ∈ Sn (R), alors
limk→+∞ exp(Mϕ(k) ) = limk→+∞ Nϕ(k) = N = exp(M 0 ), donc M 0 = M par injectivité de
l’exponentielle.
En conséquence, il suffit de montrer que la suite (Mk )k∈N est bornée (en vertu du fait qu’une
suite d’un espace métrique compact ne possédant qu’une unique valeur d’adhérence converge
vers cette valeur d’adhérence). Munissons Mn (R) de la norme subordonnée à la norme euclidienne sur Rn . Rappelons que pour une matrice A ∈ Sn (R), kAk = ρ(A). La suite (Nk )k∈N
est bornée donc il existe C > 0 tel que kNk k ≤ C, pour tout k ∈ N. On en déduit que les
valeurs propres des Nk sont majorées par C, donc les valeurs propres des Mk sont majorées par
ln(C). Cela ne suffit pas à conclure, car les valeurs propres des Mk peuvent être négatives ! En
1
revanche, par continuité de l’application X 7−→ X −1 sur GLn (R), la suite (Nk−1 )k∈N converge
vers N −1 , donc est également bornée : il existe c > 0 tel que Nk−1 ≤ c, pour tout k ∈ N.
Par le même raisonnement, les valeurs propres des Nk−1 sont majorées par c, donc les valeurs
propres des Mk sont minorées par − ln(c). En conclusion, kMk k ≤ max(| ln(c)|, | ln(C)|), pour
tout k ∈ N, et la suite (Mk )k∈N est bien bornée.
Références
[FGN] Serge Francinou, Hervé Gianella, Serge Nicolas, Oraux X-ENS : Algèbre 2.
2