Transcript La fonction exponentielle 1

La fonction
exponentielle
1
la fonction exponentielle
Un nouveau point de vue
L’introduction doit se faire tôt dans l’année

Soit par l’étude de l’équation différentielle y’ = k y

Soit par la recherche des fonctions f dérivables sur R
telles que :f(x + y) = f(x) f(y)
2
I. Introduction de la
fonction exponentielle
Tôt dans l’année ?
3
I. Introduction de la
fonction exponentielle
 Etude de l’équation : y’ = y
 La fonction exponentielle, premières propriétés
 Extension à l’équation y’ = ky
 Relation fonctionnelle caractéristique de la
fonction f définie sur R par : f(x) = exp(kx)
 A propos de la mise en œuvre de la méthode
d’EULER et des exemples d’introduction
4
II. Étude de l’équation y’ = y
A. Théorème d’existence et d’unicité
Théorème
Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle
que f ’ = f et vérifiant f (0) = 1(E).
On l’appelle fonction exponentielle et on la note exp.
(Dans cette partie, l’existence de f est admise et l ’unicité est
démontrée ).
5
II. Étude de l’équation y’ = y
A. Théorème d’existence et d’unicité
L’unicité est démontrée en prouvant que :

Une solution f de (E) ne s’annule jamais
Considérer la fonction  définie sur R par : (x) = f (x) f ( x)
’ = 0. Donc  est constante et vaut ((0))2 = 1
De plus f ( x) = 1 / f (x)

Si f et g sont deux solutions de (E)
la fonction f/g a une dérivée nulle, donc est constante, égale à 1
d’où f = g.
6
II. Étude de l’équation y’ = y
B. Relation fonctionnelle
Pour tous réels a et b : exp (a+b) = exp (a)exp (b)
(dériver, par exemple, la fonction x exp(a +x)/exp(a) exp(x)
7
II. Étude de l’équation y’ = y
C. Propriétés algébriques
Pour tous réels a et b, et tout entier n :
exp(-b) = 1/ exp(b)
exp(a-b) = exp(a)/exp(b)
exp(na) = (exp a)n
8
II. Étude de l’équation y’ = y
D. Sens de variation
A partir de la relation fonctionnelle, on établit que,
pour tout x réel, exp (x) = [exp (x /2)]²
On en déduit que :
 La fonction exp est strictement positive
 La fonction exp est strictement croissante sur R
(puisque (exp)’ = exp)
9
II. Étude de l’équation y’ = y
E. Nouvelle notation
On convient de noter e = exp (1) ,
d’où en = exp (n), pour nZ
Par prolongement à R, on pose :pour tout réel x,
ex = exp (x)
10
III. Un encadrement de e
 On démontre que pour |x| < 1, 1 + x  ex  1/(1 – x)
(la majoration de ex s’obtient en changeant x en
– x dans l’inégalité : 1 + x  ex )
 Soit n entier supérieur ou égal à 2
On a successivement : 1 + 1/n  e 1/n  1/(1 – 1/n)
Puis (1 + 1/n)n  e  (1 – 1/n)  n
11
III. Un encadrement de e
4
(1+1/n)^n
y=e
(1-1/n)^(-n)
3,5
3
2,5
2
0
10
20
30
40
50
12
IV. Extension à l ’équation y ’ = ky
Les solutions sur R de l ’ équation différentielle
y ’ = ky sont les fonctions fk définies par :
fk(x) = A ekx , où A est un réel quelconque
A partir d’une solution f de y ’ = ky , poser
h (x) = f(x/k) /f(0).
13
V. Relation fonctionnelle
caractéristique
Les deux propositions suivantes sont équivalentes
(i) f est une fonction non nulle dérivable sur R vérifiant :
pour tous réels a et b, f(a+b) = f(a)f(b)
(ii) f est définie sur R par f(x) = ekx
Pour (i)  (ii), on établit tout d’abord que f(0) = 1, puis en
dérivant xf(a+x) et x f(a)f(x), on obtient , pour x = 0 :
f ’(a) = f(a) f ’(0)
14
VI. Mise en œuvre de la
méthode d’ Euler
On cherche une solution approchée de (E) :
y ’ = y et y(0) = 1 sur l’intervalle [0 ; a].
Pour des valeurs de h « suffisamment
petites », y(t + h)  y(t) + h y ’(t )
D’où
y(t + h)  (1 + h) y(t)
15
VI. Mise en œuvre de la méthode
d’ Euler
h = a /n (n  1); tk = k *(a /n )
On approche les valeurs
exactes y(t0) ; y (t1), y (t2 ) ;…;
y(tn) par la suite yo ; y1 ;…; yn
définie de la façon suivante :
y0 = y(0) = 1
y1 = y0 + h.y’(0) = 1+ h
Définition de y2 :
y (t2 )= y(t1 + h)  y (t1) + h y’(t1)
Avec y (t1)  y1 et y’(t1 ) = y (t1) ,
y2 = y1 + h y1 = (1 + h)²
Etc… yk = (1 +
h)k
16
VII. Un exemple d’introduction
Étude d’un gaz à effet de serre
17
A. Données
1000
800
600
400
200
1995
1990
1985
1980
1975
1970
1965
1960
1955
1950
1945
1940
0
CO2 (en milliards de t)
18
B. Objectifs

Comparer cette série de données
à une suite géométrique

Etablir le lien entre suite géométrique et
exponentielle
19
C. Comparaison à une suite
géométrique
année
n
y(n) (en
milliers de t)
accroissement
relatif
année
n
y(n) (en
milliers de t)
accroissement
relatif
1940
0
1945
1
1950
2
1955
3
1960
4
1965
5
184,391 212,75 243,348 277,398 320,545 372,574
0,15
0,14
0,14
0,16
0,16
1970
6
1975
7
1980
8
1985
9
1990
10
1995
11
438,922
521,4
0,18
0,19
615,16 709,959 817,783 931,781
0,18
0,15
0,15
0,14
20
On considère alors
la suite (qn) définie par
q0 = y0 et qn 1  qn  m
qn
C’est une suite
géométrique
de raison (1 + m).
Ici : m = 0,16
CO2 (en milliards de t)
C. Comparaison à une suite
géométrique
1000
800
600
400
données (y(n))
suite géométrique
(q(n))
200
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
n (en années)
21
D. De la suite géométrique à
l’exponentielle
On recherche une fonction dérivable sur R, dont la
courbe ajuste le nuage de points {(0 ; y0)…..(11 ;y11)}
Dans le modèle discret, l’accroissement entre deux
mesures consécutives (aux instants n et n + 1) est
proportionnel à la mesure à l’instant n. En effet, de la
relation
qn 1  qn
m
qn
on déduit :
qn 1  qn
 mqn
(n  1)  n
22
D. De la suite géométrique à
l’exponentielle
L’origine des temps étant 1940, on note f(t) la
quantité cumulée de CO2 émise à la date t (en
années).
A partir de la relation :
qn 1  qn
 mqn
(n  1)  n
on émet l’hypothèse que le taux d’accroissement de la
concentration entre les instants t0 et t0 + h ( pour h très
petit), est proportionnel à la mesure à l’instant t0.
23
D. De la suite géométrique à
l’exponentielle
On a donc :
f (t0  h)  f (t0 )
 mf (t0 )
h
(m étant la valeur obtenue au C)
Lorsqu’on fait tendre h vers 0 , on obtient la relation :
f ' (t0 )  mf (t0 )
24
D. De la suite géométrique à
l’exponentielle
La solution recherchée est donc dérivable sur R
et telle que :
f ’ = m f et f(0) = y0
25
D. De la suite géométrique à
l’exponentielle
Mise en œuvre de la méthode d’Euler sur l’intervalle [0;11]
1000
Méthode d'Euler
900
Données
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
26
D. Commentaires
 La fonction obtenue par la méthode d’Euler est affine par
morceaux : Ce ne peut donc pas être une solution au
problème posé
Pour m suffisamment petit, 1 + m  em
Comme la suite (qn) est de raison 1 + m, on a : qn 
n
m
(e )
q0
27
VIII. Démonstration de l’existence
Théorème: L’équation y’ = y admet une solution prenant
la valeur 1 en 0.
après avoir montré :
lemme : pour tout entier naturel n et pour tout réel
x > 1, (1+x)n  1 + nx ,
 on démontre que, pour tout réel x, les suites
(un(x)) et (vn(x)) définies par :
un(x) = (1 + x/n)n et vn(x) = (1  x/n)n
sont adjacentes.

La
limite commune définit une fonction dont
on peut montrer qu’elle est solution.
28
VIII. Démonstration de l’existence

x étant fixé, on raisonne pour n  n0 > |x|. On a alors :
x 

un+1(x)  1 

 n 1
un+1(x) =
n 1
 x
x 

 1  
 n n (n  1) 



n 1 
x
 x  1 

1


 
 n   n(n  1)1  x  
 n

D’où : un+1(x)
n 1
n 1




x


x
 1   1  1  x 
 n   n  n 1  x  
 n

n
(lemme)
puis un+1(x)  un(x).
29
VIII. Démonstration de l’existence
1 ,
vn  x  
u n  x 
donc (vn(x)) est décroissante.
De plus,
un x  
x
Enfin,
 1  2
vn  x  
n
2



n
x 2 un x 
donc 1 


1
n
vn  x 
d ’où :
0  vn(x)  un(x) 
(lemme), et vn(x) > 0
x2
x2
vn0  x 
vn  x  
n
n
30
VIII. Démonstration de l’existence
Les deux suites ont donc même limite.
On note exp la fonction qui à x fait correspondre la
limite commune des suites( un(x)) et (vn(x)).
un(0) = vn(0) = 1 donc exp(0) = 1
31
VIII. Démonstration de l’existence
 Etude de la dérivée




n
n
 x  h   x  1  h 
1 
  1   
n   n   n1  x  

 n

xh

D’où : 1 

n 

n
n
(x étant fixé, on raisonne
pour n  n0 > 1 x et |h| < 1)


 x  1  h 
 1  
 n   1  x 
n

n
(lemme)
Par passage à la limite : exp(x + h)  exp(x) (1 + h)
32
VIII. Démonstration de l’existence
En changeant h en  h dans l’inégalité
exp(x + h)  exp(x) (1 + h)
(1)
On obtient : exp(x  h)  exp(x) (1  h)
En changeant x en x + h, on a, finalement :
exp(x)  exp(x + h) (1  h)
Pour h > 0 :
Pour h < 0 :
(2) . Puis, avec (1) et (2) :
exp( x  h)  exp( x) exp( x)
exp( x) 

h
1 h
exp( x) exp( x  h)  exp( x)

 exp( x)
1 h
h
33