Transcript L3 MF – Calcul Diffèrentiel 2012-2013 Feuille TD 4 – Exercice 1. 1

L3 MF – Calcul Diffèrentiel 2012-2013
Feuille TD 4 –
Exercice 1.
1. Soit f une application de R dans R, dérivable en tout point de R et telle que, pour tout x de R, f 0 (x) 6= 0.
Montrer que f est un homéomorphisme de R sur f (R) et que f −1 est différentiable en tout point de f (R).
2. Soit f définie par f (x) = x + x2 sin πx si x 6= 0 et f (0) = 0.
Montrer que f 0 (0) existe et est 6= 0, mais que f n’est inversible sur aucun voisinage de 0. Expliquer.
Exercice 2.
1. Montrer que l’application ϕ : (r, θ) → (x, y) = (r cos θ, r sin θ) est un C 1 -difféomorphisme de l’ouvert
]0, ∞[×] − π, π[ sur le plan privé de la demi-droite R− . Si f (x, y) = g(r, θ) donner les formules de passage
entre les dérivées partielles de f et celles de g.
2. Soit U le plan privé de l’origine, et f (x, y) = (x2 − y 2 , 2xy).
Montrer que f est un difféomorphisme local au voisinage de tout point de U mais n’est pas un difféomorphisme
global.
3. Soit g l’application de R2 dans R2 définie par g(x, y) = (x + y, xy). Trouver un ouvert connexe maximal
U ⊂ R2 tel que g soit un difféomorphisme de U sur g(U ).
4. Soit h l’application de R2 dans R2 définie par (x, y) → (ex cos y, ex sin y).
Montrer que h est de classe C 1 dans R2 ; que h0 (x, y) est un élément de Isom(R2 , R2 ) pour tout (x, y) de R2 ;
mais que h n’est pas un homéomorphisme de R2 sur h(R2 ).
Exercice 3. Soit ϕ l’application de R2 dans R2 définie pas
ϕ(x, y) = (sin(y/2) − x, sin(x/2) − y).
1
1. Justifier que ϕ est de classe C , calculer sa différentielle et voir que Dϕ(x, y) est inversible pour tout (x, y) ∈
R2 .
2. Montrer que ϕ est un C 1 -difféomorphisme de R2 sur ϕ(R2 ) et justifier que ϕ(R2 ) est un ouvert.
3. Montrer que ϕ−1 est lipschitzienne (on prendra comme norme sur R2 : k(x, y)k = |x| + |y|).
4. En déduire que ϕ est un difféomorphisme de R2 sur R2
√
5. Calculer Dϕ−1 (p) où p = (1 − π/2, 2/2 − π).
Exercice 4. Soit E un espace vectoriel de dimension finie, Ω un ouvert connexe de E et soit f : Ω → E une
application de classe C 1 telle que k|Df (x)k| ≤ c, pour tout x ∈ Ω, où 0 ≤ c < 1. Montrer que Id|E − f est un
difféomorphisme C 1 de Ω sur son image.
Exercice 5. Soit E = C01 ([0, 1], R) l’espace vectoriel des applications de classe C 1 sur [0, 1] et telles que f (0) = 0.
On note pour tout f ∈ E,
kf kE = supx∈[0,1] (|f 0 (x)| + |f (x)|).
Soit F = C 0 ([0, 1], R) l’espace vectoriel des applications à valeurs rèelles continues sur [0, 1]. On note pour tout
g ∈ F , kgkF = supx∈[0,1] (|g(x)| . On admettra que (E, k · kE ) et (F, k · kF ) sont deux espaces de Banach.
1. Soit Φ : E → F l’application dèfinie par Φ(f ) = f 02 + f . Montrer que Φ est de classe C ∞ sur E. Calculer
DΦ(f )(h) et DΦ(f )(h, k) pour tous f, h, k ∈ E.
2. (Bonus) Soit Ω := {f ∈ E : f 0 (t) 6= 0 ∀t ∈ [0, 1]}. Montrer que Ω est un ouvert de E.
3. Montrer que DΦ(f ) : E → F est bijective pour tout f ∈ Ω.
Indication : Pour l’injectivitè, montrer que l’èquation diffèrentielle (homogène) dèfinie par DΦ(f )(h) = 0
admet comme unique solution h = 0 (Se rappeler que h(0) = 0).
Montrer que DΦ(f ) ∈ Isom(E, F ), en utilisant sans preuve le thèorème suivant : Thèorème : Si E et F sont
deux espaces de Banach, et si u ∈ L(E, F ) est bijective, alors u−1 ∈ L(F, E).
4. Soit f0 ∈ Ω (donc f00 (t) 6= 0 ∀t ∈ [0, 1]), notons g0 = (f00 )2 + f0 ∈ F . Montrer qu’il existe des voisinages
ouverts V0 de g0 dans F et U0 de f0 dans E tels que pour toute g ∈ V0 l’èquation diffèrentielle admette une
unique solution f ∈ U0 .
Exercice 6. Soit E un espace de Banach et L(E) l’algèbre de Banach des endomorphismes continus de E.
1. Montrer que exp est un difféomorphisme d’un voisinage de 0 sur un voisinage de IdE . (l’application exp est
définie td3 exercice 7)
2. Soit Ω = {u ∈ L(E) , ||u − IE || < 1 }. Montrer que :
n
(a) la série de terme général (IE −u)
converge pour tout u de Ω.
n
P∞ (IE −u)n
On pose pour u ∈ Ω : log u = − n=1
n
(b) log est de classe C 1 sur Ω et pour u ∈ Ω et h ∈ L(E), avec uh = hu, on a D log(u).h = u−1 h.
(c) si u est suffisamment proche de IE , alors : exp(log u) = u.
Exercice 7. Soit a, b ∈ R et f : R2 → R2 définie par f (x, y) = (x + a sin y, y + b sin x).
1. Montrer que si |ab| < 1, f est un difféomorphisme de R2 sur lui-même.
2. Montrer que si |ab| = 1, f n’est plus un difféomorphisme mais reste un homéomorphisme de R2 sur lui-même.
Exercice 8.Soit G un ouvert borné de Rn et soit f : G → Rn une application continue dans G et C 1 dans G. Pour
tout x ∈ G, on suppose Df (x) inversible. Démontrer que, sous ces conditions, l’application x 7→ kf (x)k atteint son
maximum en un point du bord ∂G = G \ G.
Exercice 9. Sn désigne l’espace des matrices réelles n×n symétriques, Sn++ le sous-espace des matrices symétriques
définies-positives (M ∈ Sn++ ssi M est symétrique et hM X, Xi > 0 pour tout X non nul de Rn ).
rappels : Tout endomorphisme symétrique de Rn est diagonalisable en base orthonormée.
Toute matrice A ∈ Sn++ admet une et une seule racine carrée B ∈ Sn++ , notée A1/2 (i.e. B 2 = A).
Le but de l’exercice est de montrer que ρ : A 7→ A1/2 est différentiable et de calculer sa différentielle.
Soit K : Sn → Sn définie par K(B) = B 2 ; K est donc une bijection de Sn++ sur Sn++ .
Montrer que :
1. Sn++ est ouvert dans Sn .
(on pourra au préalable montrer que si M ∈ Sn++ , il existe α > 0 tel que hM X, Xi ≥ α||X||2 pour tout X ∈ Rn ).
2. K ∈ C ∞ (Sn ). Et calculer DK(B).H pour tous B, H ∈ Sn .
3. pour tout B ∈ Sn++ , DK(B) est un isomorphisme de Sn . En déduire que pour tout B ∈ Sn++ et tout S ∈ Sn , il
existe un et un seul H ∈ Sn tel que BH + HB = S (thm de Liapounov).
R∞
4. la matrice H du (3) est donnée par H = 0 exp(−tB) S exp(−tB) dt.
R∞ d
(on écrira S = 0 − dt exp(−tB) S exp(−tB) dt
5. l’application ρ : A 7→ A1/2 est de classe C ∞ sur Sn++ . Calculer Dρ(A).S pour A ∈ Sn++ , S ∈ Sn .
Exercice 10. Considérons F (x, y) = y n + an−1 (x)y n−1 + ... + a1 (x)y + a0 (x) un polynôme à coefficients variables.
On suppose :
1. Les fonctions x → aj (x) sont C 1 , j = 0, 1, ..., n − 1.
2. pour un certain x0 ∈ R, le polynôme y → F (x0 , y) a un zéro simple y0 ∈ R.
Démontrer que, dans ces conditions, F (x, y) possède, pour x voisin de x0 , un zéro y(x) qui lui est proche de y0 et
que la dépendance x → y(x) est C 1 .
Exercice 11. Montrer que les relations proposées définissent au voisinage du couple (a, b) indiqué une fonction
implicite y = φ(x).
Donner un développement limité à l’ordre 3 de φ en a.
1. f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy − 1 = 0
2. f (x, y) = 2e
x+y−1
+ ln(x − y) − 2x + y
(a, b) = (0, 1).
3
(a, b) = (1, 0).
Exercice 12. Montrer que la relation
f (x, y, z) = x3 + y 3 + z 3 − 2z(x + y) − 2x + y − 2z − 1 = 0
définit au voisinage de (0, 0, −1) une fonction implicite z = φ(x, y). Donner un développement limité de φ à l’ordre
2 en (0, 0).
Exercice 13.
1. Montrer que si a, b sont voisins de 1, on peut trouver x, y ∈ R tels que y + exy = a, x + e−xy = b.
2. Soit f l’application de R2 dans lui-même définie par f (x, y) = (x sin(xy) + y, y cos(xy) + x), et soit (an , bn )
une suite tendant vers (0, 0). Montrer que si f (an , bn ) = 0 pour tout n, la suite (an , bn ) stationne.
Exercice 14. Soit U un ouvert de R2 et ϕ : U → R2 une application de classe C 1 ϕ = (f, g). On considère u, v
réels et on cherche x, y tels que
(∗) f (x, y) = u, g(x, y) = v.
1. On suppose que la différentielle de ϕ est de rang 2 en tout point de U . Montrer que pour tout (u, v) le système
(∗) admet une solution, unique localement. Que peut-on dire si la différentielle est de rang 2 en un point de
U seulement ?
2. A-t-on des solutions si la différentielle est de rang 0 ?
3. On suppose maintenant que la différentielle de ϕ est de rang 1 en tout point de U . Si fx0 ne s’annule pas sur
U , montrer que ψ : (x, y) → (f (x, y), y) définit un difféomorphisme d’un ouvert V ⊂ U sur ψ(V ). En déduire
G telle que g(x, y) = G(f (x, y)) sur V . Que peut-on dire des solutions du système (∗) ?
Exercice 15.
Soit f : R3 → R2 définie par f (x, y, z) = (x2 − y 2 + z 2 − 1, xyz − 1). Soit (x0 , y0 , z0 ) ∈ R3 tel que f (x0 , y0 , z0 ) =
(0, 0). Montrez qu’il existe un intervalle I contenant x0 et une application ϕ : I → R2 tels que ϕ(x0 ) = (y0 , z0 ) et
f (x, ϕ(x)) = 0 pour tout x ∈ I.
Exercice 16. Soit F : R2 → R l’application F (x, y) = x2 + y 2 − 1. Démontrer que, pour x suffisamment proche de
0, il existe un nuique y = y(x) > 0 tel que F (x, y) = 0. Vérifier, sans résolution explicite, que y 0 (x) = −x/y.
Exercice 17.On considère le système d’équations :
2
x + y 2 − 2z 2 = 0
x2 + 2y 2 + z 2 = 4
Montrer que, pour x proche de l’origine, il existe des fonctions positives y(x) et z(x) telles que (x, y(x), z(x)) soit
solution du système. On déterminera y 0 en fonctionde x, y et z 0 en fonction de x, z.