Transcript "Le courrier de l`Hirondelle" n°39

G´eom´etrie Non Commutative
2010
Calcul fonctionnel holomorphe
1. Int´
egration `
a valeurs dans les espaces de Banach
Soit X un espace de Banach et Q un espace topologique compact. Soit µ une mesure
de probabilit´e bor´elienne sur Q et f : Q → X une application continue. Le but de cet
exercice est de montrer qu’il existe un unique x ∈ X tel que
Z
ω(x) =
ω ◦ f dµ pour tout ω ∈ X ∗ .
Q
De plus, x ∈ Conv(f (Q)). On note cet ´el´ement
R
Q
f dµ.
On supposera, sans perte de g´en´eralit´e, que dans les questions a) `a d) X est un espace
de Banach r´eel.
R
a) Soit L ⊂ X ∗ une partie finie et EL = {x ∈ Conv(f (Q)) : ω(x) = Q ω ◦ f dµ ∀ω ∈
L}. Montrer que si EL est non-vide pour toute partie finie L alors la conclusion du
th´eor`eme est vraie (indication : on pourra utiliser le r´esultat suivant. Si X est un
Banach et K ⊂ X est compact alors Conv(K) est compact).
b) Soit ω1 , . . . , ωn ∈ X ∗ , L = (ω1 , . . . , ωn ) : X → Rn et K = L(f (Q)) ⊂ Rn . Soit
t = (t1 , . . . , tn ) ∈ Rn . Montrer que si t ∈
/ Conv(K) alors il existe c1 , . . . cn ∈ R tels
que
n
n
X
X
ci ui <
ci ti pour tout u = (u1 , . . . , un ) ∈ K.
i=1
i=1
(indication : on pourra utiliser le fait que si K ⊂ Rn est compact alors Conv(K)
est compact).
R
c) Soit mi = Q ωi ◦ f dµ et m = (m1 , . . . , mn ) ∈ Rn . Montrer que m ∈ Conv(K).
d) Conclure.
e) Montrer que ||
R
Q
f dµ|| ≤
R
Q
||f ||dµ.
f) On suppose maintenant que X = A est une alg`ebre de Banach. Montrer que, pour
tout x ∈ A,
Z
Z
Z
Z
x f dµ =
xf (q)dµ(q) et ( f dµ)x =
f (q)xdµ(q).
Q
Q
Q
Q
2. Continuit´
e du calcul fonctionnel holomorphe
Soit A une alg`ebre de Banach unif`ere, Ω ⊂ C un ouvert et AΩ = {x ∈ A : sp(x) ⊂ Ω}.
a) Montrer qu’il existe δ > 0 tel que sp(x + y) ⊂ Ω pour tout y ∈ A tel que ||y|| < δ.
En particulier, AΩ est ouvert.
1
b) Montrer que si fn , f ∈ H(Ω) sont telles que fn → f uniform´ement sur les sousensembles compacts de Ω alors fn (x) → f (x) pour tout x ∈ AΩ .
c) Soit f ∈ H(Ω). Montrer que l’application x 7→ f (x) est continue de AΩ dans A.
3. Idempotents
Soit A une alg`ebre de Banach unif`ere. Un idempotent est un ´el´ement x ∈ A tel que
x2 = x.
a) Montrer que si x ∈ A est un idempotent alors sp(x) ⊂ {0, 1}.
b) Montrer que si x ∈ A a un spectre non-connexe alors il existe un idempotent
non-trivial (diff´erent de 0 et de 1) dans A.
4. Spectre ponctuel
Soit X un espace de Banach. On consid`ere l’alg`ebre de Banach unif`ere A = B(X). Soit
T ∈ A. Le spectre ponctuel de T est
spp (T ) := {λ ∈ C : T − λ est non-injectif}.
Soit Ω ⊂ C un ouvert tel que sp(T ) ⊂ Ω et f ∈ H(Ω).
a) Soit α ∈ Ω et x ∈ X. Montrer que si T x = αx alors f (T )x = f (α)x.
b) Montrer que f (spp (T )) ⊂ spp (f (T )).
c) Montrer que si α ∈ spp (f (T )) et que f − α est identiquement nulle sur aucune
composante de Ω alors α ∈ f (spp (T )).
d) Montrer que si f est constante sur aucune composante de Ω alors f (spp (T )) =
spp (f (T )).
5. Diff´
erentiabilit´
e du calcul fonctionnel holomorphe
Soit A une alg`ebre de Banach unif`ere, Ω ⊂ C un ouvert et f ∈ H(Ω).
On pose AΩ = {x ∈ A : sp(x) ⊂ Ω}.
Soit x ∈ AΩ , x+h ∈ AΩ et f ∈ H(Ω). Soit Γ un chemin ferm´e qui entoure sp(x)∪sp(x+h)
dans Ω.
R
1
f (z)(z − x − h)−1 h(z − x)−1 dz.
a) Montrer que f (x + h) − f (x) = 2iπ
Γ
b) Montrer que si xh = hx et que ||h|| est assez petit alors
Z
∞
X
1
f (n) (x) n−1
−1
−1
f (z)(z − x − h) (z − x) dz =
h
2iπ Γ
n!
n=1
o`
u f (n) est la d´eriv´ee n-i`eme de f .
c) On suppose A commutative. Montrer que l’application x 7→ f (x) est continuement
diff´erentiable de AΩ dans A et que (Df )x ∈ B(A) est l’op´erateur de multiplication
par f 0 (x).
d) On ne suppose plus A commutative. Montrer que x 7→ f (x) est encore continuement
diff´erentiable de AΩ dans A et que
Z
1
(Df )x (h) =
f (z)(z − x)−1 h(z − x)−1 dz.
2iπ Γ
2