Transcript Corrigés

J. Stubbe
Analyse IV PH
2013-2014, semestre de printemps
Séance d’exercices 3 : L’analyse complexe
le 04 mars 2014 - Corrigés
1
Fonctions holmorphes
Exercice 1 Dérivées de Wirtinger.
Pour f : C → C de classe C 2 au sens réel soient
Lf (z, z̄) := z
∂f (z, z̄)
∂f (z, z̄)
− z̄
∂z
∂ z̄
B 2 |z|2
∂ 2 f (z, z̄)
− B · Lf (z, z̄) +
f (z, z̄) − Bf (z, z̄),
HB f (z, z̄) := −4
∂z∂ z̄
4
où B > 0.
1. Montrer que pour tout entier positif n la fonction fn (z, z̄) = z n e−
Lfn (z, z̄) = n · fn (z, z̄),
B|z|2
4
vérifie
HB fn (z, z̄) = 0.
∂f (z, z̄)
∂f (z, z̄)
−x
).
∂x
∂y
3. Donner une factorisation de HB .
Corrigé. Noter que
B|z|2
∂fn (z, z̄)
= nfn (z, z̄) −
fn (z, z̄)
z
∂z
4
∂fn (z, z̄)
B|z|2
z̄
=−
fn (z, z̄)
∂ z̄
4
d’où 1.) Pour 2.) noter d’abord que
2. Montrer que Lf (z, z̄) = i(y
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
− z̄
= iy( + ) + x( − ).
∂z
∂ z̄
∂z ∂ z̄
∂z ∂ z̄
Ensuite utiliser (voir notes de cours),
1 ∂
∂
∂
= (
− i ),
∂z
2 ∂x
∂y
∂
1 ∂
∂
= (
+ i ).
∂ z̄
2 ∂x
∂y
Finalement,
HB f (z, z̄) = 4(−
∂
B z̄ ∂
Bz
+
)( +
)f (z, z̄).
∂z
4 ∂ z̄
4
Exercice 2 Fonctions harmoniques conjuguées.
1. Construction du potentiel associé à un champ vectoriel dans Rn . Soit D ⊂ Rn
ouvert et étoilé par rapport à x0 . Soit w : D → Rn un champs vectoriel de classe C 1
avec une matrice jacobienne symétrique en tout x ∈ D. Montrer qu’en tout x ∈ D :
w(x) = ∇v(x) avec v : D → R défini par
Z 1
v(x) =
hw(tx + (1 − t)x0 ), x − x0 i dt.
(1)
0
Corrigé 1. Sans perdre la généralité on peut supposer x0 = 0. En utilisant (voir la note
ci-dessous*)
∇hw(tx), xi = tJwT (tx)x + w(tx)
1
et
d w(tx)
= Jw (tx)x
dt
on trouve grâce à la symétrie de Jw (c’est-à-dire Jw = JwT ) :
Z 1
d w(tx)
t
∇v(x) =
+ w(tx) dt
dt
0
Z 1
d tw(tx)
dt = w(x).
=
dt
0
*Exercice facultatif : Montrer que si f = hv, wi et v, w : Rn → Rn sont C 1 , alors f est
C 1 et
∇f = JvT w + JwT v.
2. Construction d’une fonction harmonique conjuguée. Soit n = 2. Déduire de (2.1)
que si u(x, y) ∈ C 2 (D) est une fonction harmonique, alors
Z 1
−uy (tx + (1 − t)x0 )(x − x0 ) + ux (tx + (1 − t)x0 )(y − y0 ) dt
v(x, y) =
0
est harmonique conjuguée
à u. −uy
Corrigé. Prendre w =
(voir les notes du cours p.15)
ux
3. Exemples. Dans les cas suivants, dire si u(x, y) peut être la partie réelle dı́une fonction
holomorphe sur un ouvert dans le plan complexe.
(a) u(x, y) = y 3 − 3x2 y. v(x, y) = x3 − 3xy 2 .
(b) u(x, y) = y 3 − x2 y. Noter ∆u(x, y) = 0 seulement si y = 0 donc impossible.
(c) u(x, y) = x(y + 2). v(x, y) = 21 (y 2 − x2 ) + 2y.
(d) u(x, y) = ex cos y. v(x, y) = ex sin y.
Exercice 3 Fonctions holomorphes et Dérivées partielles.
1. Soit f holomorphe sur D. Montrer que g(z) = f (z̄) est holomorphe sur D̄ = {z : z̄ ∈ D}.
Corrigé 1. g(z) = ũ(x, y) + iṽ(x, y) avec ũ(x, y) = u(x, −y), ṽ(x, y) = −v(x, −y) qui
sont C 1 et vérifont les équations de Cauchy-Riemann.
Corrigé 2. En utilisant les propriétes des dérivées de Wirtinger
∂ g(z)
∂ f (z̄)
∂ ḡ(z)
=
=
=0
∂ z̄
∂z
∂z
qui est la formulation complexe des équations de Cauchy-Riemann.
2. Soit f = u + iv et u, v ∈ C 2 (R2 ). Montrer que f est holomorphe sur C si et seulement si
u(x, y), v(x, y), xu(x, y) − yv(x, y) et xv(x, y) + yu(x, y)
sont harmoniques sur R2 .
Corrigé 1. On le vérifie directement en calculant le Laplacien pour obtenir les équations
de Cauchy-Riemann et à partir des équations de Cauchy-Riemann le Laplacien de
xu(x, y) − yv(x, y), xv(x, y) + yu(x, y).
Corrigé 2. La forme complexe des quatre fonctions est f et z · f . Noter que
∂ 2 (z · f )
∂2 f
∂f
=z·
+
∂ z∂ z̄
∂ z∂ z̄ ∂ z̄
∂f
Par conséquent, si f, z · f sont harmoniques, alors
= 0 donc f est holomorphe. Si f
∂ z̄
est holomorphe, alors z · f est holomorphe et les deux fonctions sont harmoniques.
2
3. Soit f holomorphe sur D et u, v ∈ C 2 (D). Calculer ∆x,y |f (z)|2 .
Corrigé. ∆x,y |f (z)|2 = 4|f 0 (z)|2 .
4. Soit f holomorphe sur D et u, v ∈ C 2 (D), f = u + iv. Supposons f (z) 6= 0 pour tout
z ∈ D. Montrer que ln |f | est harmonique.
Corrigé. Considérer 2 ln |f | = ln(u2 + v 2 ). Par les équations de Cauchy-Riemann :
h∇u, ∇vi = 0, h∇u, ∇ui = h∇v, ∇vi, ∆u = ∆v = 0
et facilement
∆ ln(u2 + v 2 ) = 2div
3
u∇u + v∇v = ... = 0
u2 + v 2