Transcript L3-MAF : Analyse Complexe Feuille TD1 : Fonctions holomorphes

Universit´e Paul Sabatier
D´epartement de Math´ematique
Deuxi`eme semestre 2014
L3-MAF : Analyse Complexe
Feuille TD1 : Fonctions holomorphes
Exercice 1. En quels points la fonction z → z¯ est-elle C-d´erivable ? Est-elle holomrphe ou
anti-holomorphe ? Mˆeme question pour z → |z|2 et z = x + iy → x2 + y.
Exercice 2. Soit D un domaine (i.e. ouvert connexe non vide) de C et f une fonction holomorphe
sur D. D´emontrer que si f (z) = 0 pour tout z ∈ D alors f est constante sur D. En d´eduire que si
|f | est constante sur D alors f est constante sur D.
Exercice 3. Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert U . Les fonctions suivantes sont elles
holomorphes?
z → f (z) sur U,
z → f (z) sur U = {z | z ∈ U },
z → f (z) sur U .
Exercice 4. Soit f une fonctions holomorphe sur un domaine Ω ⊂ C. On pose u := ef et
v := mf .
1. On suppose que u = ef (z) ≡ c est constante sur Ω. D´emontrer que f est constante sur Ω.
2. On suppose qu’il existe des nombres r´eels a, b, c ∈ R tels que (a, b) = (0, 0) et que pour tout
z = x + iy ∈ Ω,
a · u(x, y) + b · v(x, y) + c = 0.
Que peut-on dire de f ? Interpr´eter g´eom´etriquement cette condition et appliquer la question
pr´ec´edente.
3. Mˆeme question si on suppose qu’il existe des nombres r´eels a > 0 et b ∈ R tels que pour tout
(x, y) ∈ Ω,
a · u2 (x, y) + b · v 2 (x, y) = 1.
Exercice 5. On rappelle que pour tout z ∈ Ω := C\(−R+ ) il existe un r´eel unique θ(z) ∈]−π, +π[
tel que z = |z|eiθ(z) . La fonction d´efinie par Arg z := θ(z) est appel´ee la branche principale de la
fonction multiforme argz sur le domaine Ω.
1. D´emonter que si z = x + iy ∈ Ω, on
y
.
x + |z|
En d´eduire que Arg est une fonction continue sur Ω et n’admet pas de prolongement continue `a
C∗ := C \ {0}.
2. D´emontrer que la fonction d´efinie par Logz := ln |z| + iArgz est continue sur Ω et v´erifie
l’´equation exp Logz = z pour tout z ∈ Ω: on dit que Log est la branche principale du logarithme
sur Ω. En d´eduire que Log est holomorphe sur Ω et calculer sa d´eriv´ee. La fonction holomorphe
C∗ z −→ 1/z admet-elle une primitive sur C∗ ?
Arg z = 2Arctg
Exercice 6. 1. D´emontrer que la fonction carr´e f : z −→ z 2 est holomorphe sur C et r´ealise une
transformation conforme de C∗ sur C∗ qui envoie les droites sur des paraboles. Est-elle conforme
en 0 ?
2. Pour w ∈ C, r´esoudre l´equation z 2 = w. Sur quels domaines la fonction f est-elle bijective et
quelle est sa bijection r´eciproque ? D´efinir la branche principale de la racine carr´ee sur le domaine
Ω := C \ (−R+ ).
3. Existe t-il une fonction holomorphe h sur C telle que h(z)2 = z pour tout z ∈ C ?
1
2
Exercice 7. On d´efinit la fonction exponentielle sur C par la formule suivante:
∞
exp(z) =
n=0
zn
, z ∈ C.
n!
1. D´emontrer que exp est ind´efiniment C-d´erivable sur C et calculer ses d´eriv´ees complexes
successives.
2. D´emontrer que
∀z, w ∈ C, exp(z + w) = (exp z) · (exp w).
En d´eduire que exp est un homomorphisme du groupe additif (C, +) sur le groupe multiplicatif
(C∗ , ·). Quel est son noyau ?
3. D´eterminer toutes les fonctions C-d´erivables f sur C `a valeurs dans C v´erifiant l’´equation
diff´erentielle complexe f = af , o`
u a ∈ C est un nombre complexe fix´e. Qu’en est-il si a est une
fonction holomorphe sur un domaine de C?
4. D´eterminer l’image par exp des doites horizontales z = α et des droites verticales z = β
et de C (α, β ∈ R). D´emontrer que exp induit un hom´eomorphisme de la bande Bα := {z ∈
C; α − π < z < α + π} sur le domaine Dα := C \ (−R+ · eiα ) et d´eterminer son hom´eomorphisme
inverse (r´eciproque) α .
5. D´emontrer que α est holomorphe sur Dα et caculer sa d´eriv´ee. Exprimer α `a l’aide de la
branche principale du logarithme.
6. D´emontrer que les fonctions suivantes sont holomorphes sur C :
exp(iz) − exp(−iz)
exp(iz) + exp(−iz)
sin(z) :=
et cos(z) :=
.
2i
2
Calculer | sin z| et | cos z|. Les fonctions cos et sin sont-elles born´ees sur C?
7. D´emontrer que ∀z ∈ C, cos2 z + sin2 z = 1.
Exercice 8. On consid`ere le plan complexe compactifi´e C := C ∪ {∞} en ajoutant un point `a
l’infini que l’on identifera `a la sph`ere de Riemann S2 par la projection st´er´eographique.
1. D´emonter que la projection d’un cercle de la sph`ere S2 est soit un cercle de C, soit une droite
de C augment´ee du point `a l’infini: ce sont les cercles de C par d´efinition.
2. D´emontrer que la fonction I : z −→ 1/z est holomorphe sur C∗ := C \ {0} et se prolonge en
un hom´eomorphisme de C sur C qui envoie un cercle sur un cercle.
3. D´eterminer l’image du cercle |z − 2| = r avec r > 0 et de la droite d’´equation x + y = 1?
Exercice 9. On consid`ere la transformation homographique suivante:
z+1
W (z) :=
.
z−1
1. D´emontrer que W est une transformation conforme involutive qui laisse invariant l’axe des r´eels
mz = 0 et qui ´echange l’axe des imaginaires purs ez = 0 et le cercle unit´e. Quelle est l’image
du disque unit´e par W ?
2. En d´eduire que la transformation de Cayley d´efinie par
z−i
C(z) :=
z+i
est une transformation conforme du demi-plan de Poincar´e H := {z ∈ C; z > 0} sur le disque
unit´e D := {z ∈ C; |z| < 1} dont on d´eterminera la transformation inverse.
3. D´emontrer que la fonction d´efinie par
1−z
f (z) := Log
1+z
est un isomorphisme holomorphe du disque unit´e D sur une bande B que l’on d´eterminera.