Transcript DM9 Mathématiques - Lionel chaussade

MPSI2
DM9 Math´
ematiques
Pour le jeudi 20 mars
Dans ce probl`
eme, il n’est pas pr´
ecis´
e si E est de dimension finie. Ainsi, les techniques relatives au
chapitre 20 ne pourront pas ˆ
etre utilis´
ees.
Soit E un R-espace vectoriel et f un endomorphisme de E. Un sous-espace vectoriel V de E est dit stable par f
si et seulement si : ∀x ∈ V, f (x) ∈ V . Pour tout n ∈ N, on note Fn =Im(f n ) et Gn =Ker(f n ).
1. (a) Justifier que pour tout n ∈ N, Fn et Gn sont des sous-espaces vectoriels de E.
(b) D´emontrer que pour tout n ∈ N, Fn+1 ⊂ Fn et Gn ⊂ Gn+1 .
Par une r´ecurrence imm´ediate, on peut alors d´emontrer que pour k ≤ n, Fn ⊂ Fk et Gk ⊂ Gn , ce dont on
pourra se servir dans la suite du probl`eme.
\
2. On appelle coeur de l’endomorphisme f l’ensemble C d´efini par : C =
Fn . On rappelle que cela signifie que
n∈N
x ∈ C si et seulement si : ∀n ∈ N, x ∈ Fn .
On appelle nilespace de l’endomorphisme f l’ensemble N d´efini par : N =
[
Gn . On rappelle que cela signifie
n∈N
que x ∈ N si et seulement si : ∃n ∈ N, x ∈ Gn .
(a) Montrer que C et N sont des sous-espaces vectoriels de E.
(b) D´emontrer que N et C sont stables par f .
(c) D´emontrer que f est injective si et seulement si N = {0}.
(d) D´emontrer que f est surjective si et seulement si C = E.
(e) D´eterminer N et C lorsque f est un automorphisme de E.
3. Dans toute cette question, on suppose qu’il existe n ∈ N tel que Fn = Fn+1 .
(a) Etablir que : ∀p ∈ N : Fn+p = Fn .
(b) Justifier l’existence d’un plus petit entier n tel que Fn = Fn+1 . Ce plus petit entier est not´e dans la suite
r.
(c) D´emontrer que C = Fr .
(d) D´emontrer que E = C + Gr .
4. Dans cette question, on suppose qu’il existe un entier n tel que Gn = Gn+1 .
(a) Etablir que ∀p ∈ N : Gn+p = Gn .
(b) Justifier l’existence d’un plus petit entier n tel que Gn = Gn+1 . Ce plus petit entier est not´e dans la suite
s.
(c) D´emontrer que N = Gs .
(d) D´emontrer que Fs ∩ N = {0}.
5. On suppose qu’il existe n ∈ N tel que Fn = Fn+1 et Gn+1 = Gn+2 . Montrer que Gn = Gn+1 .
6. On suppose qu’il existe n ∈ N tel que Gn = Gn+1 et Fn+1 = Fn+2 . Montrer que Fn = Fn+1 .
7. On suppose les conditions des questions 3. et 4. r´ealis´ees, c’est-`a-dire qu’il existe un plus petit entier naturel,
not´e toujours r, tel que Fr = Fr+1 et qu’il existe un plus petit entier naturel, not´e toujours s, tel que Gs = Gs+1 .
On suppose de plus que r et s sont tous les deux non nuls.
(a) Montrer que r = s.
(b) Etablir que N et C sont suppl´ementaires dans E.
(c) Montrer que f|C ∈ L(C) est bien d´efinie et qu’elle est bijective.
(d) Montrer que f|N ∈ L(N ) est bien d´efinie et qu’elle est nilpotente, c’est-`a-dire qu’une de ses puissances est
l’application nulle.
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8. Dans cette question E est de dimension finie.
(a) D´emontrer que r et s existent.
(b) Soit k ∈ N. On note fk la restriction de f `a Fk .
i. Justifier que fk ∈ L(Fk ).
ii. D´emontrer que dim(Fk ) − dim(Fk+1 ) = dim(Ker(fk )).
iii. En d´eduire que la suite (dim(Fk ) − dim(Fk+1 )) est d´ecroissante.
9. Dans cette question E = R[X].
(a) Trouver un endomorphisme de E tel que r existe mais s n’existe pas.
(b) Trouver un endomorphisme de E tel que s existe mais r n’existe pas.
(c) Trouver un endomorphisme de E tel que r et s n’existent pas.
Les trois exercices suivants sont facultatifs, ils sont extraits de l’oral de l’ENS.
Familles positivement g´
en´
eratrices
Soit E un R-espace vectoriel de dimension n ≥ 1. On consid`ere une famille F = (ei )1≤i≤p o`
u p ∈ N∗ positivement
g´en´eratrice, ce qui signifie que :
p
X
∗ p
∀x ∈ E, ∃(λi )1≤i≤p ∈ (R+ ) , x =
λi ei
i=1
1. D´emontrer que p ≥ n + 1.
2. Donner une famille positivement g´en´eratrice de cardinal n + 1.
Th´
eor`
eme de Maschke
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N∗ . On consid`ere G un sous-groupe fini de GL(E) et F un
sous-espace vectoriel stable par tous les ´el´ements de G. Montrer que F admet un suppl´ementaire stable par tous les
´elements de G.
X
1
On pourra ´etudier l’application lin´eaire p =
g ◦ q ◦ g −1 o`
u q est un projecteur d’image F . On pourra
Card(G)
g∈G
notamment d´emontrer que p est un projecteur et que son noyau est un suppl´ementaire de F stable par tous les
´el´ements de G.
On rappelle que GL(E) est le groupe des automorphismes de E. Un sous-espace vectoriel F est stable par un
endomorphisme f si et seulement si :
∀x ∈ F, f (x) ∈ F
Racine carr´
ee de la d´
erivation
On consid`ere l’application :
∆ : C ∞ (R) → C ∞ (R)
f
7→
f0
D´emontrer qu’il n’existe pas d’application T ∈ L(C ∞ (R)) telle que T 2 = ∆.
On pourra raisonner par l’absurde et restreindre les applications consid´er´ees `a Ker(∆2 ).