Transcript Test de cours du mercredi 18 février 2 - IMJ-PRG

UPMC
2M216
Fonctions de plusieurs variables et int´egrales multiples
2014-2015
TD 16 – Test de cours du mercredi 18 f´evrier 2015
Aucun document ou appareil ´
electronique autoris´
e
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies. En particulier, les
r´esultats non justifi´es ne seront pas pris en compte.
A. Soit f une fonction de R2 dans R, et X ∈ R2 . Donner la d´efinition de l’assertion f est continue
en X , puis de l’assertion f est continue sur R2 .
B. On suppose que f : R2 → R est lipschitzienne. Qu’est-ce que cela signifie ?
C. D´emontrer que si f : R2 → R est lipschitzienne, alors elle est continue sur R2 .
D. Si E ⊂ R2 , donner les d´efinitions de sup f (X) et de max f (X). Lequel n’existe pas toujours ?
X∈E
X∈E
R2 .
1. Soit N la norme euclidienne de
Montrer que c’est une fonction lipschitzienne.
(indications : X = X − Y + Y , Y = Y − X + X, et si x est un r´eel, |x| = max(x, −x))
2. On note
g:
R2
−→
R
2
(x, y) 7−→ x + e|y| .
Justifier le fait que g est continue.
3. On note
n
o
K = (x, y) ∈ R2 |x2 + e|y| ≤ 3 .
Justifier le fait que K est compact.
4. Justifier les faits suivants :
a. sup N (X) est fini.
X∈K
b. Il existe X0 ∈ R2 tel que N (X0 ) = sup N (X).
X∈K
c. sup N (X) = max N (X).
X∈K
X∈K