Transcript Devoir Libre Obligatoire n°3

Devoir
1
Libre n03
PSI
MATHEMATIQUES
Vous avez le choix entre
- la liste des exercices page 2 à rendre le 17 octobre où le dernier exercice est facultatif.
Et
- un sujet type centrale page 3-4-5à rendre le.3 novembre.
Dans la question l A 7), le langage de programmation utilisé sera bien entendu
Python!
Exercice
1 : Etudier la nature des séries suivantes :
n!
1. ~-.
L..J nn
n~l
L
3. L y'ln(n + 1) - Vlnn.
n~l
2. n~l ln (cos (~)) ln (sin (~)).
4.
L
n~l
(-l)nln(n).
n
(-l)n
L
5. n~l J1ï + (-l)n+1'
Exercice
2 : Déterminer la trace de l'endomorphisme f de Mn(R) défini par:
"lM E Mn(R),f(M)
Exercice
= M +t M
3 : Calculer le déterminant de i'endomorphisme U de Rn[X] défini par
Exercice 4: SoientnE JN*,(A, B, G) E (Mn (lK))3, DE GLn(lK) telles que GD = DG.
1. Calculer
(~ ~) (~
2. Montrerque
Exercice
D~l ).
(~ ~) est inversible ssi AD -
BG l'est.
5 : Pour n E JN, on pose
+00
Un
(_l)k
= k=n+l
L Vk + 1
L
(-l)k
1. Montrer la convergence de la série k>-OVk+T'
k+1
~
2.
Quel est le lien entre Un et la série précédente? Donner le signe de Un en fonction
de (_l)n.
3. Justifier que
L Un est une série alternée.
4. Etablir que
.
d f .t ~
5. Etudier la monotome e.
6. En déduire la convergencede L
1
vt+ï
Un.
-
1
Jt+2
sur R+.
Sujet Centrale
Notation: C(I,IR) désigne l'ensemble des applications continues sur l'intervalle
l, à valeurs réelles. On écrira indifféremment un polynôme P ou P(X) et on
identifiera un polynôme et la fonction polynomiale associée.
Les trois parties sont indépendantes.
dépendent des parties précédentes.
Seules les questions
Partie
1
III.B.I) et III.C.5)
-
"
Pour nE IN , on note f n l'application
définie pour xE [-1 ,1] par :
1
f n(x)
= -;;-:ï
cos(nArccosx)
2
I.ALA.I)
Montrer que fn est une application polynomiale de degré n et à coefficients réels.
On pourra, par exemple, poser 8 = Arccosx et exprimer cosn8 en fonction de
puissances entières de cos8 , en raisonnant par récurrence.
Dans toute la suite de la Partie!, pour nE IN", on note T n le polynôme associé à
la fonction polynomiale f n ce qui signifie, par exemple, que si
fn(x) = anxn+...+a1x+aO' alors Tn(X) = anXn+...+a[X+ao.
.
Rar azll eurs, pour n E IN", on pose P n = 2 n - 1T n .
.
LA.2)
LA.3)
Déterminer le terme de degré n du polynôme Tn .
Calculer T[ , T2, T3, T4.
LA.4)
Montrer
LA.5)
Montrer que les racines de P n sont:
Xk
que, pour tout entier
2k - 1
= cos (znJ't,
)
n ., 2 : P n + 1+ P n _ 1 = 2XP n
.
avec 1:$ k:$ n
et qu'elles sont simples.
LA.6)
Montrer qu'il y a n + 1 points x'k du segment [-1,1] où la fonction fn
atteint un extrémum absolu. Déterminer cet extrémum.
LA. 7)
Écrire, dans un langage de programmation
au choix du candidat, un
algorithme permettant de calculer Pn pour tout n ., 1.
I.BLB.I)
Tracer les courbes représentatives des fonctions fi' f 2 , f; , f 4 .
LB.2) Montrer qu'il n'existe pas de polynôme P unitaire de degré n tel que
sup
IP(x)1<
-lsxsl
-1
2n-1
(on pourra considérer le polynôme T n - P et utiliser les résultats
LB.3)
précédents).
Établir que, pour tout polynôme unitaire P de degré n
sup If n(x)1:$ -lsxsl
sup
-lsxsl
IP(x)1
I
LBA)
LB.5)
Soit fE C([-I,l],IR). Montrer l'existence de l'intégrale
-x
a)
Montrer que l'application
C([-l,l],IR).
b) Montrer
dx.
J-1 ~f(X)
2
1
que la famille
famille orthonormale
J
(f,g) H -[[ fJ!-!}}?
l_x2 dx définit un produit scalaire sur
.
de fonctions (hn) nE rn avec hn(x)
pour le produit scalaire
= ~~ P n(x)
f3.
est une
(on peut utiliser un changement de variable du type e = Arccosx pour calculer
certaines intégrales avec les justifications nécessaires).
Partie II
-
Dan~ %tte partie, le plan euclidien est rapporté à un repère orthonormé direct
(0; i j ) et E est une partie fermée et bornée de ce plan, contenant une infinité
de points. Pour A , B , C dans E , on note:
.
d(A, B) ==AB,
d(A, B, C) ==(AB, AC. BC)I/3
dz == sup d(A, B)
(A,B)e EZ
'
d3 == sup
d(A, B, C)
(A,B, C) e E3
IIAILA.I)
Montrer que l'application
d : Ex E - IR+
(A,B) f-7d(A, B)
est continue sur Ex E et en déduire que d2 et d3 sont bien définis dans IR.
II.A.2)
Montrer que d3 s dz'
II.A.3)
Justifier que d3 ==
II.B - Montrer
sup
supd(A,
(A,B)
EE 2(CeE
que si E est un segment
B, C»).
de longueur
a
> 0 , alors
.
d3 == ~.
~
II.C - On suppose à présent que E est le cercle C(O,R) de centre l'origine
et de
~ ---7
rayon R> 0 . L'angle polaire d'un point ME E est par définition l'angle ( i , OM) .
II.C.I)
Montrer que si A, B sont deux points de E , dont les angles polaires ont
p-a
pour mesures respectives a et ~ avec 0 s a < ~ s 2n , on a : AB ==2R sin-z
.
ILC.2)
Soient a, y E [0,2n] fixés, avec a s y .
~
y-p
Vérifier que la fonction, définie sur [a,y], qui à ~ associe sin ;a sinT
a+
son maximum en .~ ---1
2 .
atteint
-
==
II.C.3)
Étudier
cp(t) == t
3
les variations
r-2
sur [0,1] de la fonction
cp qui à tE [0,1] associe
'.J1 - r .
Déduire de ce qui précède que d3 == J3. R.
ILCA)
Partie
-
III
Dans toute la partie III, E est le segment [-1,1] de l'axe réel. Pour tout entier
n ., 2 , on note :
2
TI
D(xp...,xn)==
IIIA
\ S!<Jsn
Ix,;-xil,
Dn==
sup
X1,.."XnEE
D(xi,...,xn),
dn==D~(n-l)
-
IILA.I) Montrer que pour tout n., 2, il existe 1..\'..., Àn+\ EB tels que
Dn + \ ==D(À1, ..., Àn+ i) .
III.A.2)
Vérifier
v en, .fier
IIIA3)
..
que Dn + 1s !À2-Àd .11..3-1..
d . ... 'IÀn + \-Àd . Dn'
que
"+I
D ZIl + \ e t
Dn+l
n + \ Sn.D
IILAA) Montrer que la suite (dn) nE
l lm d n'
d
,
lN
d e' dUlre
'
en
que
. est convergente.
n-l
n+\
D n + 1 S D Il .
On notera désormais
==
n
~
+co
Pour n., 1 , on note f31JIl l'ensemble des polynômes unitaires de degré n.
On note pour P E f31Jn ,
!l(P)
==
sup
-lsxsl
IP(x)\,
!ln == inf !l(P),
PEP n
mn ==
~
IH.B
-
.,
r
III.B.I) À l'aide
de la question I.B.3, calculer mn pour n ~ 1.
III.B.2)
que la suite (mn)nEIN est convergente; on pose m:= nlimoomn.
,
. Montrer
D
etermmer
m.
TT
.
Établir que si une suite (un) nEJN converge vers .t, la suite
III.B.3)
-
U1 + 2u2 + 0.. + nUn
(
n(n + 1)
dont on admet
(xI'
o.o,Xn+I)EEn+l,
la valeur
vers 2"
.1 = 0 puis ramener le cas général à ce cas).
(on pourra traiter le cas particulier
À tout élément
.1
)nE JNTconverge
on associe le déterminant
V(xl,ooo,xn+l)
:
n-I
XI
n-I
=
'00 Xn+1
TI
1si<jsn+
(xrxi)
1
IH.CIII.C.I)
Démontrer que pour tout polynôme unitaire P de degré n, on a:
n-I
III.C.2) En développant
établir que:
n(n+ 1)
-ydn+1
00.
P(xl)
.00 P(xn+
Xn+1
1)
le dernier déterminant
n(n-I)
s(n+l)dn
n-I
xl
-y-
n
mn
III.C.3) En considérant le polynôme particulier
P(x) = (x-xl)...(x-xn),
montrer que:
n(n-I)
n -ymn . dn
III.CA)
III.C.5)
par rapport à la dernière ligne,
P, défini par :
n(n+ 1)
-ys dn + 1
Déduire de ce qui précède que mn :Sdn + 1.
En utilisant les 1guestions III.C.2, III.B.I et III.B.3, montrer que d s m
et conclure que d
= m = 2:'
---FIN---