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Cours d’Analyse Harmonique Classique
Inégalités en norme sur l’intégrale fractionnaire
Ibrahim FOFANA
13 mars 2014
Chapitre 1
Introduction
1.1
Transformation de Fourier dans S(Rd)
d est un entier strictement positif fixé pour toute la suite.
R est muni sa structure uselle d’espace de Hilbert réel et de sa mesure de Lebesgue.
Nous posons, pour tous éléments x = (x1 , x2 , ..., xn ) et y = (y1 , y2 , ..., yn ) de Rd
d
x.y =
n
∑
xj yj
et
1
|x| = (x.x) 2 .
j=1
C ∞ (Rd , C) désigne l’ensemble des applications de classe C ∞ (indéfiniment différentiables )
de Rd dans C.
Pour tout multi-indice α = (α1 , α2 , ..., αd ) ∈ Nd nous posons
• |α| = α1 + α2 + ... + αd
• ∀x ∈ Rd xα = xα1 1 xα2 2 ...xαd d
∂α
∂ α1 ∂ α2
∂ αd
• ∀φ ∈ C ∞ (Rd , C)
(φ)
=
...
φ.
∂xα
∂xα1 1 ∂xα2 2 ∂xαd d
• L’ensemble S(Rd ) des fonctions test de Schwartz est défini par
S(Rd ) = {φ ∈ C ∞ (Rd , C) : ∀α, β ∈ Nd pα, β (φ) < +∞}
α ∂β
pα, β (φ) = sup x
φ(x) .
β
∂x
x∈Rd
où
(I.1.1)
Il est clair que muni des opérations usuelles sur les fonctions complexes ( addition, multiplication par les scalaires et multiplication définies point par point) S(Rd ) est une algèbre sur
C.
La transformée de Fourier F(φ) (notée aussi φ)
b d’un élément φ de S(Rd ) est définie par
∫
d
− d2
∀ξ ∈ R , F(φ)(ξ) = (2π)
φ(x)e−ix.ξ dx.
(I.1.2)
Rd
Exemple 1.1.1. La fonction gaussienne x 7→ G(x) = e−
Un calcul élémentaire montre que F(G) = G.
|x|2
2
appartient clairement à S(Rd ).
Rappelons que la transformée de Fourier possède les propriétés énoncées ci-dessous.
Proposition 1.1.2.
1) Pour tout élément (α, φ) de Nd × S(Rd ), x 7−→
Mα (φ)(x) = (ix)α φ(x) appartiennent à S(Rd ) et en tout point ξ de Rd
[ α
]
∂
F
(φ) (ξ) = Mα [F(φ)](ξ)
∂xα
1
∂α
(φ)(x) et x 7−→
∂xα
(I.1.4)
F[Mα (φ)](ξ) = (−1)|α|
∂α
[F(φ)](ξ)
∂ξ α
(I.1.5)
2) F est un endomorphisme de S(Rd ).
Remarque 1.1.3. Considérons deux éléments φ et ψ de S(Rd ). Nous avons
∫
∫
d
−d
−iy.ξ
∀ξ ∈ R
F(φ)(ξ)F(ψ)(ξ) = (2π)
φ(y)e
dy
ψ(z)e−iz.ξ dz
d
d
[∫ R
]
∫R
−d
−iy.ξ
−iz.ξ
= (2π)
φ(y)e
ψ(z)e
dz dy
Rd
Rd
]
[∫
∫
−iy.ξ
−i(z+y).ξ iy.ξ
−d
φ(y)e
ψ(z)e
e dz dy
= (2π)
Rd
Rd
[∫
]
∫
−ix.ξ
−d
φ(y)
ψ(x − y)e
dx dy.
= (2π)
Rd
Rd
En appliquant le théorème de Fubini-Tonelli, nous arrivons à
]
∫ [∫
d
−d
∀ξ ∈ R
F(φ)(ξ)F(ψ)(ξ) = (2π)
φ(y)ψ(x − y)dy e−ix.ξ dx.
Rd
Rd
Cela nous amène à introduire la notion suivante.
Définition 1.1.4. Considérons deux fonctions f et g intégrables sur Rd . Le produit de convolution
f ∗ g de f par g est défini par
∫
∫
d
∀x ∈ R f ∗ g(x) =
f (y)g(x − y)dy =
f (x − y)g(y)dy.
Rd
Rd
Rappellons le résultat suivant.
Proposition 1.1.5. 1) Pour tous éléments φ et ψ de S(Rd ), φ ∗ ψ appartient à S(Rd ) et
d
F(φ ∗ ψ) = (2π) 2 F(φ)F(ψ).
(I.1.6)
2) F est un isomorphisme de l’espace vectoriel S(Rd ) dont la réciproque est la cotransformation de
Fourier F définie par
∫
d
d
− d2
∀φ ∈ S(R ) ∀ξ ∈ R , F(φ)(ξ) = F(φ)(−ξ) = (2π)
φ(x)eix.ξ dx.
(I.1.7)
Rd
3) Considérons un isomorphisme l de Rd et notons l∗ l’inverse de la transposée de l :
∀x, ξ ∈ Rd l−1 (x).ξ = x.l∗ (ξ).
Alors pour tout élément φ de S(Rd ), φ ◦ l appartient à S(Rd ) et vérifie
∀ξ ∈ Rd F(φ ◦ l) =
1
F(φ) ◦ l∗ .
|det l|
Considérons un opérateur différentiel linéaire et à coefficients constants L =
un élément ψ de S(R ) et l’équation aux dérivées partielles
(I.1.8)
∑
|α|≤m
aα
∂α
,
∂xα
d
Lφ = ψ.
2
(E)
Remarquons que d’après la proposition 1.1.2, nous avons
∑
aα (iξ)α F(φ)(ξ).
∀φ ∈ S(Rd ) ∀ξ ∈ Rd F(Lφ)(ξ) =
|α|≤m
Ainsi, un élément φ de S(Rd ) est solution de l’équation (E) si et seulement si
P F(φ) = F(ψ)
∑
où P désigne le polynôme ξ −
7 → P (ξ) =
i|α| aα ξ α
|α|≤m
Exemple 1.1.6. Considérons l’opérateur de Laplace △ =
d
∑
∂2
et l’équation de Laplace △φ = 0.
2
∂x
j
j=1
Pour tout élément φ de S(Rd ) nous avons
−△φ = 0 ⇐⇒ ∀ξ ∈ R
d
d
∑
ξj2 φ(ξ)
b =0
j−1
⇐⇒ ∀ξ ∈ R \ {0} φ(ξ)
b =0
d
⇐⇒ ∀ξ ∈ R φ(ξ)
b =0
⇐⇒ φ = 0.
d
Remarquons que si le polynôme P ne s’annule pas sur Rd alors pour tout élément φ de S(Rd ) nous
avons
Lφ = ψ ⇐⇒ P φ = F(ψ)
1
⇐⇒ F (φ) = F(ψ)
[P
]
⇐⇒ φ = F P −1 F(ψ)
car P −1 F(ψ) appartient à S(Rd ).
Exemple 1.1.7. Soit ψ un élément de S(Rd ) nous avons
−△φ + φ = ψ ⇐⇒ ∀ξ ∈ Rd (|ξ|2 + 1)F(φ)(ξ) = F(ψ)(ξ)
1
⇐⇒ ∀ξ ∈ Rd F(φ)(ξ) = 2
F(ψ)(ξ) = R(ξ)F(ψ)(ξ)
|ξ| + 1
⇐⇒ φ = F [RF(ψ)]
−△φ = ψ ⇐⇒ ∀ξ ∈ Rd |ξ|2 F(φ)(ξ) = F(ψ)(ξ)
1
⇐⇒ ∀ξ ∈ Rd \ 0 F(φ)(ξ) = 2 F(ψ)(ξ).
|ξ|
Nous constatons que ξ 7−→ |ξ|−2 F(ψ)(ξ) n’appartient toujours pas à S(Rd ).
−△φ = ψ est appelée une équation de Poisson.
3
1.2
Transformation de Fourier dans S ′(Rd)
Les considérations faites au paragraphe précédent conduisent à la question suivante :
peut-on étendre les notions de dérivation partielle et de transformation de Fourier à un
espace plus vaste que S(Rd ) et dans lequel on dispose de formules analogues à (I.1.4) et
(I.1.6) ?
L’espace S ′ (Rd ) des distributions tempérées sur Rd permet de répondre positivement à
cette question. Avant de l’introduire, rappelons quelques compléments sur S(Rd ).
Proposition 1.2.1. {pα, β : α, β ∈ Nd } est un ensemble de semi-normes définissant sur S(Rd ) une
topologie d’espace de Fréchet ( espace vectoriel topologique complexe, localement convexe, métrisable
et complet).
S(Rd ) sera toujours considéré comme muni de la topologie définie par {pα, β : α, β ∈ Nd }.
Proposition 1.2.2. 1) Pour tout multi-indice α de Nd , φ 7−→
∂α
(φ) et φ 7−→ Mα (φ) sont des
∂xα
endomorphismes continus de S(Rd ).
2) Lorsque S(Rd ) × S(Rd ) est muni de la topologie produit de celle de ses facteurs les produits
S(Rd ) × S(Rd ) −→ S(Rd )
(φ, ψ) 7−→ φψ
et
S(Rd ) × S(Rd ) −→ S(Rd )
(φ, ψ) 7−→ φ ∗ ψ
sont continus.
3) F est un homéomorphisme de S(Rd ) sur lui-même.
4) Pour tout élément p de [1, +∞], S(Rd ) est inclus dans l’espace de Lebesgue Lp (Rd ) = Lp (Rd , dx)
muni de sa norme usuelle f 7−→ ∥f ∥p .
En plus S(Rd ) est dense dans Lp (Rd ) lorsque 1 ≤ p < +∞.
L’espace S ′ (Rd ) des distributions tempérées sur Rd est par définition, le dual topologioque de S(Rd muni de la topologie ∗-faible (topologie de la convergence simple).
Exemple 1.2.3. 1) Considérons un élément f de L1loc (Rd ) ( f est la classe d’équivalence modulo
l’égalité presque partout, d’une fonction mesurable et intégrable sur tout sous-ensemble compact de
Rd ).
∫
k
Supposons qu’il existe un entier positif k tel que
(1 + |x|2 )− 2 |f (x)|dx < ∞.
Rd
Nous avons, pour tout élément φ de S(Rd )
∫
∫
k
k
|f (x)φ(x)|dx =
|f (x)|(1 + |x|2 )− 2 (1 + |x|2 ) 2 |φ(x)|dx
Rd
Rd ∫
k
k
≤ 2 2 −1
|f (x)|(1 + |x|2 )− 2 (|φ(x)| + |x|k |φ(x)|)dx
d
R

∫
∑
k
k
−1 

2
p0, 0 (φ) +
pα, 0 (φ)
|f (x)|(1 + |x|2 )− 2 dx < +∞
≤ 2
|α|=k
Rd
et par suite , f φ est intégrable et vérifie


∫
∫
∑
k
−1 

2
p0, 0 (φ) +
pα, 0 (φ)
d f (x)φ(x)dx ≤ 2
R
|α|=k
4
Rd
|f (x)|(1 + |x|2 )− 2 dx.
k
∫
Ainsi, compte tenu de la linéarité de l’intégrale, φ 7−→ ⟨Tf , φ⟩ = Rd f (x)φ(x)dx est une distribution tempérée.
2) Considérons un élément p de [1, ∞] et un entier k > pd′ où p′ désigne l’exposant conjugué de
1
1
1
p : ′ + = 1 (avec la convention
= 0).
p
p
+∞
Remarquons que :
k
′
• x 7−→ g(x) = (1 + |x|2 )− 2 appartient à Lp (Rd )
• tout élément f de Lp (Rd ) appartient à L1loc (Rd ) et vérifie
∫
k
|f (x)|(1 + |x|2 )− 2 dx ≤ ∥f ∥p ∥g∥p′ < +∞.
Rd
∫
Par conséquent, d’après le point 1), pour tout élément f de Lp (Rd ), φ 7−→ ⟨Tf , φ⟩ = Rd f (x)φ(x)dx
appartient à S ′ (Rd ) et en plus,


∑
k
∀φ ∈ S(Rd ) |⟨Tf , φ⟩| ≤ 2 2 −1 ∥f ∥p ∥g∥p′ p0, 0 (φ) +
pα, 0 (φ) .
|α|=k
La linéarité de l’intégrale et l’inégalité précédente montrent que f 7−→ Tf est une application linéaire
continue de Lp (Rd ) dans S ′ (Rd ).
3) Considérons un élément γ de ]0, 1[ et le noyau de Riesz kγ défini par
∀x ∈ Rd \0 kγ (x) = |x|d(γ−1) .
Il est aisé de voir que kγ appartient à L1loc (Rd ) et vérifie
∫
∫
∫
d(γ−1)
2 − d2
|x|
dx +
kγ (x)(1 + |x| ) dx ≤
|x|≤1
Rd
Donc d’après le point 1), φ 7−→ ⟨Tkγ , φ⟩ =
∫
Rd
1
|x|>1
|x|d+d(1−γ)
dx < +∞.
kγ (x)φ(x)dx est une distribution tempérée sur Rd .
Définition 1.2.4. Une fonction f de classe C ∞ sur Rd est dite à croissance lente lorsqu’elle vérifie
α
k(α) d
∗
2 − 2 ∂
< +∞.
∀α ∈ N ∃k(α) ∈ N : sup (1 + |x| )
(f
)(x)
∂xα
x∈Rd
Remarque 1.2.5. Considérons un élément S de S ′ (Rd ) et une fonction f à croissance lente sur Rd .
Il est clair que φ 7−→ f φ est un endomorphisme continu de S(Rd ) et par suite φ 7−→ ⟨S, f φ⟩ est
une distribution tempérée. Nous notons
∀φ ∈ S(Rd ) ⟨f S, φ⟩ = ⟨S, f φ⟩
(I.2.1)
En particulier, pour tout α ∈ Rd , x 7−→ mα (x) = (ix)α est à croissance lente sur Rd et nous posons
(I.2.2)
Mα (S) = mα S
Remarque 1.2.6. Considérons deux éléments φ et ψ de S(Rd ).
1) En utilisant une intégration par parties et le fait que lim
|x|−→+∞
∫
obtenons :
∀j ∈ {1, 2, ..., d}
Rd
∂φ
(x)ψ(x)dx = −
∂xj
5
φ(x) = 0 =
∫
φ(x)
Rd
lim
|x|−→+∞
∂ψ
(x)dx
∂xj
ψ(x), nous
et par suite,
∫
∀α ∈ N
d
Rd
∂α
(φ)(x)ψ(x)dx = (−1)|α|
∂xα
∫
φ(x)
Rd
c’est-à-dire que
∀α ∈ Nd ⟨T ∂ αα (φ) , ψ⟩ = (−1)|α| ⟨Tφ ,
∂x
∂α
(ψ)(x)dx
∂xα
∂α
(ψ)⟩
∂xα
2) En utilisant le théorème de Fubini-Tonelli, nous obtenons
]
∫
∫ [∫
− d2
−ix.ξ
F(φ)(ξ)ψ(ξ)dξ = (2π)
φ(x)e
dx ψ(ξ)dξ
Rd
Rd
Rd
[∫
]
∫
−ix.ξ
− d2
e
ψ(ξ)dξ dx
= (2π)
φ(x)
Rd
Rd
∫
=
φ(x)F(ψ)(x)dx
Rd
c’est-à-dire
⟨TF(φ) , ψ⟩ = ⟨Tφ , F(ψ)⟩
3) Grâce à un changement de variables et au théorème de Fubini-Tonelli nous obtenons pour tout
élément θ de S(Rd )
]
∫
∫ [∫
φ ∗ ψ(x)θ(x)dx =
φ(x − y)ψ(y)dy θ(x)dx
Rd
Rd
Rd
]
∫ [∫
=
φ(z)ψ(x − z)dz θ(x)dx
Rd
Rd
∫
=
φ(z) [ψ(x − z)θ(x)dx] dz
Rd
[∫
]
∫
=
φ(z)
ψ(−(z − x))θ(x)dx dz
Rd
c’est-à-dire
Rd
⟨Tφ∗ψ , θ⟩ = ⟨Tφ , ψe ∗ θ⟩
où ψe est définie par
∀u ∈ Rd
e
ψ(u)
= ψ(−u).
Les formules obtenues dans les remarques ci-dessus conduisent à étendre les notions de
dérivation partielle, transformation de Fourier et produit de convolution comme suit
Définition 1.2.7. Considérons une distribution tempérée S sur Rd .
∂α
1) Pour tout multi-indice α ∈ Nd , α (S) est définie par
∂x
⟨ α
⟩
⟨
⟩
∂
∂α
d
|α|
∀φ ∈ S(R )
(S), φ = (−1)
S,
(φ)
∂xα
∂xα
(I.2.3)
2) La transformée de Fourier F(S) = Sb et la cotransformée de Fourier F(S) de S sont définies par
∀φ ∈ S(Rd ) ⟨F(S), φ⟩ = ⟨S, F(φ)⟩ et ⟨F(S), φ⟩ = ⟨S, F(φ)⟩.
(I.2.4)
3) Pour tout ψ de S(Rd ), le produit de convolution de S ∗ ψ est défini par
∀φ ∈ S(Rd ) ⟨S ∗ ψ, φ⟩ = ⟨S, ψe ∗ φ⟩.
6
(I.2.5)
Remarque 1.2.8. Considerons un élément (S, α, ψ) de S ′ (Rd ) × Nd × S(Rd ).
∂α
1) Il est clair que α (S), F(S), F(S) et S ∗ ψ sont des éléments de S ′ (Rd )
∂x
2) Notons : ∀x, y ∈ Rd τx (ψ)(y) = ψ(y − x)
e appartient à S(Rd ). En plus, on montre que x 7−→
Il est clair que, pour tout élément x de Rd , τx (ψ)
e est une fonction à croissance lente sur Rd vérifiant
⟨S, τx (ψ)⟩
S ∗ ψ = T⟨S, τ. (ψ)⟩
e
(voir [3] page 151).
∫
En particulier, si f est un élément de
L1loc (Rd )
tel que
positif k, alors la fonction f ∗ ψ définie par
∀x ∈ R
d
(1 + |x|2 )− 2 |f (x)|dx < +∞ pour un entier
k
Rd
e =
f ∗ ψ(x) = ⟨Tf , τx (ψ)⟩
est à croissance lente sur Rd et vérifie
(I.2.6)
∫
Rd
f (y)ψ(x − y)dy
Tf ∗ ψ = Tf ∗ψ .
(I.2.7)
(I.2.8)
3) Pour tout élément φ de S(Rd ) nous avons
⟨F[F(S)], φ⟩ = ⟨F(S), F(φ)⟩ = ⟨S, F ◦ F(φ)⟩ = ⟨S, φ⟩
et
⟨F[F(S)], φ⟩ = ⟨F(S), F(φ)⟩ = ⟨S, F ◦ F(S)⟩ = ⟨S, φ⟩.
Donc
F ◦ F(S) = F ◦ F(S) = S
(I.2.9)
4) Considérons un élément φ de S(Rd ).
Nous avons
⟨ [ α
]
⟩ ⟨ α
⟩
⟨
⟩
∂
∂
∂α
|α|
F
(S) , φ =
(S), F(φ) = (−1)
S,
[F(φ)]
∂xα
∂xα
∂xα
et par suite, d’après I.1.4
]
⟩
⟨ [ α
∂
F
(S) , φ = ⟨S, F[Mα (φ)]⟩ = ⟨F(S), M α (φ)⟩
α
∂x
]
∂α
(S) = Mα [F(S)].
F
∂xα
[
Donc
De même nous avons
F[Mα (S)] = (−1)|α|
∂α
[F(S)]
∂xα
(I.2.10)
(I.2.11)
5) Pour tout élément φ de S(Rd ) nous avons
⟨F(S ∗ ψ), φ⟩ = ⟨S ∗ ψ, F(ψ)⟩ = ⟨S, ψe ∗ F (φ)⟩
e
= ⟨S, F[F(ψe ∗ F (φ))]⟩ = ⟨F(S), F(ψ)φ⟩
= ⟨F(S), F(ψ)φ⟩
= ⟨F(S)F(ψ), φ⟩
Donc
F(S ∗ ψ) = F(S)F(ψ).
7
(I.2.12)
Exemple 1.2.9. 1) Considérons un élément f de L1 (Rd ).
Il existe une suite (ψn )n≥1 d’éléments de S(Rd ) convergeant vers f dans L1 (Rd ).
Remarquons que pour tout élément φ de S(Rd ), F(φ) est une fonction continue sur Rd et
∫
d
− d2
∥F(φ)∥∞ = sup |F(φ)(ξ)| ≤ (2π)
|φ(x)|dx = (2π)− 2 ∥φ∥1 .
Rd
ξ∈Rd
Par conséquent, (F(ψn ))n≥1 est une suite de fonctions continues et bornées sur Rd , de Cauchy pour
la norme de la convergence uniforme. Par suite (F(ψn ))n≥1 converge uniformement vers une fonction
continue et bornée que nous noterons F(f ) ou fb et qui vérifie
∥F(f )∥+∞ ≤ (2π)− 2 ∥f ∥1
d
(I.2.13)
Remarquons que pour tout ξ ∈ Rd ,
− d2
∫
F(f )(ξ) = lim F(ψn ))(ξ) = lim (2π)
n−→∞
n−→∞
Rd
∫
∀φ ∈ S(R ) ⟨F(Tf ), φ⟩ = ⟨Tf , F(φ)⟩ =
−ix.ξ
d
ψn (x)e
− d2
∫
dx = (2π)
∫
f (ξ)F(φ)(ξ)dξ = lim
n−→∞
Rd
Rd
f (x)e−ix.ξ dx
Rd
(I.2.14)
ψn (ξ)F(φ)(ξ)dξ
et par suite, d’après la remarque 1.2.6 2)
∫
∀φ ∈ S(R )
d
⟨F(Tf ), φ⟩ =
lim
n−→+∞
∫
=
Rd
Rd
F(ψn )(ξ)φ(ξ)dξ
F(f )(ξ)φ(ξ)dξ
= ⟨TF(f ) , φ⟩
c’est-à-dire que
F(Tf ) = TF (f ) .
(I.2.15)
2) Considerons un élément f de L2 (Rd )
• Il existe une suite (ψn )n≥0 d’éléments de S(Rd ) convergeant vers f dans L2 (Rd ).
• Remarquons que
∫
∫
d
∀φ, ψ ∈ S(R )
F(φ)(x)F(ψ)(x)dx =
F(φ)(x)F(ψ)(x)dx
Rd
Rd
∫
=
F[F(φ)](x)ψ(x)dx
d
∫R
=
φ(x)ψ(x)dx.
Rd
Ainsi nous avons
En particulier,
∀φ ∈ S(Rd ) ∥F(φ)∥2 = ∥φ∥2 .
∀n, m ∈ N ∥F(ψm ) − F (ψn )∥2 = ∥F(ψm − ψn )∥2 .
Ainsi (F(ψm ))m≥0 est de Cauchy dans L2 (Rd ) et y converge vers un élément que nous noterons F(f )
ou fb et qui vérifie l’identité de Plancherel
∥F(f )∥2 = ∥f ∥2 .
8
(I.2.16)
Remarquons que
∫
∀φ ∈ S(R ) ⟨F(Tf ), φ⟩ = ⟨Tf , F(φ)⟩ =
f (x)F(φ)(x)dx
Rd
∫
=
lim
ψn (x)F(φ)(x)dx
n−→+∞ Rd
∫
∫
=
lim
F(ψn )(x)φ(x)dx =
F(f )(x)φ(x)dx
d
n−→+∞
c’est-à-dire que
Rd
Rd
F(Tf ) = TF (f ) .
3) Considérons un élément γ de ]0, 1[ et le noyau de Riesz kγ .
1
a) Supposons que γ < .
2
Nous avons
kγ = f1 + f2 avec f1 = kγ χ{x∈Rd : |x|<1} et f2 = kγ χ{x∈Rd : |x|≥1}
.
• Remarquons que f1 appartient à L1 (Rd ) et f2 à L2 (Rd ) car 2d(1 − γ) > d. Ainsi d’après les
points 1) et 2), F(f1 ) et F(f2 ) appartiennent respectivement à L∞ (Rd ) et L2 (Rd ). En plus,
F(Tkγ ) = F(Tf1 +f2 ) = TF(f1 ) + TF (f2 ) = Th
avec h = F(f1 ) + F(f2 ).
• Pour toute fonction f définie sur Rd , posons
∀(r, x) ∈ R+ × Rd , fr (x) = r−d f (r−1 x).
Pour tout réel r > 0 nous avons
− d2
∀φ ∈ S(R ) ∀ξ ∈ R F(φ)(ξ) = (2π)
d
d
− d2
∫
∫
= (2π)
Rd
∫
∀φ ∈ S(R ) ⟨Thr , φ⟩ =
−d
d
r−d φ(r−1 x)e−ix.ξ dx
Rd
φ(x)e−ix.(rξ) dx = F(φ)(rξ).
∫
−1
r h(r x)φ(x)dx =
Rd
h(x)φ(rx)dx
∫
Rd
kγ (x)F(φ)(r−1 x)dx
= ⟨F(Tkγ ), r φr−1 ⟩ = r
d
R
∫
d(γ−1)
=
kγ (rx)F(φ)(x)dx = r
⟨Tkγ , F(φ)⟩
−d
= r
Rd
d(γ−1)
−d
⟨F(Tkγ ), φ⟩ = ⟨Trd(γ−1) h , φ⟩
et par suite, pour presque tout élément x de Rd
hr (x) = rd(γ−1) h(x)
c’est-à-dire que
h(r−1 x) = rdγ h(x).
9
(*)
Pour tout isomorphisme orthogonal l de Rd nous avons
∫
∫
d
∀φ ∈ S(R ) ⟨Th◦l , φ⟩ =
h ◦ l(x)φ(x)dx =
Rd
h(x)φ ◦ l−1 (x)dx
Rd
−1
= ⟨F(Tkγ ), φ ◦ l ⟩ = ⟨Tkγ , F(φ ◦ l−1 )⟩
et donc, d’après la proposition 1.1.5 3),
∀φ ∈ S(Rd ) ⟨Th◦l , φ⟩ = ⟨Tkγ , F(φ) ◦ (l−1 )∗ ⟩ = ⟨Tkγ , F(φ) ◦ lt ⟩
∫
∫
t
=
kγ (x)F(φ) ◦ l (x)dx =
kγ ◦ l∗ (x)F(φ)(x)dx
d
Rd
∫R
kγ (x)F(φ)(x)dx = ⟨Tkγ , F(φ)⟩ = ⟨Th , φ⟩
=
Rd
t
où l désigne la transposée de l.
Ainsi, pour tout isomorphisme orthogonal l de Rd , nous avons
(**)
h(l(x)) = h(x)
pour presque tout élément x de Rd .
Les relations (*) et (**) donnent à penser qu’il existe une constante C(d, γ) telle que h(x) =
C(d, γ)|x|−dγ . Et effectivement on montre que
∀γ ∈]0, 1[ F(Tkγ ) = TC(d, γ)k1−γ avec C(d, γ) = 2
d(γ− 21 )
Γ( dγ
)
2
(I.2.17)
Γ( d(1−γ)
)
2
(voir [3] page 157).
Application 1.2.10. Supposons que d ≥ 3
1) Considérons un élément ψ de S(Rd ) et l’équation de Poisson.
−△S = Tψ
(E’)
Pour tout élément S de S(Rd )
−△S = Tψ ⇐⇒ −P F(S) = F(TF (ψ) ) où P (x) =
d
∑
(ixj )2 = −|x|2 = −
j=1
1
k d−2 (x)
d
⇐⇒ ∀φ ∈ S(R ) ⟨F(S), φ⟩ = ⟨k d−2 TF (ψ) , φ⟩
d
d
⇐⇒ ∀φ ∈ S(R ) ⟨F(S), φ⟩ = ⟨F(ψ)Tk1− 2 , φ⟩
d
d
⇐⇒ F(S) = F(ψ)Tk1− 2
d
d
⇐⇒ F(S) = C(d, )−1 F(ψ)F(Tk 2 ) d’après (I.2.17)
2
d
d −1
d
⇐⇒ S = C(d, ) (Tk 2 ∗ ψ) = C(d, )−1 (Tk 2 ∗ψ ) d’après (I.2.9) et (I.2.8)
2
2
d
d
I 2 (ψ) = C(d,
d
d −1
) Tk 2 ∗ψ
2
est appelée l’intégrale fractionnaire d’ordre 2 et notée (−△)−1 (ψ) pour
d
rendre compte de la relation
]
[
− △ I 2 (ψ) = ψ.
d
2) Supposons que 0 < γ < 1 et ψ appartient à S(Rd ).
Par analogie avec ce qui précède on pose
dγ
Iγ (ψ) = C(d, γ)−1 Tkγ ∗ψ = (−△)− 2 (ψ)
et on appelle Iγ (ψ) l’intégrale fractionnaire (où potentiel de Riesz) d’ordre dγ de ψ.
10
(I.1.15)
Un problème classique de l’Analyse Harmonique est celui du prolongement de l’intégrale fractionnnaire à des espaces contenant S(Rd ) et de la continuité des prolongements
obtenus.
11
Chapitre 2
Inégalités en norme sur l’intégrale
fractionnaire
La fonction caractéristique d’un sous-ensemble E de Rd est notée χE et |E| désigne sa
mesure de Lebesgue lorsqu’il est Lebesgue mesurable.
Pour tout élément (x, r) de Rd × R∗+ ,
d
{
r} ∏[
r
r]
d
• Q(x, r) = y ∈ R : ∀j ∈ {1, 2, ..., d}, |yj − xj | ≤
=
xj − , xj +
est le cube
2
2
2
j=1
fermé de centre x et de longueur de côté r.
• B(x, : r) = {y ∈ Rd : |y − x| < r} est la boule ouverte de centre x et de rayon r.
La mesure de Lebesgue de B(0, 1) est noté ωd .
Par cube, nous désignons toujours un cube de Rd de côtés parallèles aux axes de coordonnées :
Q=
d
∏
[xj , xj + r[ ou
j=1
d
∏
d
d
∏
∏
]xj , xj + r[ ou
]xj , xj + r] ou
[xj , xj + r].
j=1
j=1
j=1
L’ensemble des cubes est noté Q.
Nous supposons que 0 < γ < 1 et posons, pour toute mesure de Radon positive µ sur Rd ,
∫
∫
d
∀x ∈ R , Kγ µ(x) = kγ ∗ µ(x) =
kγ (x − y)dµ(y) =
|x − y|d(γ−1) dµ(y).
Rd
Rd
Dans la suite nous mettrons en évidence des couples (X, Y ) d’espaces de Banach pour lesquels Kγ (et donc Iγ ) peut-être considéré comme une application continue de X dans Y .
Commençons par introduire des opérateurs entre lesquels et Kγ existent des contrôles mutuels.
2.1
Opérateurs maximaux
Définition 2.1.1. Supposons que 1 ≤ α ≤ +∞. Pour toute mesure de Radon positive µ sur Rd et
tout élément f de L1loc (Rd ), les fonctions maximales sphériques msα µ et msα f sont définies sur Rd par
msα µ(x) = sup |B(x, r)| α −1 µ(B(x, r))
(II.1.1)
msα f (x) = sup |B(x, r)| α −1 ∥f χB(x, r) ∥1
(II.1.2)
1
r>0
1
r>0
avec la convention
1
= 0.
∞
12
Remarque 2.1.2. Considérons une mesure de Radon positive µ sur Rd et un point x de Rd .
1) Nous avons
∫
∗
∀r ∈ R+ Kγ µ(x) ≥
|x − y|d(γ−1) dµ(y) ≥ rd(γ−1) µ(B(x, r))
B(x, r)
ωd1−γ |B(x,
=
r)|γ−1 µ(B(x, r).
Kγ µ(x) ≥ ωd1−γ sup |B(x, r)|γ−1 µ(B(x, r)) = ωd1−γ ms1 µ(x).
(II.1.3)
γ
r>0
1
< α0 ≤ +∞.
γ
Pour tout nombre réel δ > 0 nous avons
∫
+∞ ∫
∑
d(γ−1)
|x − y|
dµ(y) =
2) Supposons que 1 ≤ α1 <
|x−y|<δ
≤
≤
k=0
+∞
∑
k=0
+∞
∑
|x − y|d(γ−1) dµ(y)
2−(k+1) δ≤|x−y|<2−k δ
(2−(k+1) δ)d(γ−1) µ(B(x, 2−k δ)
1− α1
(2−(k+1) δ)d(γ−1) |B(x, 2−k δ)|
k=0
1− α1
= 2d(1−γ) ωd
0
δ
d(γ− α1 )
[ +∞
∑
0
0
msα0 µ(x)
]
d( α1 −γ)k
2
msα0 µ(x).
0
k=0
et
∫
|x − y|
d(γ−1)
|x−y|≥δ
dµ(y) =
≤
≤
+∞ ∫
∑
k=0
+∞
∑
k=0
+∞
∑
|x − y|d(γ−1) dµ(y)
2k δ≤|x−y|<2k+1 δ
(2k δ)d(γ−1) µ(B(x, 2k+1 δ)
1− α1
(2k δ)d(γ−1) |B(x, 2k+1 δ)|
k=0
d(1− α1 )
= 2
1
1− α1
ωd
1
δ
d(γ− α1 )
[ +∞
∑
1
1
msα1 µ(x)
]
d(γ− α1 )k
2
1
msα1 µ(x).
k=0
Par suite,
Kγ µ(x) ≤ Aδ
1− α1
avec A =
2d(1−γ) ωd
d(γ− α1 )
0
d(1− α1 )
0
1
d(γ− α1 )
1
msα1 µ(x)
1− α1
ωd
1
.
1−2
1−2
En minimisant le second membre de l’inégalité précédente par rapport à la variable δ, nous obtenons
l’inégalité de Welland
d( α1 −γ)
0
et B =
2
msα0 µ(x) + Bδ
d(γ− α1 )
1
1 −γ
γ− 1
] 1 −α01
[ s
] 1α1− 1 [ s
α1 α0
mα1 µ(x) α1 α0
Kγ µ(x) ≤ C mα0 µ(x)


γ− α1
γ− α1
1

γ− α1
)
)
(
(
0
1 
α1 −γ

0
1
1
1
1 
1
1
−γ
−γ
1
1
1
1
α1 − α0
α1 − α0
α1
α1
α1 − α0
α1 − α0
avec C = A
B
+ γ− 1
.
γ− α1


α0
0


13
(II.1.4)
Dans la définition des opérateurs maximaux, les boules peuvent être remplacées par des
cubes.
Définition 2.1.3. Supposons que 1 ≤ α ≤ +∞. Pour toute mesure de Radon positive µ sur Rd et
tout élément f de L1loc (Rd ), les fonctions maximales cubiques mα µ et mα f sont définies sur Rd par
mα µ(x) = sup |Q(x, r)| α −1 µ(Q(x, r))
(II.1.5)
mα f (x) = sup |Q(x, r)| α −1 ∥f χQ(x, r) ∥1
(II.1.6)
1
r>0
1
r>0
Remarque 2.1.4. Supposons que 1 ≤ α ≤ +∞ et considérons une mesure de Radon positive µ sur
Rd . Pour tout élément x de Rd nous avons
( √ )
( r)
dr
• ∀r ∈ R∗+ B x,
⊂ Q(x, r) ⊂ B x,
et |B(x, r)| = ωd |Q(x, r)| = |B(x, r)|
2
2
∀r ∈
R∗+ ,
√
dr
∀ρ >
2
|Q(x, r)| α −1 µ(Q(x, r)) ≤ |Q(x, r)| α −1 µ(B(x, ρ))
[ ( ) ]1− α1
1
ρ d
= ωd
|B(x, ρ)| α −1 µ(B(x, ρ)).
r
√
[ ( ) ]1− α1
1
dr
ρ d
∗
−1
α
∀r ∈ R+ , ∀ρ >
|Q(x, r)|
µ(Q(x, r)) ≤ ωd
msα µ(x)
2
r
 ( √ ) 1− α1
d
1
d
−1
∗

msα µ(x)
∀r ∈ R+ , |Q(x, r)| α µ(Q(x, r)) ≤ ωd
2
1
1

( √ )d 1− α1
d 
mα µ(x) ≤ ωd
msα µ(x)
2
• ∀r ∈ R∗+
(II.1.7)
|B(x, r)| α −1 µ(B(x, r)) ≤ |B(x, r)| α −1 µ(Q(x, 2r))
( d )1− α1
1
2
=
|Q(x, 2r)| α −1 µ(Q(x, 2r)).
ωd
1
1
(
∀r ∈ R∗+
|B(x, r)|
1
−1
α
µ(B(x, r)) ≤
(
msα µ(x) ≤
2d
ωd
)1− α1
2d
ωd
)1− α1
mα µ(x)
(II.1.8)
mα µ(x)
Les contrôles obtenus dans les remarques précédentes permettent d’obtenir des inégalités portant sur les normes de mα µ et µ dans les espaces définis ci-dessous.
Définition 2.1.5. 1) Considérons un élément α de [1, +∞[ et une mesure de Radon positive ν sur
Rd .
a) Pour tout élément f de L0 (Rd , ν) (espace des classes d’équivalence modulo l’égalité ν-presque
partout, de fonctions ν- mesurables sur Rd ),
∗
ν ∥f ∥α, +∞
1
= sup t[ν({x ∈ Rd : |f (x)| > t})] α .
t>0
14
{
}
b) Lα, +∞ (Rd , ν) = f ∈ L0 (Rd , ν) : ν ∥f ∥∗α, +∞ < +∞ est l’espace de Lebesgue Lα -faible par
rapport à ν sur Rd .
2) Considérons des éléments q, p, α de [1, +∞].
a) Pour tout élément f de L0 (Rd ) = L0 (Rd , dx)
•
∥f ∥F (q, p, α)

(
) p1
 ∑(

)
p
1
1
= sup
|Qi | α − q ∥f χQi ∥q
: {Qi : i ∈ I} ⊂ Q ; Qi ∩ Qj = ∅ pour i ̸= j
si p < +∞


i∈I
{ 1 1
}
−q
α
• ∥f ∥F (q, ∞, α) = sup |Q|
∥f χQi ∥q : Q ∈ Q si p = +∞.
{
}
b) F (q, p, α) = f ∈ L0 (Rd ) : ∥f ∥F (q, p, α) < +∞
c) Pour tout élément µ de M (Rd ) (espace des mesures de Radon sur Rd )
•
∥µ∥T (p, α)

(
) p1

 ∑(
)
p
1
: {Qi : i ∈ I} ⊂ Q; Qi ∩ Qj = ∅ pour i ̸= j
si p < +∞
= sup
|Qi | α −1 |µ|(Qi )


i∈I
•
∥µ∥T (∞, α)
{ 1
}
−1
α
= sup |Q|
|µ|(Q) : Q ∈ Q
où |µ| désigne {la variation totale de µ.
}
d) T (p, α) = µ ∈ M (Rd ) : ∥µ∥T (p, α) < +∞
Remarque 2.1.6. 1) Les espaces de Lebesgue faibles sont bien connus (voir [8]). Rappelons que si ν
est une mesure de Radon positive sur Rd et 1 ≤ α ≤ +∞ alors
a) ∀f ∈ L0 (Rd , ν) ν ∥f ∥∗α, +∞ ≤ ∥f ∥α
et donc Lα (Rd , ν) est inclus dans Lα, ∞ (Rd , ν).
b) Lorsque 1 < α ≤ +∞, il existe sur Lα, ∞ (Rd , ν) une norme f 7−→ ∥f ∥α, +∞ telle que
α
∗
• ∀f ∈ L0 (Rd , ν) ν ∥f ∥∗α, +∞ ≤ ν ∥f ∥α, +∞ ≤
ν ∥f ∥α, +∞
α
−
1
(
)
• Lα, ∞ (Rd , ν), ∥ · ∥α, +∞ est un espace de Banach complexe.
2) Les espaces F (q, p, α) et T (p, α) sont étudiés dans [4]. Notons que
a) pour 1 ≤ q ≤ α ≤ +∞, F (q,( +∞, α) est un espace de)Morrey
b) pour 1 ≤ q ≤ α ≤ p ≤ +∞, F (q, p, α), ∥ · ∥F (q, p, α) est un espace de Banach sur C et
• ∀f ∈ L0 (Rd ) ∥f ∥F (q, p, α) ≤ ∥f ∥F (q, α, α) ≤ ∥f ∥α
et donc Lα (Rd ) est inclus dans F (q, p, α)
• Lα (Rd ) F (q, p, α) si (q < α < p
)
c) pour 1 ≤ α ≤ p ≤ +∞, T (p, α), ∥ · ∥T (p, α) est un espcae de Banach sur C et
• si p < p1 ≤ +∞ alors
∀µ ∈ M (Rd ) ∥µ∥T (p1 , α) ≤ ∥µ∥T (p, α)
et donc T (p, α) est inclus dans T (p1 , α)
• F (1, p, α) peut être identifié au sous-espace vectoriel normé de T (p, α) constitué de ses éléments
absolument continus par rapport à la mesure de Lebesgue.
Pour démontrer les inégalités en norme associées, nous auront besoin du résultat suivant
Proposition 2.1.7 (Lemme de recouvrement de Vitali). Supposons que
• E est un sous-ensemble Lebesgue mesurable de Rd .
∪
• {Qi : i ∈ I} est une famille de cubes vérifiant : sup |Qi | < +∞ et E ⊂
Qi .
x∈I
15
i∈I
Alors il existe une suite (Qik )k∈K (éventuellement finie) d’éléments deux à deux disjoints de {Qi :
i ∈ I} vérifiant
∪
E⊂
5Qik .
k∈K
1
Démonstration. 1) Pour tout cube Q, notons l(Q) sa longueur de côté : l(Q) = |Q| d .
Nous allons construire la suite (Qik )k∈K par réccurrence.
1
• Choisissons i1 dans I tel que l(Qi1 ) ≥ sup l(Qi ).
2 i∈I
• Supposons choisis les indices ik pour 1 ≤ k ≤ n.
Posons In = {i ∈ I : ∀k ∈ {1, 2, ..., n} Qi ∩ Qik = ∅}.
Si In est vide alors nous arrêtons et K = {1, 2, ..., n}.
1
Sinon nous choisissons in+1 dans In tel que l(Qin+1 ) ≥ sup l(Qi ). Ce procédé nous permet
2 i∈In
d’obtenir une suite (Q
)
(K
⊂
N)
d’éléments
de
{Q
ik k∈K
i : i ∈ I} deux à deux disjoints.
∑
2) a) Supposons que
|Qik | = +∞.
k∈K
∑
Alors évidemment
|Qik | ≥ C|E| pour tout nombre réel C > 0.
k∈K
∑
|Qik | < +∞.
b) Supposons que
k∈K
• Considérons un nombre réel δ > 0.
Supposons que (Qik )k∈K possède une sous-suite (Qik(n) )n≥1 vérifiant
∀n ∈ N∗ l(Qik(n) ) ≥ δ.
Nous avons
∀n ∈ N∗ δ d ≤ |Qik(n) |
et par suite
+∞ =
+∞
∑
|Qik(n) | ≤
n=1
∑
|Qik | < +∞.
k∈K
Cela étant absurde nous voyons que
∃nδ ∈ N∗ : ∀n ≥ nδ l(Qik(n) ) < δ.
Ainsi lim l(Qik ) = 0 lorsque K est infini.
k−→+∞
• Considérons un élément i de I \ {ik : k ∈ K}.
1er cas : K est infini.
1
Soit kˆ le premier élément de K vérifiant l(Qik+1
) ≤ l(Qi ).
ˆ
2
D’après la construction de (Qik )k∈K , nous avons
1
ˆ : Qi ∩ Qir ̸= ∅
l(Qik+1
) < l(Qi ) =⇒ i ∈
/ Ikˆ =⇒ ∃r ∈ {1, 2, ..., k}
ˆ
2
Posons Qir
avons
1
r ≤ kˆ < kˆ + 1 =⇒ l(Qir ) ≥ l(Qi ).
2
= Q(xir , lir ) et Qi = Q(xi , li ) et considérons un élément x de Qi ∩ Qir . Nous
∀y ∈ Qi ∀j ∈ {1, 2, ..., d} |(xir )j − yj | ≤ |(xir )j − zj | + |zj − (xi )j | + |(xi )j − yj |
5
1
lir + li ≤ lir
≤
2
2
16
et donc
Qi ⊂ Q(xir , 5lir ) = 5Qir .
2e cas : K est fini c’est-à-dire que K = {1, 2, ..., n} pour un certain entier n ≥ 1.
Alors In = ∅ et donc {k ∈ {1, 2, ..., n} : Qik ∩ Qi ̸= ∅} ̸= ∅.
Posons kˆ = min{k ∈ {1, 2, ..., n} : Qik ∩ Qi ̸= ∅}.
(i) Supposons que kˆ = 1.
Alors
1
l(Qikˆ ) = l(Qi1 ) ≥ l(Qi ) et Qikˆ ∩ Qi ̸= ∅
2
(ii) Supposons que k > 1.
et donc l(Qikˆ ) ≥ 12 l(Qi ). En plus Qikˆ ∩ Qi ̸= ∅.
Alors i appartient à Ik−1
ˆ
Un raisonnement similaire à celui
∪ du 1er cas montre que Qi ⊂ 5Qikˆ .
Ainsi dans tous les cas, Qi ⊂ k∈K 5Qik .
• En définitive nous avons
∪
∪
E⊂
Qi ⊂
5Qik .
i∈I
k∈K
−β
1
1
1
α 1
α
Proposition 2.1.8. Supposons que : 0 ≤ < ≤ 1, 0 ≤ ≤ et =
. Alors pour toutes
β
α
θ
β p
1 − 1θ
mesures de Radon positives µ et ν sur Rd , nous avons
1
1
∗
ν ∥mβ µ∥p, +∞
1
≤ 5d( α − β ) ∥ν∥Tp (∞, θ) ∥µ∥T (p, α) .
1
1
Démonstration. Considérons deux mesures de Radon positives µ et ν sur Rd .
Dans le cas où ∥µ∥T (p, α) = +∞, l’inégalité à démontrer est évidente.
Nous supposons donc que ∥µ∥T (p, α) < +∞.
Considérons un nombre réel λ > 0 et posons
Eλ = {x ∈ Rd : mβ µ(x) > λ}.
D’après la définition de mβ µ, nous avons
∀x ∈ Eλ ∃r(x) ∈ R∗+ : λ < |Q(x, r(x))| β −1 µ (Q(x, r(x))) .
1
Remarquons que pour tout élément x de Eλ , nous avons
λ < |Q(x, r(x))| β − α |Q(x, r(x))| α −1 µ (Q(x, r(x))) ≤ |Q(x, r(x))| β − α ∥µ∥T (p, α)
1
1
1
1
1
et par suite,
r(x)d( α − β ) < λ−1 ∥µ∥T (p, α) .
1
Puisque
1
1
1
− > 0, nous avons
α β
(
) 11 1
sup{r(x) : x ∈ Eλ } ≤ λ−1 ∥µ∥T (p, α) d( α − β ) < +∞.
Ainsi donc, d’apès le lemme de recouvrement de Vitali, il existe un sous-ensemble {Qi : i ∈
I} de {Q(x, r(x)) : x ∈ Eλ } vérifiant
• ∀i′ , i′′ ∈ I i′ ̸= i′′ =⇒ Qi′ ∩ Qi′′ = ∅.
17
• Eλ ⊂
∪
5Qi .
i∈I
Par ailleurs nous avons
∀x ∈ Eλ 1 < λ−1 |Q(x, r(x))| β −1 µ (Q(x, r(x)))
1
et par suite
]p
[
1
∀x ∈ Eλ 1 < λ−1 |Q(x, r(x))| β −1 µ (Q(x, r(x))) .
Par conséquent, nous pouvons écrire
(
)
[
]p
∑
∑
∪
1
ν(5Qi ) λ−1 |Qi | β −1 µ(Qi )
ν(5Qi ) ≤
ν(Eλ ) ≤ ν
5Qi ≤
i∈I
i∈I
i∈I
ν(Eλ ) ≤ λ
−p
∑
i∈I
ν(Eλ ) ≤ λ−p 5d(1− θ )
1
ν(5Qi )|5Qi |
∑
1
−1
θ
1− θ1
|5Qi |
]p
[
1
−1
β
|Qi |
µ(Qi )
[
]p
1
1
1
1
ν(5Qi )|5Qi | θ −1 |Qi | p (1− θ )+ β −1 µ(Qi )
i∈I
ν(Eλ ) ≤ λ−p 5
d(1− θ1 )
]p
∑[
1
1
∥ν∥T (∞, θ)
|Qi | α −1 µ(Qi ) ≤ λ−p 5d(1− θ ) ∥ν∥T (∞, θ) ∥µ∥pT (p, α)
i∈I
1
λν(Eλ ) p ≤ 5d( α − β ) ∥ν∥Tp (∞, θ) ∥µ∥T (p, α)
1
1
1
Ainsi
∗
ν ∥mβ µ∥p, +∞
2.2
1
= sup λν(Eλ ) p ≤ 5d( α − β ) ∥ν∥Tp (∞, θ) ∥µ∥T (p, α) .
1
1
1
λ>0
Inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev
Des résultats obtenus au paragraphe précédent, nous allons déduire des inégalités en
norme portant sur l’intégrale fractionnaire.
1
−γ
1
1
1
1
≤ 1, 0 ≤ < αγ et α 1 = < . Alors, il
α
θ
q
p
1− θ
existe une constante réelle D > 0 telle que pour toutes mesures de Radon positives µ et ν sur Rd nous
ayons
Proposition 2.2.1. Supposons que : 0 < γ <
∗
ν ∥Iγ µ∥q, +∞
1
≤ D∥ν∥Tq (∞, θ) ∥µ∥T (p, α) .
Démonstration. • Remarquons que :
1
α
−
1
β
1
θ
−γ
1
et
<
1
p
1−
1− θ
β−→ γ1
]
[
1
Donc il existe un élément β0 de
, +∞ tel que
γ
lim +
]
=
1
α
1
∀β ∈
, β0
γ
]
lim +
β−→ γ1
1
α
= αγ > .
β
θ
−β
1
α
1
α
<
et
1 < .
θ
β
p
1− θ
1
18
1
(II.2.1)
]
]
1
• Fixons β ∈
, β0 .
γ
1
1
Nous avons 0 < < γ < ≤ 1 et donc, d’après les inégalités (II.1.4) et (II.1.8), il existe une
β
α
constante réelle C > 0 telle que telle que :
∀x ∈ R
d
Iγ µ(x) ≤ C[mβ µ(x)]
1
α −γ
1−1
α β
[mα µ(x)]
γ− 1
β
1
1
α−β
et par suite
∀x ∈ Rd , Iγ µ(x) ≤ C[mβ µ(x)]
1
α −γ
1
1
α−β
γ− 1
β
1
1
α−β
∥µ∥T (∞, α) .
Considérons un réel λ > 0. Nous avons, d’après ce qui précède


γ− 1
1
1
1
1
β

α−β
α−β 
−
({
})
1
− 1
1
α −γ

α −γ
ν x ∈ Rd : Iγ µ(x) > λ ≤ ν  x ∈ Rd : mβ µ(x) > C α −γ ∥µ∥T (∞,
α) λ


et par suite d’après la proposition 2.1.8
1− 1
1− 1
θ
q. 1 β
1
1
({
})
α−β
q
−q
d
d(1− θ1 )
α −γ
∥ν∥T (∞, θ) C ∥µ∥T (∞, α) λ ∥µ∥ (
ν x ∈ R : Iγ µ(x) > λ ≤ 5
1− 1
θ
1−1
α β
T
ν
({
})
1
x ∈ Rd : Iγ µ(x) > λ ≤ 5d(1− θ ) ∥ν∥T (∞, θ) C q λ−q ∥µ∥q (
T
λν
1
({
}) 1
1
x ∈ Rd : Iγ µ(x) > λ q ≤ 5d( α −γ) ∥ν∥Tq (∞, θ) C∥µ∥
1− 1
θ
1−1
α β
(
T
)
,α
)
,α
1− 1
θ
1−1
α β
)
,α
1
≤ 5d( α −γ) ∥ν∥Tq (∞, θ) C∥µ∥T (p, α) .
1
En prenant dans la proposition précédente ν comme la mesure de Lebesgue sur Rd , puis
α = p = 1, nous obtenons ce qui suit
Corollaire 2.2.2. 1) Supposons que 0 < γ < α1 ≤ 1 et α1 − γ = 1q < p1 . Alors il existe une constante
réelle D > 0 telle que, pour toute mesure de Radon positive µ sur Rd , nous ayons
1
∥Iγ µ∥∗q, +∞ ≡ sup t|{x ∈ Rd : Iγ (µ)(x) > t}| q ≤ D∥µ∥T (p, α)
(II.2.2)
t>0
2) Il existe une constante réelle D > 0 telle que,
a) pour toute mesure positive µ sur Rd
∥Iγ µ∥∗ 1
1−γ
, +∞
≤ Dµ(Rd )
(II.2.3)
b) pour tout élément f∫de L1 (Rd )
• C(d, γ)Iγ (f )(x) =
• ∥Iγ (f )∥∗ 1
1−γ
, +∞
Rd
|x − y|d(γ−1) f (y)dy converge pour Lebesgue presque tout point x de Rd
≤ D∥f ∥1 .
(II.2.4)
19
Démonstration. 1) Il suffit de remarquer que si ν est la mesure de Lebesgue sur Rd alors
∥ν∥T (+∞, +∞) = 1.
2) a) Il suffit d’appliquer le point 1) en remarquant que, pour toute mesure de Radon positive
ν sur Rd , ∥µ∥T (1, 1) = µ(Rd ).
b) Considérons un élément f de L1 (Rd ) et la mesure µf de densité f par rapport à la mesure
de Lebesgue. Il est clair que µf est une mesure de Radon sur Rd telle que
∫
d
Iγ (|f |) = Iγ (µ|f | ) et µ|f | (R ) =
|f (x)|dx = ∥f ∥1 < +∞.
Rd
Par conséquent nous avons, d’après ce qui précède
[
∀t ∈ R∗+ |{x ∈ Rd : Iγ (|f |)(x) > t}| ≤ t−1 ∥Iγ (|f |)∥∗ 1
1
] 1−γ
,∞
1−γ
[
] 1
≤ t−1 D∥f ∥1 1−γ < +∞.
Ainsi, pour presque tout point x de Rd ,
∫
|x − y|d(γ−1) |f (y)|dy = C(d, γ)Iγ (|f |)(x) < +∞
Rd
∫
et par suite,
Rd
|x−y|d(γ−1) f (y)dy = C(d, γ)Iγ (f )(x) converge et vérifie |Iγ (f )(x)| ≤ Iγ (|f |)(x).
Par conséquent, nous avons
∥Iγ (f )∥∗ 1
1−γ
, +∞
≤ ∥Iγ (|f |)∥∗ 1
1−γ
, +∞
≤ D∥f ∥1 .
Les résultats obtenus ci-dessus peuvent être améliorés en utilisant ce qui suit
Définition 2.2.3.{Posons :
}
d
∏
[ −k
[
• ∀k ∈ Z Dk =
2 mj , 2−k (mj + 1) : m ∈ Zd
•D=
∪
j=1
Dk .
k∈Z
Pour chaque entier k, les éléments de Dk sont appelés les cubes dyadiques de Rd de génération k. D
est l’ensemble des cubes dyadiques de Rd .
Proposition 2.2.4 (Lemme de recouvrement de Whitney). Supposons que F est un sous-ensemble
non vide et fermé de Rd et Ω = Rd \ F . Alors il existe une famille {Qi : i ∈ I } de cubes dyadiques
vérifiant∪
:
(i) Ω =
Qi
i∈I
(ii) ∀i, j ∈ I i ̸= j =⇒ Qi ∩ Qj = ∅
(iii) ∀i ∈ I diam(Qi ) ≤ dist(Qi , F ) ≤ 4diam(Qi ).
Démonstration. Remarquons que : √
• ∀x ∈ Z, ∀Q ∈ Dn diam(Q) = 2−n d.
• ∀(Q1 , Q2 ) ∈ Dn1 × Dn2 n1 ≥ n2 et Q1 ∩ Q2 ̸= ∅ =⇒ Q1 ⊂ Q2 .
Posons :
∀n ∈ Z Ωn = {x ∈ Rd : c2−n < dist(x, F ) ≤ c2−n+1 }
20
√
où c est un élément de ∪
] d, +∞[ à fixer plus tard.
Remarquons que Ω =
Ωn . Posons
n∈Z
F0 =
∪
{Q ∈ Dn : Q ∩ Ωn ̸= ∅} .
n∈Z
(⋆) Remarquons que Ω =
∪
Q. En effet
Q∈F0
x ∈ Q ∈ F0 =⇒ ∃n ∈ Z : Q ∈ Dn , Q ∩ Ωn =
̸ ∅ et x ∈ Q
√
−n
=⇒ x ∈ Q, diam(Q) = 2
d, ∃y ∈ Q avec 2−n c < dist(y, F ) ≤ 2−n+1 c
√
=⇒ dist(x, F ) ≥ dist(y, F ) − diam(Q) > 2−n c − 2−n d > 0
=⇒ x ∈ Ω
(
)
∪
=⇒ ∃n ∈ Z : x ∈ Ωn = Ωn ∩
Q
Q∈Dn
=⇒ ∃n ∈ Z, ∃Q ∈ Dn : x ∈ Q
=⇒ x ∈ Q ∈ F0 .
(⋆⋆) Soit Q un élément de F0 .
∃n ∈ Z : Q ∈ Dn et Q ∩ Ωn ̸= ∅.
Considérons un point x de Q ∩ Ωn . Alors
2−n+1 c ≥ dist(x, F ) ≥ dist(Q, F ) ≥ dist(x, F ) − diam(Q)
√
√
> c2−n − 2−n d = 2−n (c − d).
√
En prenant c = 2 d nous obtenons
√
√
√
diam(Q) = 2−n d < dist(Q, F ) ≤ 2−n+1 2 2 = 42−n d = 4 diam(Q).
(⋆ ⋆ ⋆) Soit Q un élément de de F0 .
∀Q′ ∈ F0 Q ⊂ Q′ =⇒ diam(Q′ ) ≤ dist(Q′ , F ) ≤ dist(Q, F ) ≤ 4 diam(Q).
Ainsi, l’ensemble {Q′ ∈ F0 : Q ⊂ Q′ } a un élément maximal.
Posons F = {Q′ ∈ F0 : Q maximal pour ⊂}.
Il est clair que F vérifie (i), (ii), (iii).
Proposition 2.2.5. Considérons une mesure de Radon positive µ sur Rd et un nombre réel t > 0 tel
que
{
}
Ωt = x ∈ Rd : Iγ (µ)(x) > t ̸= Rd .
Alors il existe
∪ une famille {Qi : i ∈ I} de cubes dyadiques vérifiant :
(i) Ωt =
Qi
i∈I
(ii) ∀i, j ∈ I i ̸= j =⇒ Qi ∩ Qj = ∅
(iii) il existe deux nombres réels a > 1 et b > 0, indépendants de µ et t, tels que pour tout élément
(ε, i) de ]0, 1] × I on a
{
}
1
d
1−γ
|{x ∈ Qi : Iγ (µ)(x) > at}| ≤ bε |Qi | ou Qi ⊂ x ∈ R : m 1 µ(x) > εt .
γ
21
Démonstration. D’après le lemme de Fatou, Iγ (µ) = C(d, γ)−1 kγ ∗ µ est semi-continue inférieurement et donc Ωt est ouvert dans Rd . Par suite, D’après le lemme de recouvrement de
Withney, il existe une fammille {Qi : i ∈ I} de cubes dyadiques vérifiant les conditions (i)
et (ii) et telle que :
∀i ∈ I diam(Qi ) ≤ dist(Qi , Rd \ Ωt ) ≤ 4 diam(Qi ).
b) Considérons un élément Q de {Qi : i ∈ I}.
Notons B la boule ouverte de même centre que Q et de rayon égal à 6 diam(Q), µ1 la restriction de µ à B et µ2 = µ − µ1 .
(α) Notons xQ le centre de Q et PQ le projecteur de meilleur approximation de Rd sur Q.
Pour tout point x1 de Rd vérifiant d(x, Q) ≤ 4 diam(Q), nous avons
∀(x, y) ∈ Q × (Rd \ B)
{
|x1 − y| ≤ |x1 − PQ (x1 )| + |PQ (x1 ) − x| + |x − y| ≤ 5 diam(Q) + |x − y|
|x − y| ≥ |y − xQ | − |x − xQ | ≥ 5 diam(Q)
∀(x, y) ∈ Q × (Rd \ B) |x1 − y| ≤ 2|x − y| et donc |x − y|d(γ−1) ≤ 2d(1−γ) |x1 − y|d(γ−1) .
∫
∫
∫
d(γ−1)
d(1−γ)
d(γ−1)
|x1 − y|d(γ−1) dµ(y)
|x − y|
dµ(y) ≤ 2
∀x ∈ Q
|x − y|
dµ2 (y) =
Rd
Rd \B
Rd \B
∀x ∈ Q Iγ (µ2 )(x) ≤ 2d(1−γ) Iγ (µ)(x1 ).
Comme dist(Q, Rd \ Ωt ) ≤ 4 diam(Q), il existe un point x1 de Rd \ Ωt tel que dist(x1 , Q) ≤
4 diam(Q) et par suite
∀x ∈ Q, IΩ (µ2 )(x) ≤ 2d(1−γ) t.
Choisissons un nombre réel a ≥ 2 2d(1−γ) . Nous avons
∀x ∈ Q Iγ (µ2 )(x) ≤
at
at
et donc Iγ (µ)(x) ≤ Iγ (µ1 )(x) + .
2
2
Par conséquent
{
}
at
{x ∈ Q : Iγ (µ)(x) > at} ⊂ x ∈ Q : Iγ (µ1 )(x) >
2
et donc
{
}
at
|{x ∈ Q : Iγ (µ)(x) > at}| ≤ x ∈ Q : Iγ (µ1 )(x) >
2 (β) Considérons un élément ε de ]0, 1].
Supposons que Q possède un élément x0 vérifiant m 1 (µ)(x0 ) ≤ εt.
γ
D’apprès le corollaire II.2.2, il existe un nombre réel A > 0 dépendant uniquement de d et γ
tel que
1
{
[
] 1−γ
}
at
1
d
d
x ∈ R : Iγ (µ1 )(x) >
≤A
µ1 (R )
.
2 at
Notons B0 la boule ouverte de centre x0 et de rayon égal à 8 diam(Q). Remarquons que B
est incluse dans B0 . Donc
∫
∫
d
µ1 (R ) =
dµ(x) ≤
dµ(x) ≤ ms1 µ(x0 )|B0 |1−γ
B
B0
22
γ
et par suite, d’après l’inégalité (II.1.8) et le choix de a,
(
)1−γ
2d
µ1 (R ) ≤
m 1 µ(x0 )|B0 |
≤
εt|B0 |1−γ
γ
ωd
( √ )d(1−γ)
aεt 1−γ ( √ )d(1−γ)
d(1−γ)
1−γ
= 2
εt 8 d
|Q|
≤
|Q|
8 d
.
2
d
2d
ωd
)1−γ
(
1−γ
Par conséquent
1
{
[
}
] 1−γ
( √ )d(1−γ)
1
1
at
aεt
d
1−γ
x ∈ R : Iγ (µ1 )(x) >
≤A
1−γ |Q|
=
bε
.
8
d
|Q|
2 at 2
√
1
avec b = A2− 1−γ (8 d)d .
Ainsi, d’après l’inégalité obtenue au point (α), nous avons
{
}
1
x ∈ Rd : Iγ (µ1 )(x) > at ≤ bε 1−γ
|Q|.
2
Définition 2.2.6. Nous dirons qu’une mesure de Radon ν sur Rd satisfait à la condition (A) lorsque
pour tout nombre réel δ > 0, il existe un nombre réel ρ tel que, si Q est un cube de Rd et E est un
sous-ensemble de Borel de Q vérifiant |E| < ρ|Q| alors ν(E) ≤ δν(Q).
La condition (A) est liée à la condition (A∞ ) de Muckenhoupt (voir le lemme 8.0.6 de [7]).
Proposition 2.2.7. Supposons que : 0 < γ <
1
α
≤ 1, 0 ≤
1
θ
< 1,
1
p
=
1
−γ
α
1− θ1
et ν est une mesure de
Radon positive sur Rd appartenant à T (∞, θ) et satisfaisant à la condition (A).
Alors, pour toute mesure de Radon positive µ sur Rd nous avons
∗
ν ∥Iγ (µ)∥p, +∞
≤ C ν ∥m 1 (µ)∥∗p, +∞
γ
(II.2.5)
où C est un nombre réel indépendant de µ.
Démonstration. Considérons une mesure de Radon positive µ sur Rd .
1er cas : Supposons que le support de µ est borné : il existe un nombre réel R > 0 tel que la
boule B = {x ∈ Rd : |x| ≤ R} contienne le support
de µ.
{
}
a) Considérons un nombre réel t > 0 et Ωt = x ∈ Rd : Iγ (µ)(x) > t .
Remarquons que
∀x ∈ Rd \ B ∀y ∈ B |x − y| ≥ |x| − R
∀x ∈ Rd \ B Iγ (µ)(x) ≤ C(d, γ)−1 (|x| − R)d(γ−1) µ(Rd )
[
] 1
∀x ∈ (Rd \ B) ∩ Ωt |x| < R + t−1 C(d, γ)−1 µ(Rd ) d(1−γ)
(
[ −1
] 1 )
−1
d d(1−γ)
Ωt ⊂ B 0, R + t C(d, γ) µ(R )
.
Par conséquent, d’après la proposition 2.2.4, il existe une famille {Qi : i ∈ I} de cubes
d
dyadiques
∪ de R vérifiant
(i) Ωt =
Qi
i∈I
(ii) ∀i, j ∈ I i ̸= j =⇒ Qi ∩ Qj = ∅
23
(iii) il existe deux nombres réels a > 1 et b > 0 indépendants de µ et t tels que pour tout
élément (ε, i) de ]0, 1] × I
{
}
1
|{x ∈ Qi : Iγ (µ)(x) > at}| ≤ bε 1−γ ou Qi ⊂ x ∈ Rd : m 1 (µ)(x) > εt .
γ
Considérons un élément δ de ]0, a−p [. Par hypothèse il existe un nombre ρ > 0 tel que, si
Q est un cube de Rd et E un sous-ensemble borelien de Q vérifiant |E| < ρ|Q| alors ν(E) ≤
δν(Q).
Considérons un élément ε de ]0, min(1, (b−1 ρ)1−γ )[ et posons
{
{
}
}
ε
d
I = i ∈ I : Qi ∩ x ∈ R : m 1 (µ)(x) ≤ εt ̸= ∅ .
γ
D’après la condition (iii) nous avons
1
∀i ∈ I ε |{x ∈ Qi : Iγ (µ)(x) > at}| ≤ bε 1−γ |Qi |
et par suite, d’après le choix de ε,
∀i ∈ I ε |{x ∈ Qi : Iγ (µ)(x) > at}| < ρ|Qi |.
Par conséquent, d’après la condition (A), nous avons
∀i ∈ I ε ν ({x ∈ Qi : Iγ (µ)(x) > at}) ≤ δν(Qi ).
En plus, comme at > t, nous avons
{
}
x ∈ Rd : Iγ (µ)(x) > at ⊂ Ωt
et donc
{
[
}
x ∈ Rd : Iγ (µ)(x) > at ⊂
∪
]
⊂
∪
∪
{x ∈ Qi : Iγ (µ)(x) > at} ∪ 
i∈I ε
[

]

Qi 
i∈I\I ε
{
}
d
{x ∈ Qi : Iγ (µ)(x) > at} ∪ x ∈ R : m 1 (µ)(x) > εt .
γ
i∈I ε
Ainsi nous avons
({
})
ν x ∈ Rd : Iγ (µ)(x) > at
({
})
∑
≤
ν ({x ∈ Qi : Iγ (µ)(x) > at}) + ν x ∈ Rd : m 1 (µ)(x) > εt
γ
i∈I ε
≤ δ
∑
({
ν(Qi ) + ν
i∈I ε
≤ δν(Ωt ) + ν
({
x ∈ Rd : m 1 (µ)(x) > εt
})
γ
x ∈ Rd : m 1 (µ)(x) > εt
})
γ
.
b) Supposons que 0 < λ < +∞. Compte tenu de ce qui précède nous avons
({
})
({
})
sup tp ν x ∈ Rd : Iγ (µ)(x) > at ≤ δ sup tp ν(Ωt ) + sup tp ν x ∈ Rd : m 1 (µ)(x) > εt
0<t<λ
0<t<λ
a−p sup tp ν(Ωt ) ≤ δ sup tp ν(Ωt ) + ε−p sup tp ν
0<t<aλ
0<t<λ
0<t<ελ
24
γ
0<t<λ
({
x ∈ Rd : m 1 (µ)(x) > t
γ
})
.
En plus, pour tout réel t > 0 nous avons
( (
[
] 1 ))
tp ν(Ωt ) ≤ tp ν B 0, R + t−1 C(d, γ)−1 µ(Rd ) d(1−γ)
{
[ −1
] 1 }d(1− θ1 ) d(1− 1 )
−1
d d(1−γ)
θ ∥ν∥
t ν(Ωt ) ≤ t R + t C(d, γ) µ(R )
2
T (∞, θ)
p
p
{
t ν(Ωt ) ≤
p
Rt
1
1 −γ)
d( α
1
[
] 1
+ C(d, γ)−1 µ(Rd ) d(1−γ) t d
(
1
1
− 1−γ
1
α −γ
) }d(1− 1 )
θ
1
2d(1− θ ) ∥ν∥T (∞, θ)
et par suite, compte tenu des hypothèses sur θ, γ, α et ν,
sup tp ν(Ωt ) < +∞.
0<t<λ
Ainsi nous pouvons écrire
[a
−p
− δ] sup t ν(Ωt ) ≤ ε
p
−p
0<t<aλ
sup t ν
x ∈ R : m 1 (µ)(x) > t
d
−p
−p
sup t ν(Ωt ) ≤ ε [a
t>0
−1
− δ]
p
({
sup t ν
})
.
γ
0<t<ελ
En faisant tendre λ vers +∞ nous obtenons
p
({
p
x ∈ R : m 1 (µ)(x) > t
d
})
.
γ
t>0
Cas général Pour tout entier n ≥ 1, nous pouvons appliquer le résultat obtenu dans le 1er
cas à la restriction µn de µ à la boule Bn = {x ∈ Rd : |x| ≤ n}.
Ainsi nous avons pour tout entier n ≥ 1
({
})
({
})
sup tp ν x ∈ Rd : Iγ (µn )(x) > t ≤ ε−p [a−p − δ]−1 sup tp ν x ∈ Rd : m 1 (µn )(x) > t .
t>0
t>0
γ
En remarquant que
∀n ≥ 1 m 1 (µn ) ≤ m 1 (µ) et (Iγ (µn ))n≥1 converge en croissant vers Iγ (µ)
γ
γ
nous obtenons
({
})
sup tp ν x ∈ Rd : Iγ (µ)(x) > t
=
t>0
({
})
x ∈ Rd : Iγ (µn )(x) > t
n−→+∞ t>0
({
})
−p −p
−1
p
d
≤ ε [a − δ] sup t ν x ∈ R : m 1 (µ)(x) > t .
lim sup tp ν
t>0
γ
1
−γ
1
1
1
≤ 1, 0 ≤ ≤ γα, = α 1 et ν est une mesure
α
θ
p
1− θ
d
de Radon positive sur R , satisfaisant à la condition (A).
Alors il existe une constante réelle C > 0 telle que, pour toute mesure de Radon positive µ sur Rd ,
nous ayons
Proposition 2.2.8. Supposons que : 0 < γ <
∗
ν ∥Iγ (µ)∥p, ∞
1
≤ C∥ν∥Tp (∞, θ) ∥µ∥T (p, α) .
(II.2.6)
Démonstration. L’assertion est une conséquence immédiate de la proposition 2.1.8 et de la
proposition 2.2.7.
25
Comme cas particulier de la proposition précédente, nous avons ce qui suit
Corollaire 2.2.9. Supposons que : 0 < γ <
1
α
≤ 1, 0 ≤
Radon positive sur Rd , satisfaisant à la condition (A).
;
Alors pour tout
∫ élément f de F (1, p, α).
• l’intégrale
Rd
1
θ
1
−γ
1
α
≤ γα, =
et ν est une mesure de
p
1 − 1θ
|x − y|d(γ−1) f (y)dy converge pour ν-presque tout élément x de Rd .
•
∗
ν ∥Iγ (f )∥p, ∞
1
1
≤ C∥ν∥Tp (∞, θ) ∥f ∥F (1, p, α) ≤ C∥ν∥Tp (∞, θ) ∥f ∥α
(II.2.7)
où C est une constante réelle indépendante de f .
Démonstration. Considérons un élément f de L1loc (Rd ).
• La mesure µ|f | de densité |f | par rapport à la mesure de Lebesgue sur Rd vérifie
Iγ (|f |) = Iγ (µ|f | ) et ∥µ|f | ∥T (p, α) = ∥f ∥F (1, p, α) .
Par conséquent, d’après la proposition 2.2.8 nous avons
1
p
∗
ν ∥Iγ (|f |)∥p, +∞ ≤ C∥ν∥T (∞, θ) ∥f ∥F (1, p, α)
où C est une constante réelle indépendante de f .
• Supposons que f appartient à F (1, p, α).
D’après ce qui précède, nous avons
({
})
[
]p
∀t ∈ R∗+ ν x ∈ Rd : Iγ (µ)(x) > t
≤ t−1 ν ∥Iγ (|f |)∥∗p, +∞
[
]p
1
p
−1
≤ t C∥ν∥T (∞, θ) ∥f ∥F (1, p, α) < +∞.
Ainsi, pour ν presque tout point x de Rd
∫
|x − y|d(γ−1) |f (y)|dy = C(d, γ)Iγ (|f |)(x) < +∞
∫
et par suite
Rd
Rd
|x − y|d(γ−1) |f (y)|dy = C(d, γ)Iγ (|f |)(x) converge et |Iγ (f )(x)| ≤ Iγ (|f |)(x).
Par conséquent nous avons
1
∥Iγ (f )∥∗p, +∞ ≤ ∥Iγ (|f |)∥∗p, +∞ ≤ C∥ν∥Tp (∞, θ) ∥f ∥F (1, p, α) .
La dernière inégalité découle du point 2) b) de la remarque 2.1.6
A partir du corollaire précédent nous pouvons obtenir des inégalités en norme de Lebesgue sur l’intégrale fractionnaire, grâce au théorème d’interpolation de Marcinckiewicz
énoncé ci-dessous.
Proposition 2.2.10 ([2]). Supposons que
• α0 , α1 , p0 , p1 sont des éléments de [1, +∞] et α0 ̸= α1 .
• (U, ω) et (V, ν) sont deux espaces mesurés
• T est une application linéaire continue de
- Lα0 (U, ω) dans Lp0 , ∞ (V, ν) de norme M0
- Lα1 (U, ω) dans Lp1 , +∞ (V, ν) de norme M1
1−s
s 1
1−s
s
1
+ , =
+
et α ≤ p.
• 0 < s < 1, =
α
α0
α1 p
p0
p1
Alors la restriction de T à Lα0 (U, ω) ∩ Lα1 (U, ω) se prolonge par continuité en une application
linéaire continue de Lp (U, ω) dans Lp (V, ν) de norme M ≤ Cs M01−s M1s , où Cs est un nombre réel
dépendant uniquement de s.
26
Proposition 2.2.11 (Inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev pour l’intégrale fractionnaire).
1
−γ
1
1
1
Supposons que : 0 < γ <
< 1, 0 ≤ < γα, = α 1 et ν est une mesure de Radon positive
α
θ
p
1− θ
d
sur R , satisfaisant à la condition (A).
Alors il existe une constante réelle C > 0 telle que, pour tout élément f de Lα (Rd ),
ν ∥Iγ (f )∥p
1
≤ C∥ν∥Tp (∞, θ) ∥f ∥α
Démonstration. Considérons α0 et α1 tels que γ <
1
−γ
1
αi
=
pour i = 0, 1.
pi
1 − 1θ
1
1
1
1
<
<
≤ 1 et ≤ γα1 . Posons
α0
α
α1
θ
1
1
≤ 1 et ≤ γαi . Par conséquent, d’après
αi
θ
le corollaire 2.2.9, Iγ est une application linéaire continue de Lαi (Rd ) dans Lpi , +∞ (Rd , ν) de
Remarquons que pour i = 0, 1, nous avons γ <
1
p
norme Mi ≤ Ci ∥ν∥Ti(∞, θ) où Ci est une constante réelle.
1
1
1
Par ailleurs, nous avons
<
<
et donc il existe un élément s de ]0, 1[ vérifiant
α0
α
α1
1
1−s
s
1−s
s
1
1
=
+ . Remarquons que
+
= ≤ . Par conséquent, d’après le théorème
α
α0
α1
p0
p1
p
α
d’interpolation de Marcinckiewicz, il existe un nombre réel Cs tel que
∀f ∈ Lα (Rd )
1
p
1−s s
ν ∥Iγ (f )∥p ≤ Cs C0 C1 ∥ν∥T (∞, θ) ∥f ∥α .
27
Bibliographie
[1] ADAMS D. R. and HEDBERG L. I., Function spaces and potential theory, Corrected Second
Printing, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1999.
[2] BERGH J. and LÖFSTRÖM J., Interpolation Spaces : An introduction, Springer-Verlag Berlin Heidelberg and New york 1976.
[3] DONOGHUE W. F., Distributions and Fourier transforms, Academic Press, New York and
London 1976.
[4] FOFANA I. , FALEA F. R. and KPATA B. A., A class of subspaces of Morrey spaces and norm
inequalities on Riesz potential operators, to appear in Afrika Matematika.
[5] FOLLAND G. B, Real Analysis Modern Techniques and their applications, Second Edition,
John Wiley and sons, Inc New York 1999.
[6] GRAFAKOS L., Classical Fourier Analysis, Second Edition, Springer 2008.
[7] PEREZ C., Calderon Zygmund Theory related to Poincaré-Sobolev inequalities, fractional integrals and singular integral operators, Neuquén UMA 2004.
[8] STEIN E. M. and WEISS G., Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton
University Press 1971.
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