Transcript sujet 3h00 - MPSI 2 La Martinière

Lycée La Martinière Monplaisir
MPSI - Mathématiques
Année 2013/2014
le 12 septembre
Devoir surveillé n° 01
Durée : 3 heures
Calculatrices interdites
I. Un exercice vu en TD.
Résoudre pour z ∈ C, 2 arg(z + i) = arg(z) + arg(i) (2π).
II. Autour du théorème d’Eneström-Kakeya.
Quelque définitions
On appelle fonction polynomiale complexe toute fonction P de C dans C de la
forme
P (z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + . . . + an z n
où n est un entier naturel appelé le degré de P , et les a0 , a1 , . . . , an sont des
complexes.
On dit qu’un complexe z0 est une racine de P si P (z0 ) = 0.
∗
∗
∗
Le théorème de Eneström-Kakeya
Soient n + 1 réels strictement positifs rangés dans cet ordre :
a0 > a1 > . . . > an > 0,
et la fonction polynomiale P définie par P (z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + . . . + an z n .
Le but de cette partie est de démontrer le théorème de Eneström-Kakeya :
Théorème : Les racines du polynôme P sont toutes à l’extérieur du disque ouvert
D = {z ∈ C, |z| < 1}
Nous allons le démontrer par l’absurde. Soit donc t une racine de P , telle que
|t| < 1.
Introduisons le polynôme Q(z) = (1 − z)P (z).
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1) Que vaut Q(t) ?
2) Montrer que
Q(z) = a0 − an z n+1 − (a0 − a1 )z − (a1 − a2 )z 2 − · · · − (an−1 − an )z n
3) En déduire que |an tn+1 | > a0 +(a1 −a0 )|t|+(a2 −a1 )|t|2 +. . .+(an −an−1 )|t|n .
On fera attention au signe des termes de la forme ai − ai−1 .
4) Remarquer que pour tout i ∈ J1, nK, |t|i 6 1 et, grâce à la question précédente, aboutir à an |t|n+1 > an et conclure.
∗
∗
∗
Une vérification de ce théorème sur un exemple
5) Vérifier ce résultat sur la fonction polynomiale P (z) = 1 + z + z 2 + . . . + z n =
n
X
z k ; en particulier, on précisera les racines de P .
k=0
∗
∗
∗
Un corollaire intéressant du théorème
6) Soit la fonction polynomiale Q définie par :
Q(z) = bn z n + . . . + b0
où les b0 , b1 , . . . , bn représentent des réels strictement positifs.
On définit alors les réels r et R comme suit :
r=
min
06k6n−1
bk
bk+1
!
et R = max
06k6n−1
bk
bk+1
!
.
Autrement dit r et R sont, respectivement, la plus petite et la plus grande
des fractions suivantes :
b0 b1
bn−2 bn−1
, ,...,
,
.
b1 b2
bn−1 bn
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a) Montrer que pour tout i ∈ J1, nK, bi ri > bi−1 ri−1 .
b) On désigne par P1 la fonction polynomiale définie par
∀z ∈ C, P1 (z) = Q(r × z).
Montrer que la fonction polynomiale P1 vérifie les hypothèses du théorème de Eneström-Kakeya.
c) On désigne par P2 la fonction définie par
R
∀z ∈ C , P2 (z) = z Q
z
∗
n
et P2 (0) = bn Rn .
Montrer que la fonction P2 est une fonction polynomiale et que de plus
elle vérifie les hypothèses du théorème de Eneström-Kakeya.
d) Représenter graphiquement l’ensemble des points du plan dont les affixes sont dans l’ensemble A = {z ∈ C, r 6 |z| 6 R}. Pourquoi a-t-on
choisi la lettre A pour désigner cet ensemble ?
e) Déduire, de ce qui précède, que les racines de la fonction polynomiale Q
sont situées dans A. On dit qu’on a “localisé” les racines de la fonction
polynomiale Q.
∗
∗
∗
Une application
7) Soit Q la fonction polynomiale définie par Q(z) = 2z 3 + 3z 2 + 2z + 1.
a) Que valent ici r et R ?
b) Parmi les nombres suivants se cache une racine de Q : laquelle ?
√
1√
1
1
1
1
7, γ = − + i4 2, δ = + i .
α = 1 − 2i, β = − + i
4
4
4
4
8
c) En déduire toutes les racines de Q.
— FIN —
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