Transcript DL2 - Sciences Physiques en MP au lycée Clemenceau Nantes Site

1 – DL2
Sciences Physiques MP 2014-2015
Devoir libre de Sciences Physiques n˚2 du 29-09-2014
Probl`
eme no 1 – Propagation dans une ligne coaxiale
CCP PC 2004
La transmission des signaux ´electriques dans les cˆ
ables est sujette `
a des limitations dues aux effets Joule li´es
a l’imperfection des mat´eriaux utilis´es, qu’ils soient consid´er´es conducteurs ou isolants. En outre, l’analyse
`
de Fourier montre que les signaux de formes quelconques ne peuvent ˆetre transmis sans d´eformation que si
le traitement subi par chaque composante spectrale est ind´ependant de la fr´equence. La premi`ere partie de ce
probl`eme est limit´ee `
a l’´etude de la transmission en r´egime continu. La seconde aborde, en r´egime sinuso¨ıdal,
l’optimisation du comportement fr´equentiel d’un cˆ
able coaxial.
A. Adaptation d’imp´
edance
Un g´en´erateur de fem e(t) = Em cos(ωt) d’imp´edance interne Z0 = R0 + jX0 alimente un r´eseau d’utilisation
d’imp´edance Zu = Ru + jXu (j est le nombre complexe tel que j 2 = −1).
1. D´eterminer la puissance active fournie au r´eseau d’utilisation en fonction de Em et des caract´eristiques des
imp´edances.
2. Les caract´eristiques du g´en´erateur ´etant impos´ees, quelles sont les conditions sur Xu puis sur Ru qui
permettent d’obtenir une puissance active maximale ? Exprimer Zu en cons´equence.
B. Mod´
elisation de la ligne coaxiale en r´
egime continu
Un g´en´erateur ´equivalent `a une source de tension V0 en s´erie avec une r´esistance R0 est branch´e a` l’entr´ee
(`
a l’abscisse x = 0) d’une ligne continue de longueur X. Lorsque cette ligne pr´esente, par unit´e de longueur,
une r´esistance longitudinale r et une conductance transversale g, elle est mod´elisable selon le r´eseau en ´echelle
dessin´e `a la figure 1, chaque maillon correspondant a une section d’´epaisseur infiniment petite dx.
rdx
gdx
rdx
b
b
rdx
gdx
x
b
b
b
b
b
rdx
gdx
X
x + dx
b
b
0
b
V0
b
b
R0
b
b
b
b
b
b
b
b
Figure 1 – Mod´elisation de la ligne en r´egime continu
1
.
gdx
3. On d´esire ´etablir le mod`ele ´equivalent de Th´evenin du montage de la figure 1, en regard vers la source,
a l’abscisse x + dx, en fonction de celui correspondant `a l’abscisse x, voir la figure 2. Rappeler l’´enonc´e du
`
th´eor`eme de Th´evenin (fem et r´esistance ´equivalentes).
On rappelle qu’un conducteur ohmique de conductance gdx poss`ede une r´esistance
R(x + dx)
b
b
U (x + dx)
b
b
x + dx
x
b
U (x)
b
rdx
gdx
R(x)
b
b
b
b
b
b
b
x + dx
Figure 2 – Mod`ele de Th´evenin ´equivalent
4. Exprimer la r´esistance ´equivalente de Th´evenin R(x + dx) en fonction de R(x) et des caract´eristiques de la
ligne.
5. En effectuant un d´eveloppement limit´e au premier ordre en dx, ´ecrire une ´equation diff´erentielle du premier
ordre en R(x). On posera r = gRc2 .
6. Montrer alors que R(x) peut s’´ecrire sous la forme :
R(x) = Rc
a1 exp bx + a2 exp −bx
a1 exp bx − a2 exp −bx
o`
u a1 , a2 et b sont des constantes `a pr´eciser en fonction des caract´eristiques de la ligne.
JR Seigne
Clemenceau
Nantes
Sciences Physiques MP 2014-2015
DL2 – 2
u − a
du
1
+ Cte
=
ln
u 2 − a2
2a u + a 7. Par un raisonnement analogue, ´etablir l’´equation diff´erentielle du premier ordre r´egissant la tension de
Th´evenin U (x).
On donne :
Z
8. Exprimer
Z alors cette tension U (x).
a1 exp bu + a2 exp −bu
1
= ln |a1 exp bu − a2 exp −bu| + Cte
On donne :
a1 exp bu − a2 exp −bu
b
9. On adapte la r´esistance R0 du g´en´erateur de mani`ere `a rendre la r´esistance R(x) ind´ependante de la longueur
de la ligne. Exprimer dans ce cas R0 et R en fonction de Rc puis exprimer U (x).
C. Adaptation de la charge au maximum de puissance
10. La condition pr´ec´edente ´etant r´ealis´ee, de sorte que R(x) soit bien ind´ependante de x, quelle r´esistance
doit-on brancher `a l’extr´emit´e X de la ligne pour en extraire le maximum de puissance active ?
11. Cette charge ´etant mise en place et V (x) d´esignant la tension en un point d’abscisse x, montrer que la
relation V (x) = U (x)/2 est v´erifi´ee en tout point de la ligne.
12. Exprimer alors V (x) en fonction des param`etres V0 , Rc et g.
D. Mod´
elisation de la ligne coaxiale en r´
egime sinuso¨ıdal ; pupinisation
Pour ´etudier le comportement r´eel de cette ligne on doit ajouter, par unit´e de longueur, une auto-inductance
longitudinale l et une capacit´e transversale c. Le sch´ema d’un maillon ´el´ementaire est dessin´e `a la figure 3.
b
Z0
rdx
cdx
b
b
b
b
gdx
e0
b
b
b
b
b
b
b
ldx
b
Figure 3 – Mod´elisation de la ligne en r´egime sinuso¨ıdal
La ligne est maintenant aliment´ee par un g´en´erateur basse fr´equence qui d´elivre une tension sinuso¨ıdale que
l’on ´ecrira sous forme complexe : e0 = V0 exp jωt. L’imp´edance complexe interne du g´en´erateur est not´ee Z0 .
On utilisera la notation complexe dans toute cette partie.
13. Simplifier le sch´ema ´electrique de l’´el´ement de ligne de longueur dx en regroupant les deux ´el´ements en
s´erie sous forme d’une seule imp´edance ´ecrite dZ = zdx et les deux ´el´ements en parall`ele sous forme d’une seule
admittance ´ecrite dY = ydx. Pr´eciser z et y en fonction des donn´ees.
14. Les r´esultats de l’´etude en r´egime continu vus dans la seconde partie, restent valables pour le r´egime
sinuso¨ıdal `a condition de remplacer r´esistances par imp´edances. La relation r = gRc2 ´etant `a remplacer par
z = yZc2 . Exprimer Zc en fonction des donn´ees.
15. Z(x) se substituant `a R(x), en d´eduire l’imp´edance complexe Z0 du g´en´erateur permettant d’obtenir une
imp´edance complexe de Th´evenin Z(x) ind´ependante de x.
16. Quelle doit ˆetre alors l’imp´edance complexe `a brancher en sortie de ligne afin d’extraire de celle-ci le
maximum de puissance active ?
17. Les param`etres r, l, g et c peuvent ˆetre optimis´es de mani`ere `a rendre l’imp´edance Zc ind´ependante de la
´
fr´equence. Etablir
la condition r/g = f (l/c) correspondante. Simplifier dans ce cas les expressions de Zc et de
Z0 .
18. On note V (x, t) = V (x) exp jωt la tension `a la position x de la ligne et U (x, t) = U (x) exp jωt la tension de
Th´evenin `a la mˆeme position x de la ligne. Lorsqu’on connecte en sortie de ligne une r´esistance Rc = (r/g)1/2 ,
la tension V (x) reste toujours ´egale `a U (x)/2 quel que soit x. En s’appuyant sur la condition et les r´esultats
pr´ec´edents, donner alors l’expression de V (x, t) en fonction des param`etres V0 , r, g, l, c et ω.
19. Montrer qu’il y a propagation d’une onde ´electrique et caract´eriser cette propagation.
20. Exprimer la vitesse de phase et l’att´enuation. L’onde est-elle dispersive ? Est-elle filtr´ee ?
21. La pupinisation est un proc´ed´e pratique, utilis´e dans le but de r´ealiser la condition ´etablie `a la question
17. On intercale des bobinages, de distance en distance, afin d’augmenter globalement l’auto-inductance l. Quel
effet produit ce proc´ed´e sur la vitesse de propagation de l’onde ?
JR Seigne
Clemenceau
Nantes
3 – DL2
Sciences Physiques MP 2014-2015
Probl`
eme no 2 – Optique des rayons X
ENS Lyon Cachan PC 1999
Le but de ce probl`eme est d’examiner des lentilles et miroirs, taill´es dans un m´etal et qui seraient adapt´es aux
rayons X. On consid´erera une radiation monochromatique dont la longueur d’onde est λ = 4 nm. On n´egligera
tout effet de diffraction sur le r´eseau cristallin du m´etal.
A. Utilisation de la r´
efraction
1. Chaque atome est assimil´e `a un syst`eme dont tous les ´electrons sont ´elastiquement li´es au noyau. Cela conduit
1
Ne e2
.
a attribuer au milieu travers´e par les rayons X un indice de r´efraction n = 1 − α avec α =
`
4πε0 me ω 2 − ω02
Cette formule suppose que l’on a un seul type d’atomes, et que tous les ´electrons sont ´equivalents avec une
densit´e Ne (nombre d’´electrons par unit´e de volume). La pulsation ω0 caract´erise une r´esonance situ´ee dans le
domaine du rayonnement visible. Justifier `a partir de cette formule que n < 1. Transformer l’expression de α en
introduisant λ, longueur d’onde des rayons X dans le vide, et en explicitant Ne en fonction des caract´eristiques
connues du m´etal : num´ero atomique Z, masse molaire atomique M , masse volumique ρ. On remarquera que la
valeur pr´ecise de ω0 n’a pas `a ˆetre connue.
Application num´erique : calculer α pour λ = 4 nm, dans le cas de l’or et de l’aluminium :
Au :
Al :
Z = 79
Z = 13
M = 197, 0 g · mol−1
M = 27, 0 g · mol−1
ρ = 19, 3 g · cm−3
ρ = 2, 7 g · cm−3
` quelle caract´eristique du mat´eriau doit-on ˆetre particuli`erement attentif si l’on veut que n s’´eloigne le plus
A
possible de 1 ?
2. On consid`ere une lentille dont l’une des faces est plane et l’autre sph´erique, et qui est utilis´ee dans les
conditions repr´esent´ees sur la figure 4.
(a)
(b)
Figure 4 – Lentilles sph´eriques de type plan-convexe (a) et plan-concave (b)
Dans chaque cas (plan-convexe ou plan-concave), tracer la marche d’un rayon parall`ele `a l’axe (cf. figure 4), en
se pla¸cant respectivement dans le domaine du visible et dans le domaine des rayons X.
3. La face courbe a un rayon de courbure R = 1 cm. Calculer la distance focale correspondante dans le domaine
des rayons X, pour l’or et l’aluminium.
4. Le mat´eriau est en r´ealit´e absorbant. L’absorption est gouvern´ee par la loi d’att´enuation de l’intensit´e :
I(x) = I0 exp (−βx) o`
u x est l’´epaisseur travers´ee et β un coefficient caract´eristique du milieu.
On donne β(Au) = 1, 89 × 105 m−1 et β(Al) = 3, 86 × 106 m−1 . Calculer dans les deux cas la transmittance I/I0
pour une ´epaisseur de mat´eriau de 10 µm, laquelle correspond `a l’´epaisseur au centre de la lentille.
En d´eduire le diam`etre d’ouverture d’une lentille convergente pour les rayons X, sachant qu’on a limit´e l’´epaisseur
maximale pour que la transmittance reste sup´erieure `a 10−3 `a tous les niveaux de travers´ee de la lentille.
Conclusion ?
B. Utilisation de la r´
eflexion
L’angle d’incidence sur une surface ´etant i, on note θ = π/2 − i l’angle compl´ementaire, que l’on appellera ici
angle rasant. On note toujours l’indice de r´efraction du mat´eriau n = 1 − α.
5. Pour quelles valeurs de θ a-t-on r´eflexion totale ? Calculer num´eriquement l’angle limite θL dans le cas de
l’or.
Un faisceau parall`ele arrive sur un miroir parabolique parall`element `a son axe. Les rayons r´efl´echis convergent
au foyer F de la parabole : on a ici un cas de stigmatisme parfait. Des le cas des rayons X, le miroir parabolique
doit ˆetre utilis´e avec de petites valeurs de l’angle rasant.
On souhaite utiliser une portion de miroir se r´ef´erant `a la figure 5 : le faisceau incident est parall`ele a` l’axe de la
parabole, d’´equation y = ax2 . L’angle rasant en B est ´egal `a l’angle limite θL de sorte qu’on a r´eflexion totale
sur tout le segment AB. La hauteur du faisceau `a intercepter est h = xA − xB .
6. D´eterminer yA − yB . Quelle valeur faut-il donner `a a si l’on veut que yA − yB = 20 cm, avec h = 1 cm et
θL = 0, 1 rad ? Pr´eciser les valeurs de (xA , xB , yA , yB ) ainsi que la distance OF = 1/(4a).
JR Seigne
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DL2 – 4
x
h
A
B
y
F
b
O
Figure 5 – Utilisation d’un miroir parabolique pour focaliser un faisceau de rayons X
Pour r´ealiser la surface r´efl´echissante, on envisage de creuser une pi`ece tronconique, de rayons extrˆemes xA et
xB , puis d’abraser cette pi`ece pour donner `a la paroi du tronc de cˆone un profil approchant la parabole. On
choisit un profil circulaire de mˆeme rayon de courbure que celui de la parabole au milieu du segment AB.
7. Quelle est la valeur de ce rayon de courbure ? On rappelle que le rayon de courbure en un point d’une
(1 + (y ′ )2 )3/2
. Quelles conclusions ce calcul vous inspire-t-il ?
courbe y = f (x) s’obtient par la formule R =
y ′′
C. Utilisation de la diffraction
On se propose d’´etudier un syst`eme focalisant reposant sur le ph´enom`ene de diffraction par un ´ecran plan de
transparence variable, `a sym´etrie de r´evolution autour d’un axe perpendiculaire au plan de l’´ecran. On introduit
des axes Oxyz, avec Oy et Oz dans ce plan et Ox perpendiculaire au plan, orient´e suivant le sens de propagation
de la lumi`ere. Soit τ (r) le coefficient de transparence en amplitude du plan Oyz, `a la distance r du point O.
8. Rappeler l’´enonc´e du principe de Huygens–Fresnel, et sa formulation math´ematique. On omettra dans
cette formule tout facteur d’amortissement de l’onde avec la distance, ainsi que tout facteur angulaire susceptible
d’intervenir.
Un faisceau
parall`
ele `a2 Ox,
homog`ene, ´eclaire l’´ecran. Ce dernier a une transparence donn´ee sous la forme
1
r
τ (r) =
1 + cos 2π 2
pour r < R (avec R ≫ a), et τ (r) = 0 pour r > R.
2
a
On observe alors qu’une partie du rayonnement diffract´e se focalise en un point de l’axe que l’on se propose de
d´eterminer.
r
r
9. Repr´esenter graphiquement l’allure de τ en fonction de jusqu’`a = 2.
a
a
10. On note B l’amplitude par unit´e de surface de l’onde en un point de l’´ecran avant la travers´ee de celui-ci.
En utilisant la formulation analytique du principe de Huygens–Fresnel, ´ecrire sous forme d’une int´egrale
l’amplitude complexe de l’onde diffract´ee en un point M de l’axe Ox, `a la distance D du point O.
11. On recommande de d´evelopper le cosinus dans la fonction τ (r) en exponentielles complexes. On suppose
de plus que D ≫ R. L’int´egrale se d´ecompose alors en trois parties qu’il est facile de calculer, moyennant
un d´eveloppement limit´e convenable de la distance entre M et un point de l’´ecran. Sans effectuer ce calcul
compl`etement, montrer qu’il donne un r´esultat infini pour une valeur de D particuli`ere. On exprimera D en
fonction de λ et a. On obtient ainsi la position du point de focalisation.
Faute de pouvoir r´ealiser la variation continue de τ (r) propos´ee ci-dessus, on en fabrique une r´eplique binaire :
le cosinus dans τ (r) est remplac´e par la valeur +1 quand il est positif, et par la valeur −1 quand il est n´egatif.
Pour cela, il suffit de d´eposer `a l’aide d’une technique photographique inspir´ee de la micro´electronique, de fines
couches d’or (opaque) sur la face de sortie d’une lame `a faces parall`eles en m´etal l´eger servant de support
transparent.
r
12. Tracer le graphique τ
correspondant `a cette nouvelle transmittance.
a
r
repr´esente ici une longue s´equence d’une fonction p´eriodique de r2 . Pr´eciser les ampli13. La fonction τ
a
tudes des harmoniques, relativement au fondamental. En d´eduire l’existence de foyers secondaires de moins en
moins intenses, dont on donnera les positions en fonction de D, ainsi que les intensit´es relatives.
14. Application num´erique : on veut une distance focale principale de 1, 25 m pour la longueur d’onde λ = 4 nm.
Quelle doit ˆetre la valeur du param`etre a ? Combien d’anneaux brillants l’´ecran diffractant pr´esente-t-il, sachant
que R = 5 mm ? Quel est l’´ecartement entre les deux plus grands anneaux ? Cela vous paraˆıt-il r´ealisable en
pratique ?
JR Seigne
Clemenceau
Nantes