Transcript REVISIONS - PROBABILITES Exercice 1.

Lyc´ee Dominique Villars
ECE 2
Exercices
REVISIONS - PROBABILITES
Exercice 1.
On dispose de deux urnes : U1 et U2 . On r´epartit six boules num´erot´ees de 1 `a 6 dans ces deux urnes. Initialement
l’urne U1 contient les boules 1 et 2 ; l’urne U2 contient les boules 3, 4, 5, 6.
On appelle ´echange l’exp´erience consistant `
a lancer une fois le d´e et `a changer d’urne la boule portant le num´ero
obtenu avec le d´e.
Pour n ∈ N∗ , on note Xn la variable al´eatoire ´egale au nombre de boules contenues dans U1 apr`es n ´echanges
successifs.
1. On r´ealise cinqs lancers du d´e. Les r´esultats successifs sont : 1, 3, 2, 3 et 5.
(a) Quel est le contenu de l’urne U1 `
a l’issue du cinqui`eme ´echange ?
(b) D´eterminer la valeur de X1 , celle de X2 , celle de X3 , celle de X4 .
2. D´eterminer la loi de la variable X1 . Calculer E(X1 ).
3. Etude du couple al´
eatoire (X1 , X2 ).
(a) D´eterminer la loi du couple (X1 , X2 ). (Pr´esenter cette loi sous la forme d’un tableau a
` double entr´ee).
(b) En d´eduire la loi de la variable X2 .
(c) Calculer la covariance Cov(X1 , X2 ).
4. Etude de la suite de VAR (Xn )n .
(a) Donner Xn+1 (Ω).
(b) D´emontrer que pour tout n ∈ N∗ ,
P (Xn+1 = 0) =
1
P (Xn = 1)
6
(c) D´emontrer que pour tout n ∈ N∗ ,
∀ k ∈ J1 ; 5K ,
P (Xn+1 = k) =
7−k
k+1
P (Xn = k − 1) +
P (Xn = k + 1)
6
6
(d) D´emontrer que pour tout n ∈ N∗ ,
P (Xn+1 = 6) =
(e) En d´eduire que pour n ∈ N,
1
P (Xn = 5)
6
2
E(Xn+1 ) = E(Xn ) + 1
3
(f) La suite (E(Xn )) est une suite usuelle. Quel est son type?
(g) En d´eduire l’expression de E(Xn ) en fonction de n.
(h) Conclure quant au comportement asymptotique de E(Xn ) lorsque n tend vers +∞.
Exercice 2 - EDHEC
On r´ealise une suite de lancers d’une pi´ece ´equilibr´ee.
On note Pk (resp. Fk ) l’´ev´enement : “on obtient pile (resp. face) au k e´me lancer”.
On note X la variable al´eatoire qui prend la valeur k si l’on obtient pour la premi´ere fois pile puis face dans cet
ordre aux lancers k − 1 et k (k d´esignant un entier sup´erieur ou ´egal `a 2), X prenant la valeur 0 si l’on obtient
jamais une telle succession.
Exemples :
• Si les r´esultats des lancers sont : FFFPFPPPPF . . . etc. On a alors X = 5.
• Si les r´esultats des lancers sont : PPPFPPFFF . . . etc. On a alors X = 4.
1. Calculer P (X = 2).
2. En remarquant que (X = 3) = (P1 ∩ P2 ∩ F3 ) ∪ (F1 ∩ P2 ∩ F3 ), calculer P (X = 3).
3. Sur le mod´ele de la question pr´ec´edente, ´ecrire, pour tout entier k sup´erieur ou ´egal `a 3, l’´ev´enement (X = k)
comme r´eunion de (k − 1) ´ev´enements incompatibles.
4. D´eterminer P(X = k) pour tout entier k sup´erieur ou ´egal `a 2.
5. Calculer P(X = 0).
6. On se propose, dans cette question, de retrouver le r´esultat de la question 4. par une autre m´ethode.
(a) Montrer que, k d´esignant un entier sup´erieur ou ´egal a` 3, si le premier lancer est un pile, alors il faut
et il suffit que P2 P3 . . . Pk−1 Fk se r´ealise pour que (X = k) se r´ealise.
(b) En d´eduire, en utilisant la formule des probabilit´es totales que:
∀k > 3
1
1
P (X = k) = P (X = k − 1) + k
2
2
(c) On pose, pour tout entier k sup´erieur ou ´egal `a 2, uk = 2k P (X = k).
Montrer que la suite (uk )k>2 est arithm´etique. Retrouver le r´esultat annonc´e.
7. Montrer que X a une esp´erance E(X), puis la calculer.
Exercice 3 - EML 2002
On consid`ere une urne contenant une boule noire et quatre boules blanches. On effectue l’exp´erience al´eatoire
suivante :
• On commence par tirer des boules de l’urne une `a une avec remise jusqu’`a obtenir la boule noire (que l’on
remet aussi dans l’urne).
On d´efinit la variable al´eatoire N ´egale au nombre de tirages avec remise n´ecessaires pour obtenir la boule
noire.
• Puis, si N prend une valeur enti`ere positive non nulle not´ee n, on r´ealise alors une seconde s´erie de n tirages
dans l’urne, toujours avec remise.
On d´efinit la variable al´eatoire X ´egale au nombre de fois o`
u la boule noire a ´et´e obtenue dans cette seconde
s´erie de tirages.
1. D´eterminer la loi de la variable al´eatoire N . Donner son esp´erance E(N ).
2. Soit n ∈ N∗ , d´eterminer P (N = n).
3. Soit k ∈ N et n ∈ N∗ . D´eterminer la probabilit´e conditionnelle P(N =n) (X = k).
Indication : on distinguera le cas n < k du cas n > k.
4. Calcul de P (X = 0).
(a) D´ecomposer l’´ev`enement (X = 0) en utilisant le syst`eme complet d’´ev`enements ((N = n))n∈N∗ .
(b) En d´eduire `
a l’aide de la formule des probabilit´es totales (. . . et des questions pr´ec´edentes) que
∞
X
1 4 2n−1
P (X = 0) =
5 5
n=1
4
P (X = 0) = .
9
(c) D´emontrer alors que :
5. Calcul de P (X = k) pour k > 1.
On suppose d´emontrer le r´esultat (⋆)suivant
:
P
n
Si x ∈ [0, 1[ et k ∈ N∗ , la s´erie n>k
xn est convergente et a pour somme :
k
+∞ X
n
n=k
k
xn =
xk
(1 − x)k+1
(⋆)
n!
n
Rappel :
=
est un coefficient binomial.
k
k!(n − k)!
(a) Soit k ∈ N∗ . D´ecomposer l’´ev`enement (X = k) en utilisant le syst`eme complet d’´ev`enements ((N = n))n∈N∗ .
(b) En d´eduire `
a l’aide de la formule des probabilit´es totales que
k+1 X
2n
∞
1
4
n
P (X = k) =
(k )
4
5
n=k
(c) En utilisant l’aide (⋆) conclure que :
25
P (X = k) =
36
k
4
.
9
6. Montrer que X admet une esp´erance E(X) et calculer E(X).
7. Montrer que pour tout entier naturel k :
5
P (X 6 k) = 1 −
9
k
4
9
Exercice 4 - ECRICOME 2002
Une urne contient une boule blanche et une boule noire, les boules ´etant indiscernables au toucher.
On y pr´el`eve une boule, chaque boule ayant la mˆeme probabilit´e d’ˆetre tir´ee, on note sa couleur, et on la remet
dans l’urne avec c boules de la couleur de la boule tir´ee (o`
u c d´esigne un entier naturel non nul). On r´ep`ete cette
´epreuve, on r´ealise ainsi une succession de n tirages (n > 2).
On pourra d´ecrire chaque ´ev`enement ´etudi´e dans l’exercice `a l’aide des ´ev`enements suivants : pour tout entier
i ∈ {1 , . . . , n}, on note
Bi
=
” le r´esultat du i-`eme tirage est une boule blanche ”
Ni
=
” le r´esultat du i-`eme tirage est une boule noire ”
´
I. Etude
du cas c = 0.
On effectue donc ici n tirages avec remise de la boule dans l’urne.
On note X la variable al´eatoire r´eelle ´egale au nombre de boules blanches obtenues au cours des n tirages et Y la
variable al´eatoire r´eelle d´efinie par :
(
Y = k si l’on obtient une boule blanche pour la premi`ere fois au k e`me tirage.
Y = 0 si les n boules tir´ees sont noires.
1. D´eterminer la loi de X. Donner la valeur de E(X) et de V (X).
2. Pour k ∈ {1, . . . , n}, d´eterminer la probabilit´e P (Y = k) de l’´ev´enement (Y = k), puis d´eterminer P (Y = 0).
Pour x 6= 1 et n entier naturel non nul, on donne la formule :
Pn
k
k=1 kx = x ×
3. En d´eduire E(Y ) en fonction de n. Pr´eciser alors limn→+∞ E(Y ).
nxn+1 − (n + 1)xn + 1
.
(1 − x)2
´
II. Etude
du cas c 6= 0.
On consid`ere les variables al´eatoires (Xi )16i6n d´efinies par :
(
Xi = 1
Xi = 0
si on obtient une boule blanche au ie`me tirage.
sinon.
On d´efinit alors, pour 2 6 p 6 n, la variable al´eatoire Zp , par :
Zp d´esigne le nombre de boules blanches obtenues lors des p premiers tirages.
1. Donner la loi de X1 et l’esp´erance E(X1 ) de X1 .
2. Donner la loi de X2 puis l’esp´erance E(X2 ).
Indication : on utilisera la formule des probabilit´es totales puis on sera amen´e a
` calculer PB1 (B2 ) et PN1 (B2 )
c+1
3. D´emontrer que E(X1 X2 ) = 2(c+2)
.
Indication : on remarquera que X1 X2 suit une loi de Bernouilli dont on pr´ecisera la valeur du param`etre
4. En d´eduire la covariance du couple (X1 , X2 ), not´ee Cov(X1 , X2 ). Les variables X1 et X2 sont-elles ind´ependantes?
5. D´eterminer la loi de probabilit´e de Z2 .
6. Soit p 6 n − 1.
(a) D´eterminer soigneusement la probabilit´e conditionnelle P(Zp =k) (Xp+1 = 1) pour k ∈ [[0, p]]
Indication : D´eterminer le contenu de l’urne avant le (p + 1)-`eme tirage sachant que l’´ev`enement Zp = k
s’est r´ealis´e.
(b) En utilisant la formule des probabilit´es totales, montrer que :
P (Xp+1 = 1) =
(c) Justifier que Zp+1 = Zp + Xp+1 puis que ∀p > 1,
1 + cE(Zp )
.
2 + pc
E(Zp+1 ) =
1 + (2 + c + pc)E(Zp )
2 + pc
(d) A l’aide de la formule ci-dessus, d´emontrer par r´ecurrence que :
∀p > 2 ,
E(Zp ) =
p
.
2
(e) En d´eduire la loi de la variable Xp+1 .
Exercice 5 - ESC 2000
On dispose d’une urne contenant une boule blanche et une boule noire ainsi que d’une pi`ece non truqu´ee. On
consid`ere l’exp´erience E suivante :
• on jette une fois la pi`ece
• si l’on obtient pile, on tire avec remise une boule de l’urne
• si l’on obtient face, on tire sans remise une boule de l’urne.
1. On r´ep`ete deux fois E . Soit X la variable al´eatoire ´egale au nombre de boules blanches obtenues.
(a) Donner X(Ω), l’ensemble des valeurs possible pour X.
(b) D´eterminer la loi de probabilit´e de la variable al´eatoire X.
(c) Calculer l’esp´erance et la variance de X.
2. On r´ep`ete E et on s’arrˆete d`es que l’urne est vide ou d`es que l’on a effectu´e E trois fois.
Soient Y la variable al´eatoire ´egale au nombre de r´ealisations de E effectu´ees et Z la variable al´eatoire ´egale
au nombre de boules blanches obtenues.
(a) D´eterminer Y (Ω), l’ensemble des valeurs possibles pour la variable al´eatoire Y .
(b) Calculer P (Y = 2) . En d´eduire la loi de probabilit´e de Y.
3. On r´ep`ete E jusqu’`a ce que l’on obtienne la premi`ere boule blanche.
On se limite cependant `
a N r´ep´etitions de l’exp´erience E. Ainsi si au bout de N r´ep´etitions de l’exp´erience
de E, la boule blanche n’a jamais ´et´e tir´ee, on stoppe le jeu.
Soit T la variable al´eatoire ´egale :
• au nombre de r´ealisations de E ainsi effectu´ees, si l’on obtient la boule blanche au cours des N tirages.
• `a N + 1 si au cours des N r´ep´etitions de E la boule blanche n’a jamais ´et´e tir´ee.
(a) Quel est l’ensemble des valeurs de T , not´e T (Ω) ?
(b) Calculer P (T = 1) et P (T = 2).
(c) Soit n un entier. Calculer pour n > 3 la probabilit´e de l’´ev´enement
En−2 : ” les n − 2 premi`eres r´ealisations de E donnent chacune pile et une boule noire ”
3 1 n−1
(d) En d´eduire que pour n > 3, P (T = n) =
2 4
(e) Calculer l’esp´erance de T .
Indication : On utilisera le r´esultat de la question pr´eliminaire.
Exercice 6 - ECRICOME 2008.
Cet exercice se d´ecompose en trois parties. Chacune de ces parties est associ´ee `a l’´etude d’un jeu al´eatoire.
PARTIE A : Etude du jeu 1.
Pour ce premier jeu de hasard, la mise pour chaque partie est de 1 euro.
1
9
L’observation montre qu’une partie est gagn´ee avec la probabilit´e de
, perdue avec la probabilit´e de
.
10
10
Toute partie gagn´ee rapporte 3 euros. Les diff´erentes parties sont ind´ependantes.
Une personne d´ecide de jouer N parties (N > 2).
On note XN la variable al´eatoire repr´esentant le nombre de parties gagn´ees et YN la variable al´eatoire repr´esentant
le gain alg´ebrique en euros du joueur (gain n´egatif = perte).
1. Donner la loi de XN ainsi que la valeur de son esp´erance et de sa variance.
2. Exprimer YN en fonction de XN . En d´eduire la valeur de son esp´erance et de sa variance.
3. On suppose dans cette question que N = 50. D´eterminer la probabilit´e que le joueur perde 14 euros.
PARTIE B - Etude du jeu 2.
Deux joueurs A et B lancent ind´efiniment une pi`ece ´equilibr´ee. Le premier qui obtient pile a gagn´e.
On s’int´eresse au temps d’attente de ce premier pile, et donc on introduit les variables XA (resp XB ) ´egales au
nombre de lancers n´ecessaires `
a l’obtention du premier pile pour le joueur A (resp. le joueur B).
Enfin, soit Y = min(XA , XB ).
1. Recopier et compl´eter le programme suivant pour qu’il simule la loi de Y :
program ds6 ;
var xA, xB, y : integer ;
begin
randomize ;
y :=0 ;
repeat xA := ...............; xB := ............;
y :=y+1 ;
until (...............) or (...............) ; write(y) ;
end.
2. D´eterminer les lois de XA et XB et donner esp´erance et variance.
3. Calculer pour tout n ∈ N, P (XA > n).
4. D´eterminer Y (Ω) puis pour tout n ∈ N, P (Y > n).
Indication : On d´ecomposera l’´ev`enements (Y > n) `
a l’aide des ´ev`enements (XA > n) et (XB > n)
5. En d´eduire la loi de Y c’est `
a dire pour n ∈ Y (Ω), l’expression de P (Y = n).
6. Reconnaitre une loi de probabilit´e usuelle et en d´eduire E(Y ).
PARTIE C - Etude du jeu 3.
Pour ce dernier jeu. le participant lance successivement n boules au hasard dans N cases num´erot´ees de 1 `
aN
avec N > 2. On suppose que les diff´erents lancers de boules sont ind´ependants et que la probabilit´e pour qu’une
1
. Une case peut contenir plusieurs boules.
boule quelconque tombe dans une case donn´ee est
N
Le gain ´etant fonction du nombre de cases atteintes, on ´etudie la variable al´eatoire Tn , ´egale au nombre de cases
non vides `a l’issue des n lancers.
☛ A une r´ealisation de l’exp´erience nous associons le r´esultat du jeu sous forme d’une n-liste d’´el´ements de
l’ensemble { 1 , . . . , N } :
( num´ero de la case accueillant la boule n ◦ 1 ; . . . . . . ; num´ero de la case accueillant la boule n ◦ n )
Ainsi on consid`erera Ω, l’ensemble des issues ´el´ementaires du jeu , comme ´etant l’ensemble des n-listes d’´el´ements
de { 1 , . . . , N }.
1. D´eterminer M (n) = Card(Ω).
2. D´eterminer m1 (n), le nombre d’´el´ements de Ω compos´es d’exactement un seul num´ero ?
3. D´eterminer m2 (n), le nombre d’´el´ements de Ω compos´es d’exactement deux num´eros ?
4. D´eterminer mn (n), le nombre d’´el´ements de Ω compos´es d’exactement n num´eros ? (On distinguera le cas
n < N du cas n > N )
5. Pr´eciser Tn (Ω), l’ensemble des valeurs prises par la variable Tn , en fonction de n et N . .
6. Donner les lois de T1 et de T2 .
7. Soit n > 2. D´eduire, en expliquant rigoureusement votre raisonnement, des questions 1., 2., 3. et 4. les
calculs des probabilit´es suivantes :
P (Tn = 1) ,
P (Tn = 2) ,
P (Tn = n)
Indication : pour la derni`ere probabilit´e, on distinguera deux cas n > N et n 6 N
8. Montrer pour tout entier k tel que 1 6 k 6 n :
P (Tn+1 = k) =
k
N −k+1
P (Tn = k) +
P (Tn = k − 1)
N
N
Exercice 7 - ESC 2004
Soit N , un entier naturel sup´erieur ou ´egal `
a 2. Un joueur lance une pi`ece ´equilibr´ee ind´efiniment.
On note XN la variable al´eatoire r´eelle discr`ete ´egale au nombre de fois o`
u , au cours des N premiers lancers,
deux r´esultats successifs ont ´et´e diff´erents.
(On peut appeler XN le ” nombre de changements ” au cours des N premiers lancers ).
Par exemple : si les 9 premiers lancers ont donn´e successivement :
Pile , Pile , Face , Pile , Face , Face , Face , Pile , Pile
alors la variable X9 aura pris la valeur 4 ( quatre changements, aux 3i`eme , 4i`eme , 5i`eme et 8i`eme lancers ).
1. D´eterminer XN (Ω).
2. D´eterminer la loi de X2 ainsi que son esp´erance. D´eterminer la loi de X3 .
` l’aide des ´ev`enements :
Indication : Justifier vos calculs en d´ecomposant chaque ´ev`enement a
Pi = ” obtenir pile au i-`eme lancer ”
Fi = ” obtenir face au i-`eme lancer ”
N
N −1
1
1
et P (XN = 1) = 2(N − 1)
.
3. Montrer que P (XN = 0) =
2
2
1
4. (a) Expliquer pourquoi pour tout entier k de {0, ..., N − 1} : PXN =k (XN +1 = k) = .
2
(b) En d´eduire que pour tout entier k de {0, ..., N − 1} :
1
P (XN +1 − XN = 0 ∩ XN = k) = P (XN = k)
2
(i ∈ N∗ )
1
(c) En sommant cette relation de k = 0 `
a N − 1 , montrer que P (XN +1 − XN = 0) = .
2
1
(d) Montrer que la variable XN +1 − XN suit une loi de Bernoulli de param`etre .
2
1
(e) En d´eduire la relation E(XN +1 ) = + E(XN ), puis donner E(XN ) en fonction de N .
2
5. (a) Montrer grˆ
ace aux r´esultats 4(b) et 4(c) que les variables XN +1 − XN et XN sont ind´ependantes.
1
(b) En d´eduire par r´ecurrence sur N que XN suit une loi binˆ
omiale Bin(N − 1, ).
2
(c) En d´eduire la variance V (XN ).
Exercice 8 - ESC 2009 - Lois usuelles, couples de variables al´
eatoires.
Dans cet exercice n d´esigne un entier naturel non nul.
On dispose d’une pi`ece dont la probabilit´e de tomber sur ”pile” est p ∈]0, 1[ et de (n + 1) urnes num´erot´ees de 0
a` n.
Pour k ∈ {0, . . . , n}, l’urne n◦ k contient k boules vertes et (n − k) boules rouges.
On consid`ere l’exp´erience E suivante :
• on lance n fois la pi`ece ;
• on pioche dans l’urne dont le num´ero correspond au nombre de fois o`
u ”pile” a ´et´e obtenu.
(Par exemple si on a obtenu quatres ”piles” au cours de ces n lancers, on pioche dans l’urne n◦ 4.)
On note X la variable al´eatoire correspondant au nombre de ”piles” obtenus lors des n lancers.
On note Y la variable al´eatoire qui vaut 1 si l’on tire une boule verte et 0 sinon.
1. (a) Reconnaˆıtre la loi de probabilit´e de la variable al´eatoire X. On pr´ecisera en particulier X(Ω) et
P (X = k) pour k ∈ Ω.
(b) Donner l’esp´erance E(X) et la variance V (X) en fonction de p et n.
(c) En d´eduire E(X 2 ).
2. (a) Calculer P(X=0) (Y = 0) et P(X=n) (Y = 0).
(b) Les variables X et Y sont-elles ind´ependantes? (Justifier rigoureusement)
(c) Soit k ∈ {0, . . . , n}. D´eterminer P(X=k) (Y = 1).
(d) En d´eduire en utilisant la formule des probabilit´es totales vis `a vis du syst`eme complet d’´ev´enements
{(X = k) ; k ∈ {1, . . . , n}} que
E(X)
P (Y = 1) =
n
(e) D´eterminer la loi de Y et donner E(Y ) en fonction de p et n.
3. Soit la variable al´eatoire Z = XY .
(a) D´eterminer Z(Ω), l’ensemble de valeurs possibles pour la variable al´eatoire Z.
(b) D´eterminer la loi de Z.
(c) Montrer que
E(Z) =
n
X
kP ((X = k) ∩ (Y = 1)) =
k=1
(d) En d´eduire Cov(X, Y ), la covariance du couple (X, Y ).
E(X 2 )
n